周芷凡

【摘要】微積分不僅是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，其實(shí)也是一種數(shù)學(xué)思想，微分就是“無(wú)限細(xì)分”，而積分就是“無(wú)限求和”.微積分在創(chuàng)立之初就在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和天文學(xué)等方面發(fā)揮了非常重要的作用，反過(guò)來(lái)，又是在這些應(yīng)用中得以發(fā)展的.本文將從微積分在物理學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)中的作用談起，試圖探討微積分在生活中的無(wú)論大的方面還是小的方面的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】微積分；物理學(xué)；經(jīng)濟(jì)學(xué)；實(shí)際生活；應(yīng)用

一、前言

微積分是高等數(shù)學(xué)中的一門(mén)重要學(xué)科，是對(duì)微分學(xué)和積分學(xué)的總稱.微積分是運(yùn)用無(wú)窮大和無(wú)窮小等極限過(guò)程來(lái)分析和處理計(jì)算問(wèn)題的數(shù)學(xué)概念，所以也有人將之稱為分析學(xué).

微積分不僅是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，其實(shí)也是一種數(shù)學(xué)思想，微分就是“無(wú)限細(xì)分”，而積分就是“無(wú)限求和”.微分學(xué)包括極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等主要內(nèi)容，積分學(xué)包括定積分、不定積分等內(nèi)容.通俗的來(lái)說(shuō)，微積分主要就是研究一些不過(guò)則變量的，小到不規(guī)則建筑零件的體積的計(jì)算，大到對(duì)經(jīng)濟(jì)受益彈性的計(jì)算等等.微積分在創(chuàng)立之初就在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和天文學(xué)等方面發(fā)揮了非常重要的作用.

二、微積分在物理中的應(yīng)用

微積分在實(shí)際生活中的應(yīng)用往往是通過(guò)在對(duì)一些使用科學(xué)中的應(yīng)用來(lái)體現(xiàn)的.其中微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用就非常之普遍，下面就從兩個(gè)簡(jiǎn)單的有關(guān)力學(xué)和電學(xué)的問(wèn)題來(lái)看微積分在物理中的普遍應(yīng)用.

例1若某質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為s=3t+2t2，試求其t時(shí)刻的速度的表達(dá)式.（所有物理量都用國(guó)際制單位，以下同）

分析我們知道，公式v=Δs[]Δt一般是求Δt時(shí)間內(nèi)的平均速度，當(dāng)Δt取很小很小，才可近似處理成瞬時(shí)速度.

s（t）=3t+2t2s（t+Δt）=3（t+Δt）+2（t+Δt）2.

Δs=s（t+Δt）-s（t）=3（t+Δt）+2（t+Δt）2-3t-2t2=3Δt+4tΔt+2Δt2.

v=Δs[]Δt=3Δt+4tΔt+2Δt2[]Δt=3+4t+2Δt.

當(dāng)Δt取很小，小到跟3+4t相比忽略不計(jì)時(shí)，v=3+4t即為t時(shí)刻的瞬時(shí)速度.

例2電容器是一種存儲(chǔ)電荷的元件，它的基本工作方式為充電和放電，我們先考察電容器放電時(shí)的情況.某電容為C的電容器，其已充電的電量為Q0，若讓該電容與另一個(gè)阻值為R的電阻串聯(lián)起來(lái)，該電容器將會(huì)放電，其釋放的電能轉(zhuǎn)化電阻的焦耳熱（內(nèi)能）.試討論：放電時(shí)流過(guò)電阻R的電流隨時(shí)間t 的變化關(guān)系如何？

分析在Δt的時(shí)間內(nèi)，通過(guò)電阻R的電量為Δq.雖然電流隨時(shí)間發(fā)生變化，但在很短的時(shí)間Δt內(nèi)，可以認(rèn)為電流幾乎不變，當(dāng)成恒定電流處理，故有Δq=iΔt.對(duì)電容有Q=CU=CiR，ΔQ=CRΔi；由電量守恒，ΔQ=-Δq，故-iΔt=CRΔi，然后把“Δ”形式改寫(xiě)成微積分語(yǔ)言的“d”形式，就有-idt=CRdi（dt和di稱之為微分），數(shù)學(xué)變形為i=-CRdi[]dt，接著再按照袋鼠方法就可以計(jì)算了.

三、微積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用

微積分不僅在物理中運(yùn)用非常普遍，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中也是一樣.微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在函數(shù)關(guān)系上，下面依然用兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單論述.

例1設(shè)某企業(yè)在生產(chǎn)一種商品x件時(shí)的總收益為R（x）=100x-x2，總成本函數(shù)為C（x）=200+50x+x2，問(wèn)政府對(duì)每件商品征收貨物稅為多少時(shí)，在企業(yè)獲得利潤(rùn)最大的情況下，總稅額最大？

分析設(shè)每件商品征收的貨物稅為a，利潤(rùn)為L(zhǎng)（x）.

L（x）=R（x）-C（x）-ax

=100x-x2-（200+50x+x2）-ax

=-2x2+（50-a）x-200.