陳少旭

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》選修4-5《不等式選講》，向?qū)W生介紹了柯西不等式，要求學(xué)生認(rèn)識(shí)柯西不等式的幾種不同形式，并能給出證明，理解其幾何意義.教材的編寫意圖不是僅僅介紹其不等式和證明方法，而是希望通過分析、證明和解決問題，進(jìn)一步討論經(jīng)典不等式的簡單應(yīng)用，提高學(xué)生運(yùn)用重要數(shù)學(xué)結(jié)論進(jìn)行推理論證的能力，此內(nèi)容也是新課程高考選考內(nèi)容之一.筆者在一次課外小組活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生深入探究柯西不等式，發(fā)現(xiàn)其深刻的背景和內(nèi)涵，并開動(dòng)腦筋，挖掘其與所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，給出多種證明方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

二維形式的柯西不等式通常被表示為如下形式：

（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）.

柯西不等式不僅形式優(yōu)美，而且具有重要的應(yīng)用價(jià)值.高中新課程教材《數(shù)學(xué)》選修4-5《不等式選講》，對(duì)此不等式給出了兩種證明方法.

方法1教科書從學(xué)生熟悉的不等式a2+b2≥2ab引入這一不等式.由于不等式a2+b2≥2ab涉及平方和，聯(lián)想到（a2+b2）（c2+d2）（a，b，c，d∈R）也與平方和有關(guān)，所以通過多項(xiàng)式的乘法和因式分解，根據(jù)實(shí)數(shù)平方的非負(fù)性，可以證明二維形式的柯西不等式，這是代數(shù)證法.

證明左邊=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2

=（ac+bd）2+（ad-bc）2.

由于（ad-bc）2≥0，

可得（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2=右邊.

由上可知，當(dāng)且僅當(dāng)ad-bc=0，即ad=bc時(shí)，式中的等號(hào)成立.

方法2由二維柯西不等式，可以得出其等價(jià)形式：

a2+b2·c2+d2≥ac+bd以及a2+b2·c2+d2≥ac+bd.

聯(lián)想向量：α=（a，b），β=（c，d）的數(shù)量積的絕對(duì)值

α·β=α·β·cosθ

可以推出向量不等式

α·β≤α·β.

證明設(shè)向量α=（a，b），β=（c，d），a，b，c，d∈R.

∵α·β=α·β·cosθ≤α·β，

又∵α·β=（a，b）·（c，d）=ac+bd，

α=a2+b2，β=c2+d2，

∴ac+bd≤a2+b2·c2+d2，

即（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），

當(dāng)且僅當(dāng)cosθ=1，即α∥β亦即ad=bc時(shí)，取“=”.

注向量方法同時(shí)給出了二維柯西不等式的幾何解釋，即得到二維柯西不等式的幾何意義，兩個(gè)向量數(shù)量積的模不大于兩個(gè)向量模的積.

方法3分析柯西不等式

（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）的結(jié)構(gòu)，

可令ac+bd=B，a2+b2=2A，c2+d2=2C，原不等式可表示為B2-4AC≤0，聯(lián)想到二次函數(shù)與一元二次方程根的判別式，可構(gòu)造二次函數(shù)來證明柯西不等式.

證明構(gòu)造二次函數(shù)：

f（x）=（ax-c）2+（bx-d）2 （a，b，c，d∈R）

=（a2+b2）x2-2（ac+bd）x+（c2+d2）（a，b不同時(shí)為0）.

由于對(duì)于一切x∈R，f（x）≥0，又a2+b2>0，所以有Δ≤0，

即4（ac+bd）2-4（a2+b2）（c2+d2）≤0，

亦即（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），

當(dāng)且僅當(dāng)ax-c=bx-d=0，即ad=bc時(shí)，不等式取等號(hào).

方法4分析柯西不等式與均值不等式的關(guān)系，可利用均值不等式來證明柯西不等式.

證明a，b，c，d∈R，a，b或c，d不同時(shí)為零，a2a2+b2+c2c2+d2≥2a2c2a2+b2c2+d2 ，（1）

b2a2+b2+d2c2+d2≥2b2d2a2+b2c2+d2.（2）

（1）+（2）得 2≥2（|ac|+|bd|）a2+b2c2+d2，

即（a2+b2）（c2+d2）≥（|ac|+|bd|）2≥（ac+bd）2，

∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，

當(dāng)且僅當(dāng)a2a2+b2=c2c2+d2，

b2a2+b2=d2c2+d2，即|ad|=|bc|時(shí)不等式取等號(hào).

方法5利用三角函數(shù)，聯(lián)想銳角三角函數(shù)和兩角和與差的公式，給出證明.

證明首先設(shè)a，b，c，d∈R+，構(gòu)造直角三角形，如圖：