閻家斌

【摘要】線性代數(shù)是高等學(xué)校理工科各專業(yè)和經(jīng)濟管理類專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，也是各專業(yè)考研的一門重要課程.文章結(jié)合作者多年教學(xué)經(jīng)驗和對考研線性代數(shù)的研究以及學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程的感受，著重介紹了線性代數(shù)考研的一些注意事項和考研試題的特點及解題技巧，也給出了線性代數(shù)考研復(fù)習(xí)的建議.

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù)；考研；試題特點；解題技巧

【中圖分類號】G424.6【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

線性代數(shù)是高等學(xué)校理工科各專業(yè)和經(jīng)濟管理類專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，也是各專業(yè)考研的一門重要課程.線性代數(shù)的內(nèi)容不多，但基本概念和性質(zhì)較多，內(nèi)容比較抽象，各知識點之間的聯(lián)系也比較多.在復(fù)習(xí)的時候，首先應(yīng)該由淺入深，先把基礎(chǔ)打好了，然后再考慮進(jìn)一步提高.第一遍復(fù)習(xí)要注意在做題的過程中多做歸納、多做總結(jié)，使我們所學(xué)的知識不是孤立的，能形成一個知識鏈，這一點很重要.然后適當(dāng)做一點難題，太刁鉆古怪的就不要做了，現(xiàn)在的試題很少有刁鉆古怪的，一般要考的就是最基本的或者是將很基本的內(nèi)容綜合起來，但是這類題不屬于刁鉆古怪的，其實這類題只要多做一點多看一點，就能提高解題的方法和技巧.

考研數(shù)學(xué)按專業(yè)不同分為三個類別，即數(shù)一、數(shù)二和數(shù)三，但從線性代數(shù)角度來看這三個類別幾乎是沒有區(qū)別的，近年來，這三個類別用相同題的趨勢越來越明顯.復(fù)習(xí)中記住這樣一句話：理解基本概念，掌握解題方法，突破典型例題，注重總結(jié)歸納.總的來講，要想數(shù)學(xué)好，要想考高分應(yīng)該是基礎(chǔ)加題型，基礎(chǔ)是第一位的，題型是第二位的.如果我們有基礎(chǔ)，又能夠掌握住題型的話，那就能夠如虎添翼了.下面我們就線性代數(shù)考研試題的特點及解題技巧來分類討論.

一、重視基本概念、基本性質(zhì)、基本方法的理解和掌握

基本概念、基本性質(zhì)和基本方法一直是考研數(shù)學(xué)的重點，線性代數(shù)更是如此.從多年的閱卷情況和經(jīng)驗看，有些考生對基本概念掌握不夠牢固，理解不夠透徹，造成許多不應(yīng)該的失分現(xiàn)象.這類題往往出在填空題或選擇題中，例如，2013年數(shù)一、數(shù)二和數(shù)三共用的一個選擇題為：

矩陣A=1a1aba1a1與B=2000b0000相似的充分必要條件是（）.

A.a=0，b=2B.a=0，b為任意常數(shù)

C.a=2，b=0D.a=2，b為任意常數(shù)

我們知道，兩個矩陣相似則它們有相同的特征值，但是，有相同特征值的兩個矩陣不一定相似.而實對稱矩陣必與對角矩陣相似.結(jié)合到一起可知，兩個實對稱矩陣相似的充分必要條件是特征值相同.由于這里矩陣B是對角矩陣，且矩陣B的特征值為2，b，0，那么，實對稱矩陣A與B相似的充分必要條件是A的特征值也是2，b，0.

由于矩陣A有兩行相同，顯然有|A|=0，即0是A的特征值.

令|2E-A|=0，易得a=0（因為|2E-A|=-4a），且a=0時總有|bE-A|=0，即只要a=0，矩陣A的特征值為2，b，0.故應(yīng)選B.

這里注意，如果矩陣A不是實對稱矩陣，矩陣B=200020000，則矩陣A與B相似的充分必要條件是：|A|=0且R（2E-A）=1.這是因為n階矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是有n個線性無關(guān)的特征向量.

二、加強綜合能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力

從近十年特別是近兩年的研究生入學(xué)考試試題看，加強了對考生分析問題和解決問題能力的考核，很多題目都出現(xiàn)多個知識點的綜合，因此，要加深對概念、性質(zhì)內(nèi)涵的理解和應(yīng)用方法的掌握.例如，2013年數(shù)一、數(shù)二和數(shù)三共用的一個填空題為：

設(shè)A=（aij）是3階非零矩陣，|A|是A的行列式，Aij是A的代數(shù)余子式，若aij+Aij=0 （i，j=1，2，3），則|A|=.

由已知，矩陣A每個元素的代數(shù)余子式都是該元素的相反數(shù).由行列式按行展開定理知，|A|等于矩陣A任何一行元素平方和的相反數(shù)，進(jìn)一步等于矩陣A所有元素平方和的相反數(shù)除3，由于A是非零矩陣，只能知道|A|小于零.

從行列式角度我們已經(jīng)沒有可以用的手段，怎么辦？我們需要與條件（代數(shù)余子式）有關(guān)的其他信息.當(dāng)然，我們要想到一個重要的矩陣——伴隨矩陣.由伴隨矩陣的定義不難得到，此題中矩陣A滿足：A*=-AT.（注意A*=-ATAij=-aij，i，j=1，2，3）

再利用伴隨矩陣的重要性質(zhì)A*A=|A|E得到-ATA=|A|E，兩邊取行列式，并利用|AT|=|A|可得-|A|2=|A|3，于是|A|=-1.

此題把行列式及其性質(zhì)、伴隨矩陣及其性質(zhì)和矩陣行列式的運算性質(zhì)巧妙地綜合到一起，是線性代數(shù)考研的典型題目，1992年考題完全類似，只是條件為Aij=aij.

2013年數(shù)一、數(shù)二和數(shù)三共用的另一個選擇題為：

設(shè)A，B，C都是n階矩陣，若AB=C，且B可逆，則（）.

A.矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價

B.矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價

C.矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價

D.矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價

這里條件是AB=C，且B可逆，容易得到矩陣A與C等價.但我們知道，兩個矩陣的行（或列）向量組等價則這兩個矩陣等價，但反之并不成立.那么如何將矩陣和向量組聯(lián)系到一起呢？我們可以利用分塊法，由于矩陣B是在后面乘矩陣A，我們只要將矩陣A和C按列分塊，然后由AB=C可得C的列向量組可以由A的列向量組線性表示，再利用B可逆得A=CB-1，于是A的列向量組可以由C的列向量組線性表示，即A與C的列向量組等價.

三、注重分析一些重要概念和方法之間的聯(lián)系和區(qū)別

線性代數(shù)的內(nèi)容不多，但基本概念和性質(zhì)較多，它們之間的聯(lián)系也比較多，要注意通過現(xiàn)象看到問題的本質(zhì)，把一般問題轉(zhuǎn)換成熟悉的線性代數(shù)問題.例如，2013年數(shù)一、數(shù)二和數(shù)三共用的一道計算題為：

設(shè)A=1a10，B=011b，當(dāng)a，b為何值時，存在矩陣C，使得AC-CA=B，并求所有矩陣C.

看上去此題就是解矩陣方程的問題，但它和一般解矩陣方程問題是不同的.首先與未知矩陣C乘積的矩陣A不一定可逆，另外即使A可逆，由于矩陣乘法不滿足交換律，我們也無法把C用A，B來表示.另一方面，題中既然問何時存在矩陣C，并求所有矩陣C，說明這樣的矩陣C不一定存在，存在時也不唯一.

分析到此，我們應(yīng)該有了解決問題的方法，首先由已知不難看到矩陣C是一個二階方陣，只要令矩陣C的四個元素為四個變量代入AC-CA=B就得到關(guān)于這四個變量的含有常數(shù)a，b的線性方程組，問題轉(zhuǎn)化為討論四元線性方程組何時有解并求通解的問題.這是線性代數(shù)非常熟悉的問題.但要知道，考研題絕對不會直接讓你討論四元線性方程組何時有解并求通解.

四、充分利用所學(xué)知識，力求把問題簡化

如果遇到運算特別復(fù)雜的情況，應(yīng)該想一想有沒有其他方法加以簡化，考研中一般不會出現(xiàn)運算特別復(fù)雜的問題.例如，2013年數(shù)一、數(shù)二和數(shù)三共用的另一道計算題為：

設(shè)二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，記α=（a1，a2，a3）T，β=（b1，b2，b3）T.（1）證明二次型 f 對應(yīng)的矩陣為2ααT+ββT；（2）若α，β正交，且均為單位向量，證明 f 在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y21+y22.

此題大多數(shù)考生都是將二次型中兩個平方項展開，合并以后寫出二次型的矩陣，再將2ααT+ββT算出結(jié)果進(jìn)行比較，當(dāng)然可以得到結(jié)果，但是十分復(fù)雜.很多考生都把計算過程寫到其他題的答題紙上了，給判卷工作帶來很多麻煩（現(xiàn)在是利用電腦判卷）.遇到這種情況，首先想到一定有其他簡便方法.實際上（1）題只需證明f=xT（2ααT+ββT）x，其中x=（x1，x2，x3）T.而由a1x1+a2x2+a3x3=αTx=xTα，b1x1+b2x2+b3x3=βTx=xTβ，直接得到f（x1，x2，x3）=2xTααTx+xTββTx=xT（2ααT+ββT）x，這就證明了（1）.

（2）題是二次型的重要內(nèi)容，由于二次型在正交變換下變成標(biāo)準(zhǔn)形，標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)一定是二次型矩陣的所有特征值，所以只需證明矩陣2ααT+ββT的特征值為2，1，0.

由于α，β正交，且均為單位向量，所以αTβ=βTα=0，αTα=βTβ=1，于是有：

（2ααT+ββT）α=2α，（2ααT+ββT）β=β.

即：1和2都是矩陣2ααT+ββT的特征值.又由于

R（2ααT+ββT）≤R（2ααT）+R（ββT）≤R（α）+R（β）=2，

所以，0是矩陣2ααT+ββT的特征值.這就證明了題（2）的結(jié)論.

我們這里以2013年考研線性代數(shù)試題進(jìn)行了分析，實際上考研線性代數(shù)都具有這樣的規(guī)律，只要學(xué)習(xí)中從這幾個方面認(rèn)真總結(jié)，一定會提高線性代數(shù)的解題能力，在考試中取得好成績.