李明霞等

【摘要】“偏微分方程數(shù)值解法”是計算數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，它的發(fā)展離不開計算機(jī)，因此需要緊密結(jié)合程序來完成對算法的實(shí)現(xiàn).本文針對不同類型的方程精心挑選了數(shù)值算例，首先通過課堂演示來加深對理論知識的印象，并提高學(xué)生興趣；其次布置數(shù)值實(shí)驗(yàn)操作促進(jìn)學(xué)生真正了解不同數(shù)值格式；最后引進(jìn)一個建模實(shí)例，為其知識未來的應(yīng)用打好基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】有限差分方法；有限元方法；收斂速度

“偏微分方程數(shù)值解”是一門計算數(shù)學(xué)方向的公共選修課.本課程的內(nèi)容主要分為兩部分，即有限差分方法與有限元方法.有限差分方法雖然古老，但在近代才獲得飛速發(fā)展.有限元方法始于20世紀(jì)40年代，但是分化出不同的方向是近幾十年的事情.這兩種方法之所以能夠在近代獲得重要的應(yīng)用，源于計算機(jī)對算法的高效實(shí)現(xiàn).例如在天氣預(yù)報中，由于涉及許多未知量，更跨越較長的時間域，最終要求解的方程組不僅規(guī)模大，并且要求必須計算速度足夠快，才能夠準(zhǔn)確并及時地預(yù)報天氣.沒有計算機(jī)以及優(yōu)化的算法，這是不可能實(shí)現(xiàn)的.因此離開程序設(shè)計講授這門課，無異于旱地學(xué)游泳.

針對學(xué)習(xí)內(nèi)容設(shè)計適當(dāng)?shù)某绦?，不僅能夠鞏固基礎(chǔ)理論知識，還能夠使學(xué)生了解到如何利用學(xué)科知識解決實(shí)際問題，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，促使之將所學(xué)知識直接用于自己的研究領(lǐng)域.下面主要從理論驗(yàn)證和學(xué)科具體應(yīng)用兩個不同的側(cè)重點(diǎn)來設(shè)計實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容.

第一部分主要針對有限差分方法，對三種不同類型的方程，即雙曲型、拋物型以及橢圓型方程整理課堂演示所需數(shù)值實(shí)驗(yàn)，布置數(shù)值實(shí)驗(yàn)作業(yè)，以鞏固學(xué)習(xí)效果.所依據(jù)的教材為清華大學(xué)出版社《偏微分方程數(shù)值解》（第二版，陸金甫、關(guān)治[2]），以及科學(xué)出版社《偏微分方程數(shù)值解法》（第二版，孫志忠[3]），部分代碼參考《MATLAB語言常用算法程序集》[1].

第二部分主要為聯(lián)系具體學(xué)科所涉及的偏微分方程求解問題進(jìn)行計算.由于時間以及本人知識有限，僅選取了一個與水資源環(huán)境相關(guān)的實(shí)例[4].

一、理論驗(yàn)證

線性代數(shù)方程組采用傳統(tǒng)的求解三對角方程組的追趕法，最終將解隨時間的變化曲線畫出來，可以分析出濱海水位與海潮一樣具有相同周期，但時間上滯后，其水位變化幅度與海岸線的距離具有衰減性，越遠(yuǎn)水位變化幅度越小.

這個具有實(shí)際應(yīng)用背景的數(shù)值算例的引入，向?qū)W生展示了將實(shí)際問題概化為模型問題，求數(shù)值解，并將所求數(shù)值解結(jié)合原問題進(jìn)行解釋的過程，為學(xué)生提供了利用學(xué)科知識解決具體問題的范例.