【摘要】文章選取上證綜合指數(shù)2012年1月4日至2012年12月31日的日收盤(pán)數(shù)據(jù)為研究對(duì)象，針對(duì)其收益率序列，運(yùn)用GARCH模型對(duì)上證綜合指數(shù)進(jìn)行擬合和檢驗(yàn)。分析結(jié)果表明，上證綜合指數(shù)收益率序列具有明顯的異方差性、波動(dòng)性和持續(xù)性，同時(shí)上證綜指有較高的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)現(xiàn)象。

【關(guān)鍵詞】GARCH模型 收益率 上證綜合指數(shù)

前言

股票資產(chǎn)收益波動(dòng)性的研究是當(dāng)前股票市場(chǎng)研究的核心問(wèn)題之一。由于上證綜指具有跨期性、杠桿性、聯(lián)動(dòng)性、高風(fēng)險(xiǎn)性等顯著特點(diǎn)，且各種風(fēng)險(xiǎn)因素相互關(guān)聯(lián)，難以獨(dú)立的評(píng)估和預(yù)測(cè)。GARCH模型非常適和分析和預(yù)測(cè)的金融波動(dòng)性，對(duì)投資者的決策有很重要的指導(dǎo)作用[1]。因此，文章希望通過(guò)對(duì)上證綜指的GARCH性質(zhì)以及波動(dòng)性的研究，挖掘其內(nèi)在規(guī)律，對(duì)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)和指數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單評(píng)估和預(yù)測(cè)，有助于投資者進(jìn)行比較和決策，減少投資者的風(fēng)險(xiǎn)和損失。

一、GARCH模型的簡(jiǎn)介

GARCH模型是對(duì)ARCH模型的改進(jìn)和完善，自從Engle提出ARCH模型之后，Bollerslev在Engle基礎(chǔ)上提出了GARCH模型，GARCH（p，q）模型公式為[2]：

ARCH模型實(shí)際上只適用于異方差函數(shù)短期自相關(guān)過(guò)程，相比于ARCH模型，GARCH模型更能反映實(shí)際數(shù)據(jù)中的長(zhǎng)期記憶性質(zhì)。（1-1）式稱為條件均值方程；（1-2）式稱為條件方差方程，說(shuō)明時(shí)間序列條件方差的變化特征。

二、上證綜合指數(shù)收益率數(shù)據(jù)特征統(tǒng)計(jì)分析

本文選取上海證券交易所2012年1月4日到2012年12月31日的日收盤(pán)價(jià)格數(shù)據(jù)，利用EXCEL做簡(jiǎn)單的公式轉(zhuǎn)換求出上證股票的收益率2012年1月4日到2012年12月31日的242個(gè)數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象。股票的收益率用收盤(pán)價(jià)格的指數(shù)的對(duì)數(shù)差來(lái)表示，公式為：

其中St-表示上證綜合指數(shù)的收盤(pán)價(jià)，Rt-表示收益率。

首先對(duì)上證綜指數(shù)收盤(pán)價(jià)數(shù)據(jù)做基本分析，通過(guò)圖1可以直觀地觀察上證綜合指數(shù)的股票收盤(pán)價(jià)格走勢(shì)圖。

圖2可以看出，上證綜指收益率具有明顯的波動(dòng)集群現(xiàn)象，某些時(shí)間段內(nèi)波動(dòng)性較大，某些時(shí)間段內(nèi)波動(dòng)性較小。為了更深入地分析數(shù)據(jù)，我們做如下數(shù)據(jù)基本統(tǒng)計(jì)分析。

由圖3基本統(tǒng)計(jì)特征可知，股票收益率的峰度（Kurtosis）為4.649013，大于正態(tài)分布的峰度值3，由此可以看出上證綜合指數(shù)的收益率序列的特征有尖峰和厚尾的特性。P值為0.00000，拒絕上證綜指收益率序列服從正態(tài)分布的假設(shè)。

圖4收益率的Q-Q圖中，直線代表正態(tài)分布，收益率序列在中段接近直線而在兩端偏離直線，這是厚尾分布的特征。厚尾特征的出現(xiàn)一般而言有兩方面原因：一是信息集中出現(xiàn)導(dǎo)致指數(shù)大幅波動(dòng)；二是信息的作用沒(méi)有立刻在期貨市場(chǎng)顯示出來(lái)，大量信息的積累導(dǎo)致了大幅的波動(dòng)。

三、上證綜合指數(shù)收益率模型的建立

（一）平穩(wěn)性檢驗(yàn)

數(shù)據(jù)變量的平穩(wěn)性是傳統(tǒng)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析的基本要求之一。只有模型中的變量滿足平穩(wěn)性要求時(shí)，傳統(tǒng)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析方法才是有效的。而在模型中含有非平穩(wěn)時(shí)間序列式，基于傳統(tǒng)的計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析方法的估計(jì)和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)計(jì)量將失去通常的性質(zhì)，從而推斷得出的結(jié)論可能是錯(cuò)誤的。因此，在建立模型之前有必要檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性。

對(duì)上證綜合指數(shù)收益率時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如表1所示：

表1 上證綜合指數(shù)收益率ADF檢驗(yàn)

由表1可知，-16.23493<-3.4574，因此上證綜合指數(shù)收益率時(shí)間序列為平穩(wěn)序列。

（二）相關(guān)性檢驗(yàn)

對(duì)已求出的242個(gè)上證股票收益率做相關(guān)性檢驗(yàn)，結(jié)果如下圖：

由相關(guān)檢驗(yàn)圖可以看出，收益率序列的自相關(guān)系數(shù)（AC）和偏自相關(guān)系數(shù)（PAC）都在兩倍標(biāo)準(zhǔn)差之間，由此可以看出收益率序列不存在自相關(guān)性和偏自相關(guān)性?？紤]到收益率序列不存在相關(guān)性，因此在均值方程中不存在均值回歸因子，可以用線性方程來(lái)擬合。

（三）收益序列ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)

以上證綜合指數(shù)序列{S1}為基礎(chǔ)，為了減少舍入誤差在估計(jì)時(shí)對(duì)序列{S1}進(jìn)行自然對(duì)數(shù)處理，將處理的結(jié)果{ln（St-1）}最為因變量進(jìn)行估計(jì)。估計(jì)的基本形式假定為[3]：

ln（St）=c+ρ×ln（St-1）+μt （3-1）

其中c為常數(shù)，利用最小二乘法估計(jì)得到如下方程：

ln（St）=0.019+0.997×ln（St-1）+μt

（0.0083）（0.000）

R-squared=0.9971 Log likelihood=11644.2

AIC=-4.983 SC=-4.981

從擬合結(jié)果可以看出擬合程度非常顯著，系數(shù)的和小于1，并且殘差經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)平穩(wěn)。

觀察殘差圖，可以注意到波動(dòng)的成群現(xiàn)象明顯，這說(shuō)明誤差項(xiàng)可能具有條件異方差性。

因此，需要運(yùn)用ARCH-LM檢驗(yàn)（3-1）式的條件異方差。

在此檢測(cè)中，原假設(shè)為：回歸方程的隨機(jī)誤差滿足同方差性。對(duì)立假設(shè)為：回歸方程的隨機(jī)誤差滿足異方差性。判斷原則為：如果nR^2>chi^2（k-1），則原假設(shè)就要被否定，即回歸方程滿足異方差性。

對(duì)收益率序列進(jìn)行不同滯后期的進(jìn)行回歸方程以后殘差序列進(jìn)行此項(xiàng)檢驗(yàn)，結(jié)果匯總?cè)缦拢?/p>

表2中P值為0拒絕原假設(shè)，因此認(rèn)為收益率序列存在ARCH效應(yīng)，并且由5階ARCH-LM檢驗(yàn)結(jié)果來(lái)看P值仍然很小，即殘差序列存在高階ARCH效應(yīng)，應(yīng)考慮建立GARCH（p，q）模型。

（四）模型的選擇

為確定GARCH模型的階數(shù)，以下列出不同的系數(shù)組合所得到的AIC和SC。

通過(guò)AIC和SC的比較可知，在上述模型中，GARCH（2，3）和GARCH（1，1）是上述模型中較好的兩個(gè)模型，為了降低參數(shù)估計(jì)的復(fù)雜程度，我們選擇GARCH（1，1）模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)?；貧w結(jié)果表示為：

ln（St）=0.033+0.996×ln（St-1）+×μt （3-2）

（0.00）（0.00）

σ2t=4.46×10-6+0.9118×σ2t-1+0.0775×μ2t-1 （3-3）

（0.000） （0.000） （0.000）

AIC=-5.6603 SC=-5.3436

R-squared=0.99712 Log likelihood=12487.7

相比較最小二乘法的結(jié)果，對(duì)數(shù)似然值有所增加，AIC和SC都有所減小，說(shuō)明GARCH（1，1）模型能夠較好地?cái)M合數(shù)據(jù)，對(duì)方程（3-2）進(jìn)行ARCH-LM檢驗(yàn)，殘差序列的統(tǒng)計(jì)結(jié)果：

由表4可知，此時(shí)該序列不存在ARCH效應(yīng)，說(shuō)明利用GARCH（1，1）模型消除了方程的殘差序列的條件異方差性。

殘差檢驗(yàn)結(jié)果圖如下：

由圖7可知自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)都極小，近似等于0，Q統(tǒng)計(jì)量大于顯著程度，說(shuō)明不顯著，同時(shí)也證明了殘差序列不存在ARCH效應(yīng)。

方差方程式中ARCH項(xiàng)和GARCH項(xiàng)之和為0.988小于1，滿足參數(shù)的約束條件。因?yàn)橄禂?shù)之和比較接近1，由此說(shuō)明條件方差所受的沖擊是持久的。

四、結(jié)論

由GARCH（1，1）模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果可知，GARCH項(xiàng)的系數(shù)為0.988，同時(shí)通過(guò)了顯著性檢驗(yàn)，由此證明上證綜合指數(shù)的股票價(jià)格具有“長(zhǎng)久的記憶性”，也就是前期股票價(jià)格的波動(dòng)對(duì)后期股票價(jià)格波動(dòng)的大小有一定的影響；同時(shí)表明上證綜指有較高的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)現(xiàn)象，即股市波動(dòng)越大，其存在的風(fēng)險(xiǎn)也越大，同時(shí)收益率也越高。

分析結(jié)果表明，上證綜合指數(shù)收益率序列具有明顯的異方差性、波動(dòng)性和持續(xù)性，同時(shí)上證綜指有較高的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)現(xiàn)象，即股市波動(dòng)越大，其存在的風(fēng)險(xiǎn)也越大，收益率也越高。

方差方程式中ARCH項(xiàng)和GARCH項(xiàng)之和為0.988小于1，滿足參數(shù)的約束條件。因?yàn)橄禂?shù)之和比較接近1，由此說(shuō)明條件方差所受的沖擊是持久的。

另外模型的ARCH項(xiàng)和GARCH項(xiàng)的系數(shù)都是正數(shù)，由此說(shuō)明股票過(guò)去的價(jià)格波動(dòng)對(duì)未來(lái)股市的波動(dòng)有著正向而減緩的作用，表現(xiàn)出波動(dòng)性的集中出現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)

[1]韋艷華，張世英.金融市場(chǎng)的相關(guān)性分析——Copula-GARCH模型及其應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程，2004，（4）：7-12.

[2]李基梅，劉青青.VaR-GARCH模型在我國(guó)股指期貨風(fēng)險(xiǎn)管理中的應(yīng)用[J].山東理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，（4）：73-76.

[3]王玉榮.中國(guó)股票市場(chǎng)波動(dòng)性研究-ARCH模型族的應(yīng)用[J].河南金融管理干部學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，（5）：25-38.

基金項(xiàng)目：院級(jí)科研項(xiàng)目（2012zrky09）及廣西教育廳項(xiàng)目（2013LX144）。

作者簡(jiǎn)介：江偉（1972-），男，漢族，廣西賀州人，講師，研究方向：金融統(tǒng)計(jì)。