魏思晴 趙繼源 陳麗霜

(廣西師范學(xué)院數(shù)科院 廣西南寧 530023)

數(shù)的計算是我國小學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的計算能力也是我國小學(xué)數(shù)學(xué)的基本任務(wù)之一。小學(xué)階段扎實的運算基本功也為初高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了良好的保障。因此，在小學(xué)階段掌握扎實的運算基本功是十分重要的。然而在實際操作中，學(xué)生常常會出現(xiàn)這樣那樣的錯誤。

為了了解當(dāng)下小學(xué)生的實際運算狀況，筆者從南寧市某實驗小學(xué)的二至五年級中分別選取學(xué)優(yōu)生、中等生、學(xué)困生三個層次各兩名學(xué)生作為被試。每個年級編制兩套不同的試卷，分別為筆試試卷和口答試卷，并安排了部分重合的題目在相鄰年級的試卷中。試題按照從易到難的順序進(jìn)行排列，題量較大，不要求被測試者全部做完，僅要求在規(guī)定的時間內(nèi)做盡可能多的題目。筆試(心算)共10分鐘，口答(口算)共5分鐘。測試分為預(yù)測階段和實測階段。預(yù)測過后，根據(jù)被試的答卷及反饋情況，修改試卷部分過難試題，再進(jìn)行實測。為了避免練習(xí)效應(yīng)，預(yù)測和實測選取了不同的被試。實測由三個部分組成，被試需分別參加心算、口算和訪談三個步驟。其中心算題禁止在草稿紙上列豎式和借助任何計算工具，直接寫出答案?？谒泐}由主試人員向?qū)W生報題目，要求學(xué)生用最快速度直接說出答案，允許學(xué)生跳過其認(rèn)為難的題。訪談是為了了解學(xué)生的家庭背景、學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維方式等，并將之前做錯的題目要求其再做一次，并詢問當(dāng)時做錯的原因及思考過程。

通過上述對小學(xué)二至五年級學(xué)生的口算心算能力的測試調(diào)查與訪談研究，對學(xué)生計算中常見的錯誤類型進(jìn)行歸納總結(jié)并分析其原因，有針對性地提出了培養(yǎng)運算技能的一些教學(xué)建議和對策，以便教師采取有針對性的教學(xué)方式來提高學(xué)生的運算水平。

一、小學(xué)生口算心算方面常見的錯誤類型

(一)加減法進(jìn)退位錯誤

在答卷中，各年級都發(fā)現(xiàn)許多加減法進(jìn)退位錯誤。不應(yīng)當(dāng)進(jìn)退位時做了進(jìn)退位，如79－46=23;應(yīng)當(dāng)進(jìn)退位時卻沒有做，如22－18=14;也有進(jìn)退位的位數(shù)不正確，如1000－620=280等。

加減法進(jìn)退位錯誤是本次調(diào)查中出現(xiàn)次數(shù)最多的錯誤類型，在各個年級均有分布，其出現(xiàn)的頻率和學(xué)生平時的成績成負(fù)相關(guān)，在學(xué)困生中尤為常見。一些學(xué)生由于平時運算訓(xùn)練較少，短時記憶存在一定的缺陷，有時會忘記進(jìn)退位，或重復(fù)進(jìn)退位，導(dǎo)致此類錯誤發(fā)生。

(二)運算符號混淆錯誤

部分學(xué)生在做題過程中不能正確識別運算符號。有把加法當(dāng)減法，如3.4+0.7=2.7;有把乘法當(dāng)加法，如10×2=12等;有把減法當(dāng)加法，如0.9－0.3=1.2;有把除法當(dāng)乘法，如100÷10=1000。此類錯誤在混合運算中也有體現(xiàn)，如850－100×5=1350中，算完乘法后誤將減法做成加法。

這種錯誤主要出現(xiàn)在低年級學(xué)生的答卷中，在中等生的答卷中出現(xiàn)得更為普遍，隨著年級的升高錯誤逐漸減少。低年級學(xué)生對事物的感知粗糙，對數(shù)字和符號的感知不夠全面，缺乏整體性，也較少考慮符號的數(shù)學(xué)意義，僅憑通過視覺反射到大腦中的模糊印象去計算，因此頻繁地出現(xiàn)此類錯誤。一部分學(xué)生出現(xiàn)這種錯誤并不是因為“看錯”或者“粗心”，而是因為題中的數(shù)字之間存在某種倍數(shù)關(guān)系，或者運算之后能湊出整十整百的得數(shù)，使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的“湊整”傾向，想當(dāng)然地進(jìn)行錯誤的計算。雖然中等生對數(shù)字符號的感知印象不如學(xué)優(yōu)生深刻，但又比學(xué)困生更能敏銳地察覺題目中數(shù)字之間的某些“巧合關(guān)系”，在“湊整”意識的強(qiáng)烈干擾下更容易犯此類錯誤。

(三)基本加減乘除計算錯誤及其衍生錯誤

運算基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生會產(chǎn)生基本加減運算的一些衍生錯誤。如81+18=88中，個位與十位分別錯誤計算8+1和1+8;又如7.5－3.4=4.3中，小數(shù)點后一位錯誤計算了0.5－0.4;而9.7－7=9中則因?qū)?減在了小數(shù)位上而產(chǎn)生錯誤。此類錯誤也會出現(xiàn)在混合運算中，如35×2+210=270等。有些學(xué)生對乘法口訣記憶不清，會做出如4×7=36的結(jié)果來，由此也衍生出一些其他的錯誤，如兩位數(shù)乘一位數(shù)的計算中出現(xiàn)12×6=78是因為對個位2×6=12的記憶不清導(dǎo)致的。

此類型錯誤在口算中出現(xiàn)的頻率要高于心算，并且集中出現(xiàn)在低年級學(xué)困生中，在高年級學(xué)生及學(xué)優(yōu)生中很少發(fā)生。低年級學(xué)困生平時運算訓(xùn)練少，無法達(dá)到自動化，口訣等識記性運算知識的使用依賴于從記憶中提取轉(zhuǎn)化。而這些知識在記憶、保存和提取三個環(huán)節(jié)都有可能出現(xiàn)偏差或是不完整，直接導(dǎo)致了運算出錯。經(jīng)過了幾年訓(xùn)練，高年級學(xué)生運算自動化程度較高，較少發(fā)生此類錯誤。

(四)與0有關(guān)的錯誤

低年級學(xué)生難以正確理解0的數(shù)學(xué)意義和乘法的概念，因此做錯與0有關(guān)的乘法。如0×4，多數(shù)二年級學(xué)生得出的答案是4。我們在訪談中著重詢問了學(xué)生計算此題的思路，學(xué)生認(rèn)為0×4就是等于4，沒有為什么。我們引導(dǎo)學(xué)生回憶課本上首次提到乘法時的表述，即乘法是指將相同的數(shù)加起來的快捷運算，提問2×3是不是等于2+2+2，學(xué)生說是的。接著再問0×4，學(xué)生還是認(rèn)為等于4，追問1×4等于多少，學(xué)生的答案也是4，并且認(rèn)為0×4和1×4是相等的。因為二年級學(xué)生初學(xué)0和乘法的概念，僅靠機(jī)械記憶而無法體會本質(zhì)，所以在實際運算時容易出錯。三年級及以上的學(xué)生在反復(fù)使用過程中對于0和乘法的概念已經(jīng)有了一定程度的內(nèi)化認(rèn)識，避免了此類錯誤。

遇到較大數(shù)字，特別是整十整百的數(shù)字時學(xué)生容易多0或少0，如210÷7=3中答案少0而出錯。這樣的錯誤也體現(xiàn)在混合運算中，如450÷5+10=19中，在計算450÷5時錯算成9。此類錯誤由于對0的占位作用認(rèn)識模糊，在確定數(shù)字的位數(shù)時產(chǎn)生障礙。這類錯誤在各層次學(xué)生中均有出現(xiàn)，數(shù)字末尾0的個數(shù)越多越容易出錯，少數(shù)優(yōu)等生對0的占位作用認(rèn)識較為清晰，會有意識地排查此類錯誤。

(五)小數(shù)點位置錯誤

許多學(xué)生在辛苦地運算之后，無法將小數(shù)點打在答數(shù)的正確位置。如乘法1.2×0.8=9.6，又如除法9.9÷11=9。在一些學(xué)生的筆試答卷中發(fā)現(xiàn)，得數(shù)的不同位數(shù)之間出現(xiàn)多個小數(shù)點，可見學(xué)生在確認(rèn)小數(shù)點具體位置時的游移不定。此類錯誤在學(xué)困生中更為常見，且乘除法的小數(shù)點位置的確定稍顯復(fù)雜，出錯比加減法更為普遍。五年級學(xué)生比四年級學(xué)生接觸小數(shù)的概念的時間更長，做小數(shù)運算更為熟練，因此更少出現(xiàn)這種錯誤。

(六)運算法則記憶錯誤

部分學(xué)生還會杜撰出一些不存在的運算法則。如除法是沒有結(jié)合律的，而在訪談中發(fā)現(xiàn)，有學(xué)生在計算5.6÷0.8+5.6÷0.2時用5.6÷(0.8+0.2)化簡計算得到錯誤答案。這種錯誤在高年級中分布更為常見，且在學(xué)優(yōu)生中出現(xiàn)得更多。因在熟悉使用運算法則的過程中能夠體會到簡化運算的便利，而又沒有理解運算法則的本質(zhì)，僅靠模糊的記憶杜撰出和已有運算法則看起來很像的“假法則”，這是已學(xué)過知識的負(fù)遷移。學(xué)困生在處理同樣的題目時，常采用直接計算的方式而不去考慮化簡，因此少有“假法則”現(xiàn)象。

除了以上六種常見的運算錯誤之外，調(diào)查中還發(fā)現(xiàn)兩種現(xiàn)象值得關(guān)注:一是學(xué)生口算普遍表現(xiàn)得不如心算熟練，即便是同樣類型同樣難度的題，口算處理起來也會比心算更加費時，且正確率更低。大多數(shù)學(xué)生在訪談中表示口算由于看不見題目做起來更難。二是此次調(diào)查的試卷中安排了一些可使用一些運算法則來化簡運算的題目，然而在訪談中只有少部分學(xué)生提到使用運算法則來處理，多數(shù)學(xué)生仍是在心里列豎式來達(dá)到運算目的。雖然這兩種現(xiàn)象不是學(xué)生的常見錯誤，但卻影響著學(xué)生運算的正確率和速度，有一定的研究價值。

二、導(dǎo)致小學(xué)生口算心算常見錯誤的原因

小學(xué)生在運算中出錯不能簡單地歸因為“粗心”，其背后都有認(rèn)知規(guī)律可循，我們將導(dǎo)致小學(xué)生運算出錯的原因歸為以下幾點。

(一)運算基本技能自動化程度低

有些學(xué)生在測試時連最簡單的加減法和表內(nèi)乘除法都無法完全做對，而在訪談中給其充足的時間讓其再做，大部分學(xué)生又是能做對的。這說明學(xué)生并不是真的不知道這些基本運算事實，時而出錯是由于基本運算技能不夠扎實導(dǎo)致的。由于訓(xùn)練不足，學(xué)生對于基本運算事實以及運算的程序性知識不夠熟練，運算的自動化程度不高，在沒有壓力的情況下可以慢慢地推出結(jié)果，一旦在時間緊迫題量大的測試環(huán)境中，低自動化的運算技能必然限制了運算速度，嚴(yán)重影響了運算的正確率。

(二)運算法則模糊不清

許多法則可用于簡化運算，節(jié)約思維。在混合運算中，一旦學(xué)生對種類繁多的運算法則缺乏理解，記憶模糊、無法靈活運用，就容易誘發(fā)錯誤。有的學(xué)生明顯受到運算法則學(xué)習(xí)的負(fù)遷移，被思維定勢強(qiáng)烈干擾，沒有考察清楚題目而進(jìn)行想當(dāng)然的運算。比如除法是沒有結(jié)合律的，而在實際使用的時候卻經(jīng)常被杜撰出來，其內(nèi)在原因是學(xué)生未能真正理解運算法則的數(shù)學(xué)含義產(chǎn)生了負(fù)遷移。

(三)對運算的本質(zhì)理解存在障礙

對運算的本質(zhì)理解存在障礙也是導(dǎo)致運算出錯的主要原因之一，例如上文提到的“0×4等于幾”，由于對乘法運算的本質(zhì)理解存在障礙，因而大多數(shù)二年級學(xué)生無法做對。雖然這道題不是表內(nèi)乘法，但若是掌握了乘法的本質(zhì)時正確答案是不難得出的。這道題的高錯誤率和許多基本運算出錯的內(nèi)在原因是學(xué)生并不理解運算的本質(zhì)是什么，對運算口訣僅是機(jī)械的記憶和盲目的使用，在記憶模糊或者有漏洞的時候，無法通過運算間的相互關(guān)系自行推導(dǎo)出正確的結(jié)果，就造成此類錯誤頻繁出現(xiàn)。

(四)短時記憶缺陷

在運算的過程中，在大腦中需要暫時存儲和提取先前已經(jīng)進(jìn)行過的運算步驟和結(jié)果。學(xué)生短時存儲和提取中間步驟不完整，在進(jìn)行接下來的步驟時就很容易受到上一個步驟的干擾，難以不重、不漏、不亂地進(jìn)行接下來的運算步驟。這種短時記憶缺陷導(dǎo)致的運算錯誤也是混合運算頻繁出錯的最主要的原因。

三、提高小學(xué)生計算能力的教學(xué)建議

(一)加強(qiáng)基本運算的訓(xùn)練，提高運算自動化程度

扎實的運算基本功是提高運算能力的基本前提，學(xué)生運算基本功不扎實是由于運算的自動化程度不高造成的。如果基本運算尚不能達(dá)到自動化的程度，而是要在做題的過程中才回憶和推導(dǎo)，不僅不利于運算速度的提升，也很容易造成運算錯誤?；具\算必須要達(dá)到不假思索立刻算出的熟練程度才能保證復(fù)雜運算的正確率。在教學(xué)中，應(yīng)對學(xué)生的基本運算多加訓(xùn)練以達(dá)到自動化。

(二)重視對運算法則和原理的解說

如果學(xué)生不能理解運算法則和原理，而是單純依靠機(jī)械記憶和模仿計算過程，那么很難真正領(lǐng)會運算本質(zhì)。如此一來學(xué)習(xí)過程枯燥，記憶量過大，且理解片面而難以靈活運用，一旦公式法則或是運算程序出現(xiàn)記憶錯誤，必然導(dǎo)致運算出錯。在教學(xué)中必須重視對運算法則和原理的解說，讓學(xué)生明白這些運算法則是怎么得到的、意味著什么、在哪些條件下才能使用，這樣才能讓學(xué)生切實掌握并自如使用。

(三)加強(qiáng)運算記憶的訓(xùn)練

在復(fù)雜運算的過程中，記憶很大程度上也參與其中。這涉及長期記憶，即把學(xué)過的運算知識提取出來使用;也涉及短時記憶，即儲存并提取已做過的運算步驟和中間結(jié)果。學(xué)生的長期記憶缺陷容易使運算知識、定理、法則記憶不牢，而導(dǎo)致計算方法和策略的錯誤，而短期記憶的不足也頻頻導(dǎo)致計算步驟之間的互相干擾，造成步驟的重復(fù)、遺漏和錯位。教師在教學(xué)過程中應(yīng)加強(qiáng)運算記憶的訓(xùn)練，激發(fā)學(xué)生的大腦，促使其長期記憶和短時記憶都有所增強(qiáng)。

(四)提高“聽覺—動作”統(tǒng)和能力

在測試中發(fā)現(xiàn)，用口算形式呈現(xiàn)的運算，學(xué)生無論是反應(yīng)速度還是正確率都要低于心算。在訪談中大多數(shù)學(xué)生也表示因為無法看見題目所以做起來稍顯困難。這是由于學(xué)生無法很好地協(xié)調(diào)聽覺與思維的關(guān)系。視覺信息的傳達(dá)具有直觀性，而完整地接收聽覺信息則需要集中更高的注意力，且在信息轉(zhuǎn)化的過程中也容易出現(xiàn)更多的障礙。在實際教學(xué)中需要加強(qiáng)聽覺訓(xùn)練，使學(xué)生將聽覺信息也能良好地轉(zhuǎn)化，以提升口算能力。

(五)加強(qiáng)簡便運算的訓(xùn)練，提高學(xué)生運算速度

在測試中我們安排了許多可以運用簡便算法快速計算得出的題，如25×12，熟悉簡便算法的學(xué)生能很快得出25×12=25×4×3=100×3=300，從而快速得出正確答案。而測試過程中發(fā)現(xiàn)只有少數(shù)學(xué)生能夠熟練利用簡便算法來簡化運算，多數(shù)學(xué)生的計算過程過于機(jī)械，難以發(fā)覺題目中的隱藏信息。簡便算法對學(xué)生思維訓(xùn)練、提高正確率和運算速度都是大為有益，對節(jié)約考試時間有著非常重大的作用，因此需要在教學(xué)中注意訓(xùn)練學(xué)生簡化運算的能力。

小學(xué)生處在為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)的重要階段，運算是小學(xué)階段主要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)，因為學(xué)生年紀(jì)小，注意力分散，認(rèn)知水平不高，會出現(xiàn)各種錯誤，需要教師及時找準(zhǔn)錯誤生成的原因，對癥下藥，通過合理的訓(xùn)練規(guī)避這些錯誤，才能提高學(xué)生的運算技能，為中學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

［1］張曉霞.四川省六年級小學(xué)生數(shù)學(xué)基本計算技能的調(diào)查報告［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2009，18(4):42 －45.

［2］王 林.農(nóng)村小學(xué)三年級學(xué)生數(shù)的基本計算能力調(diào)查與分析［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2010，19(2)58 －61.

［3］張樹東.小學(xué)生計算錯誤的原因分析及對策［J］.教育心理研究，2006，(5):53 －58.