孟 猛，樊亞洪，2，張激揚(yáng)，2，劉 虎，鄧曉楠

(1.北京控制工程研究所，北京 100190;2.航天器先進(jìn)慣性執(zhí)行機(jī)構(gòu)與測量技術(shù)聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，北京 100190;3.北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191;4.中國空間技術(shù)研究院，北京 100094)

O 引言

磁懸浮飛輪具有無接觸、無摩擦、無需潤滑、高精度、長壽命等優(yōu)點(diǎn)［1］.從理論上磁懸浮飛輪可以達(dá)到無振動，但是實(shí)際中仍存在一些擾動源會引起振動，進(jìn)而傳遞到星體上.引起這些擾動的原因，包括不平衡振動、傳感器噪聲、定轉(zhuǎn)子固有模態(tài)振動以及安裝誤差等.這些擾動會造成磁懸浮飛輪慣性矢量產(chǎn)生誤差，從而影響衛(wèi)星的姿態(tài)穩(wěn)定精度和指向精度［2］.

本文利用微振動測量平臺和數(shù)據(jù)采集分析硬件和軟件，實(shí)時(shí)測量飛輪兩個(gè)平動方向的微振動力，通過分析磁懸浮飛輪微振動力時(shí)域特性和頻域特性，特別是通過分析瀑布圖，找出引起磁懸浮飛輪微振動的主要頻域分量，例如同頻量、倍頻量或者不隨轉(zhuǎn)速變化的模態(tài)量.運(yùn)用主動振動控制算法對相應(yīng)頻域分量進(jìn)行控制，最終實(shí)現(xiàn)在時(shí)域和頻域飛輪振動力的顯著下降.

1 磁懸浮飛輪結(jié)構(gòu)及建模

磁懸浮飛輪磁軸承轉(zhuǎn)子動力學(xué)建模的建立是磁軸承控制方法研究的基礎(chǔ)［3］.

1.1 飛輪結(jié)構(gòu)

本文測試用的飛輪的結(jié)構(gòu)如圖1所示.磁軸承系統(tǒng)由上、下兩個(gè)軸向磁軸承和一個(gè)徑向磁軸承組成.與典型結(jié)構(gòu)磁軸承系統(tǒng)的控制方式不同，徑向磁軸承只產(chǎn)生轉(zhuǎn)子徑向平動控制力，轉(zhuǎn)子的徑向偏轉(zhuǎn)控制力矩和軸向平動控制力均由軸向磁軸承產(chǎn)生［4］.

圖1 五自由度磁懸浮飛輪結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure of 5 DOF MSFW

1.2 轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型

假設(shè)飛輪轉(zhuǎn)子為剛性轉(zhuǎn)子，質(zhì)量為m，極轉(zhuǎn)動慣量為JP，赤道轉(zhuǎn)動慣量為Je.建立轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系統(tǒng)OXYZ，如圖2的轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系統(tǒng)所示，轉(zhuǎn)子繞Z軸旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為Ω，繞X，Y軸的轉(zhuǎn)角分別為α，β，轉(zhuǎn)子對應(yīng)于3個(gè)慣性主軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為JX，JY，JZ，則有JZ=JP，由于轉(zhuǎn)子為軸對稱結(jié)構(gòu)，因而有JX=JY=Je.

除了Z軸的轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)子動力學(xué)方程可寫為

其中式(1)為轉(zhuǎn)子的3個(gè)平動方程，式中FX、FY、FZ為作用于轉(zhuǎn)子質(zhì)心上的外力在X方向、Y方向和Z方向上的分力.式(2)為轉(zhuǎn)子的兩個(gè)轉(zhuǎn)動方程，式中MΑ和MΒ為作用于轉(zhuǎn)子上繞X軸和Y軸的外力矩.

圖2 轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.2 Coordinate system of rotor

對于圖1所示的磁懸浮飛輪結(jié)構(gòu)，徑向偏轉(zhuǎn)兩個(gè)自由度是靠軸向平動的4個(gè)分量z1，z2，z3，z4來控制，與偏轉(zhuǎn)關(guān)系如下:

其中R為轉(zhuǎn)子半徑.

FX、FY、MΑ、MΒ為作用在轉(zhuǎn)子質(zhì)心上的外力和力矩，本身是非線性的，但是當(dāng)轉(zhuǎn)子在平衡位置附近作小范圍位移運(yùn)動時(shí)，可以做Taylor展開得到近似的線性方程［1］:

其中，KS為位移剛度系數(shù)，Ki為電流剛度系數(shù)，Ii為控制電流，q為轉(zhuǎn)子平動位移和偏轉(zhuǎn).

1.3 轉(zhuǎn)子微振動模型

含有不平衡量的轉(zhuǎn)子中心面如圖3所示.由于轉(zhuǎn)子靜不平衡量的存在，轉(zhuǎn)子幾何中心與質(zhì)心不重合.

圖3 轉(zhuǎn)子中心面坐標(biāo)系統(tǒng)Fig.3 Coordinate system of central rotor plane

以磁軸承轉(zhuǎn)子質(zhì)心O為原點(diǎn)建立相對于慣性空間的固定坐標(biāo)系(NXY).其中λ為幾何中心和質(zhì)心的長度，Ωt+φ為旋轉(zhuǎn)角度.將轉(zhuǎn)子靜不平衡量作為系統(tǒng)內(nèi)部擾動，考慮磁軸承轉(zhuǎn)子處幾何中心和質(zhì)心之間的相對位置關(guān)系，有:

式中:X'，Y'分別表示幾何軸在磁軸承處的位移和偏轉(zhuǎn);x'，y'分別表示慣性軸在磁軸承處的位移和偏轉(zhuǎn).

當(dāng)轉(zhuǎn)子在平衡位置附近小范圍運(yùn)動時(shí)，根據(jù)式(4)，軸承力的線性化方程為

式中:iX、iY為相應(yīng)的磁軸承控制電流;ks為磁軸承的位移剛度;ki為磁軸承的電流剛度.由式(6)可見，軸承力中的位移剛度分量和電流剛度分量均存在不平衡擾動.

令

則由式(6)、(7)可得含不平衡擾動的徑向磁軸承力方程為

其中ΘX、ΘY表示因不平衡量引入的擾動.

由1.2節(jié)可知，磁懸浮飛輪結(jié)構(gòu)特殊，徑向偏轉(zhuǎn)兩個(gè)自由度通過軸向磁軸承控制.因此，其偏轉(zhuǎn)自由度的不平衡量模型不同于傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)的磁軸承轉(zhuǎn)子，如圖4所示.

圖4 中 z1，z2，z3，z4為軸向平動的 4 個(gè)分量，以z1，z3方向?yàn)閄軸，z2，z4方向?yàn)閅軸，Z軸為轉(zhuǎn)子慣性軸.R'為定子下平面半徑，δ為轉(zhuǎn)子中心距定子下平面的間隙.由此可以推導(dǎo)出轉(zhuǎn)子中心面邊緣距定子下平面的最小間隙lmin為

圖4 轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 Structure of the rotor

Ωt+φ是z1磁軸承相對于最小間隙lmin旋轉(zhuǎn)過的角度.由此可以推導(dǎo)出 z1，z2，z3，z44 個(gè)軸向磁軸承間隙如下式:

令

其中ΘΑ(t)和ΘΒ(t)為轉(zhuǎn)子的不平衡擾動量.則由式(10)、(11)可得含不平衡擾動的軸向磁軸承力方程為

除了轉(zhuǎn)子不平衡量，傳感器誤差也是引起振動的擾動源.磁軸承轉(zhuǎn)子的倍頻分量主要是由傳感器奇次諧波導(dǎo)致的［5］，包含倍頻分量的磁軸承轉(zhuǎn)子的廣義位移方程可寫為

其中ε'為傳感器誤差引入的倍頻分量.

2 微振動測試

2.1 測試系統(tǒng)簡介

微振動測試系統(tǒng)如圖5所示，測試過程中磁懸浮飛輪固連在基座上，利用壓板將飛輪和基座壓緊在測量臺上，從而確保飛輪、基座和測振臺成剛性安裝.由于不同的安裝位置會影響兩個(gè)偏轉(zhuǎn)方向振動力矩的測量，因此本文主要針對兩個(gè)平動方向的振動力作測量和控制，盡量避免因安裝方式引起的測量誤差對控制效果的影響.

圖5 微振動測試系統(tǒng)Fig.5 Micro-vibration test system

2.2 測試結(jié)果與分析

本節(jié)對磁懸浮飛輪的測試，磁軸承反饋控制回路只是保留了基本的PID控制和交叉算法以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性.目的是考查無主動振動控制算法的情況下磁懸浮飛輪的振動力的時(shí)域和頻域特性.測試過程中磁懸浮飛輪以0.05 N·m的力矩從0 r/min升至5200 r/min.徑向平動X和Y兩個(gè)方向的振動力FX和FY的瀑布圖如圖6～7所示.瀑布圖中3個(gè)坐標(biāo)軸分別是頻率、轉(zhuǎn)速和力.

從圖6和7中可以看出，徑向平動兩個(gè)方向振動力FX和FY的同頻分量和5倍頻分量在整個(gè)頻譜范圍內(nèi)比較明顯.其中5倍頻分量在3000 r/min以后的高速時(shí)有非常明顯的上升.從兩個(gè)平動方向振動力的時(shí)域圖(如圖8)，可以看出，在整個(gè)升速過程中FX和FY的振動力的時(shí)域值一直上升，到4500 r/min的高速時(shí)穩(wěn)定在±10 N和±15 N.

圖6 徑向平動X方向的振動力瀑布圖Fig.6 Waterfall diagram of radial X direction

圖7 徑向平動Y方向的振動力瀑布圖Fig.7 Waterfall diagram of radial Y direction

圖8 徑向平動X，Y方向振動力時(shí)域圖Fig.8 Vibration force of X and Y radial directions in time domain

因此，如果將FX和FY的同頻分量和5倍頻分量進(jìn)行有效控制，那么其振動力在時(shí)域和頻域都會有很明顯地下降.這就是下一步作主動振動控制的目的.

3 主動振動控制方法及效果

3.1 主動振動控制方法原理

(1)同頻閉環(huán)陷波

由含有不平衡擾動的軸承力方程(8)可以看出，要完全抑制不平衡擾動的影響，首先要辨識并濾除控制電流中的同頻分量，即確定ΘX(t)和ΘY(t)并補(bǔ)償.方法如下:將式(7)改寫為(只針對徑向平動)

式中，rX1，rX2為同頻擾動余弦分量幅值，rY1、rY2為同頻擾動正弦分量幅值［1］，如圖9所示.N(s)是中心頻率隨轉(zhuǎn)速變化的自適應(yīng)陷波器;Nf(s)是跟蹤濾波器;ε是反饋系數(shù)，決定自適應(yīng)陷波器N(s)的收斂速度和中心陷波帶寬，w(t)和c(t)為陷波器輸入輸出.

經(jīng)閉環(huán)反饋系統(tǒng)收斂后［5］，濾波器Nf(s)中積分器的輸出值即為轉(zhuǎn)子位移信號中正余弦同頻分量幅值，也就是實(shí)現(xiàn)了對電流信號中不平衡量的辨識及補(bǔ)償.

圖9 主動振動控制方法框圖Fig.9 Block diagram of adaptive vibration control

(2)位移剛度補(bǔ)償

由式(8)可知，在濾除控制電流同頻擾動分量之后，還必須對位移剛度力中的同頻分量進(jìn)行補(bǔ)償，即在各磁軸承控制電流中分別加入位移剛度力補(bǔ)償項(xiàng):

其中位移剛度ks和電流剛度ki均可以通過試驗(yàn)測得.

(3)同頻開環(huán)陷波

閉環(huán)自適應(yīng)陷波的引入必然會改變原閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和穩(wěn)定性.通過穩(wěn)定性分析，當(dāng)飛輪轉(zhuǎn)速大于臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)會失穩(wěn)［6］:

ω0是與控制系統(tǒng)參數(shù)相關(guān)的臨界轉(zhuǎn)速［7］.

(4)倍頻分量的抑制方法

倍頻量的擾動方程為

倍頻分量的補(bǔ)償控制可采用自適應(yīng)跟蹤濾波器和陷波的方法來實(shí)現(xiàn)，只要從傳感器信號中濾除相對慣性軸的倍頻干擾即可.

3.2 控制效果

(1)同頻分量

如圖10，加入振動控制算法后，F(xiàn)X的同頻分量的峰值從約為4 N下降到0.7 N左右，降幅約為83%;FY之前的同頻分量峰值約為3 N，之后約為0.8 N，降幅約為73%.

圖10 徑向平動X、Y兩個(gè)方向振動力同頻分量Fig.10 Same frequency componentin X and Y radial direction

(2)倍頻分量

FX的5倍頻分量的峰值從大約2.3 N，下降到不足0.3 N，降幅約為87%;FY的5倍頻分量的峰值從7 N下降到不足1.5 N，降幅達(dá)79%，如圖11所示.

圖11 徑向平動X、Y兩個(gè)方向振動力5倍頻分量Fig.115-times frequency component in X and Y radial directions

(3)振動力時(shí)域值

對比圖12與圖8，未加任何振動控制算法時(shí)，F(xiàn)X和FY的時(shí)域值在整個(gè)升速過程總有很明顯地上升，最終維持在±15 N和±20 N左右，加了主動振動控制算法后的整個(gè)升速過程中的時(shí)域值基本維持在±5 N以內(nèi).

圖12 徑向平動X、Y方向振動力時(shí)域圖Fig.12 Vibration force diagram of X and Y radial directions in time domain

4 結(jié)束語

本文通過測試磁懸浮飛輪的微振動特性，發(fā)現(xiàn)磁懸浮飛輪除了同頻量、倍頻量和不隨轉(zhuǎn)速變化的模態(tài)分量，基本無其他頻域分量.并且由于交叉反饋控制，也看不到章動和進(jìn)動分量.在時(shí)域特性上，振動力時(shí)域值會隨著轉(zhuǎn)速升高而增加，最終在高速時(shí)基本保持穩(wěn)定.在對頻域特性和時(shí)域特性分析的基礎(chǔ)上，本文利用閉環(huán)自適應(yīng)陷波，位移剛度補(bǔ)償和開環(huán)自適應(yīng)陷波的方法，將平動X，Y方向的同頻和5倍頻分量進(jìn)行控制，降幅達(dá)均到70%以上，體現(xiàn)了主動振動控制算法的有效性.

本文后續(xù)仍然有很多工作需要深入研究，從整個(gè)瀑布圖來看，需要濾除的頻域分量還有不隨轉(zhuǎn)速變化的彈性模態(tài)分量、低速時(shí)的倍頻分量等.另外，本文未考慮磁中心調(diào)零對控制效果的影響，也沒有考慮不同的支撐剛度對于主動振動控制方法的影響，這些是下一步研究中要解決的主要問題.

［1］ 劉彬，房建成，劉剛，等.磁懸浮飛輪不平衡振動控制方法與試驗(yàn)研究［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2010(6):188-194.LIU B，F(xiàn)ANG J C，LIU G，et al.Unbalance vibration control and experiment research of magnetically suspended flywheels［J］.Journal of Mechanical Engineering，2010(6):188-194.

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［6］ 劉彬.五自由度全主動大力矩磁軸承懸浮動量輪磁軸承系統(tǒng)控制方法與實(shí)驗(yàn)研究［D］.北京:北京航空航天大學(xué)，2011.LIU B.Study on magnetic bearing control and experiments for a five active axes magnetically suspended flywheel with large torque capacity［D］.Beijing:Beijing U-niversity of Aeronautics and Astronautics，2011.

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