李信棟，茍興宇

(1.北京控制工程研究所，北京 100190;2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190)

O 引言

多體衛(wèi)星對(duì)星本體進(jìn)行姿態(tài)控制的同時(shí)還要對(duì)各附件進(jìn)行指向控制，兩種控制回路之間必然存在運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)耦合，對(duì)于這種典型的多輸入多輸出(MIMO，multi-input multi-output)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度分析不像單輸入單輸出(SISO，single-input sin-gle-output)線(xiàn)性定常系統(tǒng)那樣簡(jiǎn)單.SISO線(xiàn)性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度有明確的定義，而MIMO線(xiàn)性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度分析方法仍在發(fā)展中.針對(duì)MIMO線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，文獻(xiàn)［1］提出多變量穩(wěn)定裕度概念km(ω)，并基于映射理論通過(guò)迭代算法得到最終穩(wěn)定裕度結(jié)果，但此法計(jì)算量大且結(jié)果保守;類(lèi)似的，文獻(xiàn)［2］提出的結(jié)構(gòu)奇異值μ分析法也能得到較保守的穩(wěn)定裕度估計(jì)結(jié)果，并且兩定義間存在關(guān)系基于頻域中的Nyquist理論，文獻(xiàn)［3］提出了臨界方向理論(critical direction theory)，并給出臨界方向和臨界擾動(dòng)半徑的概念，通過(guò)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的特征函數(shù)得到整個(gè)系統(tǒng)Nyquist魯棒穩(wěn)定裕度;為了減小計(jì)算量，文獻(xiàn)［4］根據(jù)奇異值理論，通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)回差陣的奇異值來(lái)求取系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度;此外，文獻(xiàn)［5］在文獻(xiàn)［4］的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，提出一種基于逆回差陣奇異值的計(jì)算方法，將其與回差陣奇異值法相結(jié)合有利于減小穩(wěn)定裕度計(jì)算結(jié)果的保守性.

為使多體衛(wèi)星系統(tǒng)的控制策略和穩(wěn)定裕度的計(jì)算結(jié)果更具有工程參考價(jià)值，本文采用工程中的天線(xiàn)驅(qū)動(dòng)組件(GDA)為天線(xiàn)指向提供驅(qū)動(dòng)力矩;在天線(xiàn)小角度機(jī)動(dòng)條件下，針對(duì)兩輸入兩輸出的多體衛(wèi)星線(xiàn)性控制系統(tǒng)，采用多變量頻域理論中的序列回差設(shè)計(jì)技術(shù)，設(shè)計(jì)衛(wèi)星本體俯仰姿態(tài)和天線(xiàn)指向控制的MIMO控制器，并利用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)證明整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性;在此基礎(chǔ)上分別利用回差陣奇異值法和逆回差陣奇異值法計(jì)算MIMO控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，將兩者所得結(jié)果進(jìn)行比較并結(jié)合起來(lái)使用，達(dá)到減小穩(wěn)定裕度計(jì)算結(jié)果保守性的目的.

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

將附件天線(xiàn)的慣性特征與衛(wèi)星中心剛體結(jié)合在一起，可以得到多體衛(wèi)星系統(tǒng)的兩剛體動(dòng)力學(xué)構(gòu)型，如圖1所示.定義φ、θ、ψ分別為航天器的滾動(dòng)、俯仰、偏航姿態(tài)角，圖中定義了衛(wèi)星本體固連坐標(biāo)系XYZ的方位，并將天線(xiàn)在標(biāo)稱(chēng)零位鎖定時(shí)的天線(xiàn)固連坐標(biāo)系方位定義為經(jīng)衛(wèi)星本體固連坐標(biāo)系 +X 軸旋轉(zhuǎn)180°得到［6-7］.

定義天線(xiàn)繞X軸、Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角分別為α、β，運(yùn)用Newton-Eular法，以1x－2y轉(zhuǎn)序?yàn)槔酶髯鴺?biāo)系之間的關(guān)系導(dǎo)出標(biāo)量動(dòng)力學(xué)方程.在平臺(tái)姿態(tài)可以線(xiàn)性化、平臺(tái)與附件機(jī)動(dòng)角速度均不大的前提下，進(jìn)一步將控制對(duì)象簡(jiǎn)化為俯仰平面問(wèn)題，相應(yīng)標(biāo)量格式的動(dòng)力學(xué)方程［6-7］為

圖1 平臺(tái)+天線(xiàn)的兩剛體構(gòu)型Fig.1 Two-rigid-body system with platform and appendages

式中，Ia，yy和 Ib，yy分別為航天器平臺(tái)與天線(xiàn)繞各自俯仰軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，xra，cc，cs為系統(tǒng)幾何參數(shù)所決定的常系數(shù)，ma為天線(xiàn)質(zhì)量，Mcy為繞航天器y軸的俯仰姿態(tài)控制力矩，Mβ為β轉(zhuǎn)角控制力矩.

若考慮GDA作為天線(xiàn)驅(qū)動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)，可得天線(xiàn)驅(qū)動(dòng)力矩 Mβ［7］為

其中，k為等效彈簧剛度，Dp為等效彈簧阻尼系數(shù)，βf為天線(xiàn)指令輸入轉(zhuǎn)角，則系統(tǒng)模型(1)可變?yōu)?/p>

假設(shè)天線(xiàn)指向角在俯仰平面內(nèi)小角度機(jī)動(dòng)，即在β=0°附近考慮問(wèn)題，則動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)一步變?yōu)?/p>

選擇輸入u= [ Mcyβf]T，輸出 y=[θ β]T，對(duì)式

(3)進(jìn)行拉氏變換可得對(duì)象傳遞函數(shù)矩陣為

其中

2 序列回差控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

序列回差設(shè)計(jì)法是英國(guó)學(xué)者M(jìn)ayne首先提出的［8］.這種方法的基本思想是將多變量反饋控制系統(tǒng)化為單回路，通過(guò)順序的閉合每一個(gè)回路設(shè)計(jì)相應(yīng)控制器，并判斷穩(wěn)定性，直至閉合最后一個(gè)回路，最終得到整個(gè)系統(tǒng)控制器.

序列回差法設(shè)計(jì)的控制器可寫(xiě)成如下形式:

式中:Ka是常數(shù)置換矩陣，滿(mǎn)足是一系列初等列運(yùn)算矩陣的乘積，即

這里每一個(gè)Kbi(s)代表一次列運(yùn)算;Kc(s)是非奇異對(duì)角陣

要求每個(gè)對(duì)角元素kci(s)的所有零點(diǎn)、極點(diǎn)均在s平面的左半開(kāi)平面內(nèi)，kci(s)即為閉合第i個(gè)回路時(shí)所要設(shè)計(jì)的反饋控制器.

定理1［8］.設(shè)對(duì)象傳遞函數(shù)矩陣G(s)是非奇異的有理傳遞函數(shù)矩陣不恒為零且G(s)是穩(wěn)定的，那么一定存在一個(gè)置換矩陣Ka和補(bǔ)償矩陣Kb(s)，使Q0(s)=G(s)KaKb(s)是非奇異的對(duì)角優(yōu)勢(shì)陣，且對(duì)角元素所有極點(diǎn)和零點(diǎn)均在左半開(kāi)平面內(nèi).

這個(gè)定理說(shuō)明閉合第i個(gè)回路并不影響其他前i－1個(gè)回路，這表明逐次選擇 Kb(s)=Kb1(s)…Kbm(s)的各因子，可使Qi－1(s)的第i個(gè)對(duì)角元素的極點(diǎn)和零點(diǎn)均在左半開(kāi)平面內(nèi)，更有利于第i個(gè)回路的反饋控制器kci(s).

定理2［8］.如果控制對(duì)象G(s)是穩(wěn)定的，則選擇每一個(gè)kci(s)和Kbi(s)，使它們的零、極點(diǎn)都在s平面的左半開(kāi)平面內(nèi).逐次閉合每一個(gè)回路所得子系統(tǒng)νi，做對(duì)應(yīng)于每一個(gè)子系統(tǒng)的標(biāo)量回差ti(s)的奈氏軌跡，若它不包圍或不通過(guò)s平面的坐標(biāo)原點(diǎn)，則子系統(tǒng)νi是穩(wěn)定的，整個(gè)系統(tǒng)也是閉環(huán)穩(wěn)定的.

對(duì)本文的對(duì)象進(jìn)行設(shè)計(jì)，根據(jù)定理1，第一步選擇常數(shù)陣Ka，一般令Ka=I2，I2為2×2維單位陣.進(jìn)一步設(shè)計(jì)控制器Kb(s)，這里控制器Kb(s)的目的是使系統(tǒng)未閉合的部分成為對(duì)角優(yōu)勢(shì)，可選擇

計(jì)算Q0(s)=G(s)KaKb1(s)，得

判斷其有沒(méi)有零、極點(diǎn)在右半平面內(nèi)，作它的Nyquist圖，如圖2所示.從圖中可看出Nyquist圖不包圍且不通過(guò)s平面的坐標(biāo)原點(diǎn)，因此閉合第一個(gè)回路后得到子系統(tǒng)ν1是穩(wěn)定的.其閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣為

現(xiàn)在設(shè)計(jì)第二個(gè)回路.由Kb2(s)的結(jié)構(gòu)形式所決定，只能選擇Kb2(s)=I2，則有Q1(s)=G1(s)，選擇控制器 kc2(s)，計(jì)算此時(shí)回路的標(biāo)量回差t2(s):

同樣對(duì)t2(s)作Nyquist曲線(xiàn)如圖3所示，判斷其是否不包圍且不通過(guò)s平面的坐標(biāo)原點(diǎn)，由圖3可看出t2(s)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

根據(jù)定理2，標(biāo)量回差t1(s)和t2(s)的Nyquist圖都不包圍且不通過(guò)s平面的坐標(biāo)原點(diǎn)，因此，最后可證得整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

圖3 t2(s)的Nyquist圖Fig.3 Nyquist diagram of t2(s)

到此為止，各控制器設(shè)計(jì)已經(jīng)完成，根據(jù)式(5)和(6)可知它們分別為

由式(4)和(9)可得總控制器為

3 穩(wěn)定裕度分析

針對(duì)本文的多體衛(wèi)星MIMO控制系統(tǒng)，分別利用回差陣奇異值法［4］和逆回差陣奇異值法［5］計(jì)算MIMO控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，兩者相結(jié)合來(lái)減小穩(wěn)定裕度計(jì)算結(jié)果的保守性.對(duì)一般反饋控制系統(tǒng)如圖4所示，其中G(s)∈Cn×n為系統(tǒng)標(biāo)稱(chēng)模型.與文獻(xiàn)［5］中所示不同，這里在輸出端引入不確定性量測(cè)陣，令 s=jω ，有

下面分析系統(tǒng)保持穩(wěn)定所容許各回路增益或相角變化的最大值，具體通過(guò)不確定量測(cè)陣P(s)中的參數(shù)ki和φi來(lái)獲取系統(tǒng)穩(wěn)定裕度.

圖4 一般反饋系統(tǒng)模型Fig.4 Feedback control system

3.1 回差陣奇異值法

若考慮增益和相位在每個(gè)通道同時(shí)變化的情況，由方程(12)，可得系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件為

本文中的系統(tǒng)模型是簡(jiǎn)化后的兩輸入兩輸出線(xiàn)性模型，設(shè)計(jì)控制器完畢后引入量測(cè)陣P(s)如圖5所示，計(jì)算其回差陣［I+G(s)K(s)］，然后通過(guò)Matlab仿真工具可求得回差陣在整個(gè)頻帶范圍內(nèi)最小奇異值為min(I+GK)=0.6197 ，根據(jù)式(14)可得相應(yīng)的穩(wěn)定裕度為:當(dāng)所有通道的幅值不變時(shí)，允許所有通道的相位裕度是36.1°;當(dāng)所有通道的相位不變時(shí)，允許所有通道的幅值裕度是8.4 dB.

圖5 引入量測(cè)陣后控制系統(tǒng)框圖Fig.5 Feedback control system with measurement matrix

3.2 逆回差陣奇異值法

假設(shè)標(biāo)稱(chēng)系統(tǒng)是可逆的，即［G(s)K(s)］－1存在，若標(biāo)稱(chēng)系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，則有［I+(GK)－1］＞0，在輸出端引入不確定量測(cè)陣P(s)后系統(tǒng)仍保持穩(wěn)定的條件［I+(PGK)－1］＞0，利用矩陣分離特性:

根據(jù)P(s)的定義，可知P－1(s)存在，而I+(GK)－1亦是非奇異的，因此(P － I)［I+(GK)－1］－1+I必須非奇異，可知其為非奇異的一個(gè)充分條件是:

聯(lián)系式(15)，令不等式(16)右邊項(xiàng)小于1，得到系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件為

若考慮增益和相位在每個(gè)通道同時(shí)變化的情況，根據(jù)P(s)的定義式，可得系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件為

針對(duì)本文中的線(xiàn)性化模型，計(jì)算其逆回差陣I+［G(s)K(s)］－1，通過(guò)仿真工具可求得逆回差陣最小奇異值為min［I+(GK)－1］=0.7594，根據(jù)式(19)可得相應(yīng)的穩(wěn)定裕度為:當(dāng)所有通道的幅值不變時(shí)，允許所有通道的相位裕度是44.63°;當(dāng)所有通道的相位不變時(shí)，允許所有通道的幅值裕度是4.9 dB.

雖然兩種方法都計(jì)算得到系統(tǒng)穩(wěn)定裕度，但是分析兩者的結(jié)果可看出，逆回差陣奇異值法所得的相位裕度結(jié)果有所改善，但是增益裕度結(jié)果相對(duì)減小，兩種方法都具有較大保守性;因此，將兩種方法的穩(wěn)定裕度結(jié)論綜合起來(lái)考慮，分別比較兩種方法所得增益裕度和相位裕度的大小，則它們之間的較大者可作為本文控制系統(tǒng)的最終穩(wěn)定裕度，即系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定所允許的所有回路中增益可同時(shí)增大8.4 dB，相位角可同時(shí)滯后 44.63°.

4 數(shù)值仿真

針對(duì)衛(wèi)星本體俯仰軸姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和天線(xiàn)指向角運(yùn)動(dòng)同時(shí)跟蹤情況下的MIMO控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，繪制仿真圖，以驗(yàn)證上文所設(shè)計(jì)的控制器的有效性.在本文中，對(duì)象模型參數(shù)取 Ia，yy=0.438 kg·m2，Ib，yy=3453 kg·m2，ma=8 kg，cc= －1.94 m，cs= －0.22 m，xra= －0.0056 m，Dp=0.95 N·m·s/rad，k=175 N·m/rad，則線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)方程為

文中所設(shè)計(jì)控制器為

采用如式(20)所示的控制器對(duì)式(2)所示原始非線(xiàn)性模型進(jìn)行仿真，并且令各狀態(tài)量的初始值為θ0=β0=0°.設(shè)計(jì)衛(wèi)星本體俯仰軸姿態(tài)期望跟蹤軌跡和衛(wèi)星天線(xiàn)指向角期望跟蹤軌跡分別為

得到仿真結(jié)果如圖6所示.

通過(guò)仿真結(jié)果可以看出，俯仰姿態(tài)和天線(xiàn)指向角能較快地跟蹤期望軌跡，兩者跟蹤誤差最終都趨于較小值;同時(shí)能保證一定的姿態(tài)控制精度和天線(xiàn)指向精度，因此所設(shè)計(jì)控制方法使系統(tǒng)具有較好的跟蹤效果，控制器滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求.

圖6 星本體俯仰姿態(tài)和天線(xiàn)指向角的跟蹤誤差曲線(xiàn)Fig.6 Tracking errors of satellite pitch attitude and antenna pointing angle

下面對(duì)第3節(jié)中所求穩(wěn)定裕度結(jié)果進(jìn)行仿真驗(yàn)證.根據(jù)計(jì)算結(jié)果已知系統(tǒng)各回路增益可同時(shí)增大8.4 dB，即增大至2.63倍.采用上文設(shè)計(jì)的控制器對(duì)式(2)所示非線(xiàn)性模型進(jìn)行仿真，可得系統(tǒng)的跟蹤誤差曲線(xiàn)圖如圖7所示.從圖中可以看出，天線(xiàn)指向角誤差曲線(xiàn)已有發(fā)散趨勢(shì)，說(shuō)明系統(tǒng)已經(jīng)不穩(wěn)定.

分析出現(xiàn)這種情況的原因認(rèn)為:系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度是對(duì)線(xiàn)性化后的線(xiàn)性MIMO系統(tǒng)分析得到的，而圖7所示仿真是針對(duì)式(2)所示原始非線(xiàn)性模型進(jìn)行的，因此，穩(wěn)定裕度的結(jié)果不可避免的有所偏差.下面適當(dāng)減小回路增益所增大的倍數(shù)，令所有回路增益同時(shí)增大至2.56倍，繼續(xù)進(jìn)行仿真，并得到仿真結(jié)果如圖8所示.

圖7 系統(tǒng)增益增大至2.63倍時(shí)的跟蹤誤差曲線(xiàn)Fig.7 Tracking errors with the gain increasing to 2.63 times

圖8 系統(tǒng)增益增大至2.56倍時(shí)的跟蹤誤差曲線(xiàn)Fig.8 Tracking errors with the gain increasing to 2.56 times

從圖8中可以看出，系統(tǒng)誤差沒(méi)有明顯發(fā)散趨勢(shì)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的.分析上述驗(yàn)證結(jié)果可知，針對(duì)線(xiàn)性化后的線(xiàn)性MIMO系統(tǒng)分析得到的穩(wěn)定裕度比實(shí)際非線(xiàn)性系統(tǒng)結(jié)果偏大，因此不能直接應(yīng)用到非線(xiàn)性系統(tǒng);此外，應(yīng)該看到所求得的穩(wěn)定裕度結(jié)果具有較小的保守性，說(shuō)明文中的計(jì)算方法是可取的.更重要的是通過(guò)上述分析，給實(shí)際工程中穩(wěn)定裕度的使用提供了可靠的保證.

5 結(jié)論

本文采用工程中的GDA為天線(xiàn)指向提供驅(qū)動(dòng)力矩，在天線(xiàn)小角度機(jī)動(dòng)條件下，針對(duì)兩輸入兩輸出的多體衛(wèi)星線(xiàn)性控制系統(tǒng)，利用多變量頻域理論中的序列回差設(shè)計(jì)技術(shù)，設(shè)計(jì)衛(wèi)星本體俯仰姿態(tài)和天線(xiàn)指向控制器.另外重要的一點(diǎn)是，文中分析了整個(gè)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，分別利用計(jì)算量較小的回差陣奇異值法和逆回差陣奇異值法計(jì)算MIMO控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，并把兩者所求結(jié)果進(jìn)行比較，得到系統(tǒng)穩(wěn)定裕度保守性較小的最終結(jié)果.在此基礎(chǔ)上，對(duì)所求穩(wěn)定裕度結(jié)果進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，并得出一個(gè)重要結(jié)論:針對(duì)線(xiàn)性化后的線(xiàn)性MIMO系統(tǒng)分析得到的穩(wěn)定裕度比實(shí)際非線(xiàn)性系統(tǒng)結(jié)果要偏大，這使得文中的穩(wěn)定裕度分析更具有工程參考價(jià)值.

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