李信棟，茍興宇

(1.北京控制工程研究所，北京 100190;2.空間智能控制技術重點實驗室，北京 100190)

O 引言

多體衛(wèi)星對星本體進行姿態(tài)控制的同時還要對各附件進行指向控制，兩種控制回路之間必然存在運動學和動力學耦合，對于這種典型的多輸入多輸出(MIMO，multi-input multi-output)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度分析不像單輸入單輸出(SISO，single-input sin-gle-output)線性定常系統(tǒng)那樣簡單.SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度有明確的定義，而MIMO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度分析方法仍在發(fā)展中.針對MIMO線性系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，文獻［1］提出多變量穩(wěn)定裕度概念km(ω)，并基于映射理論通過迭代算法得到最終穩(wěn)定裕度結果，但此法計算量大且結果保守;類似的，文獻［2］提出的結構奇異值μ分析法也能得到較保守的穩(wěn)定裕度估計結果，并且兩定義間存在關系基于頻域中的Nyquist理論，文獻［3］提出了臨界方向理論(critical direction theory)，并給出臨界方向和臨界擾動半徑的概念，通過開環(huán)系統(tǒng)的特征函數得到整個系統(tǒng)Nyquist魯棒穩(wěn)定裕度;為了減小計算量，文獻［4］根據奇異值理論，通過計算系統(tǒng)回差陣的奇異值來求取系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度;此外，文獻［5］在文獻［4］的基礎上進行改進，提出一種基于逆回差陣奇異值的計算方法，將其與回差陣奇異值法相結合有利于減小穩(wěn)定裕度計算結果的保守性.

為使多體衛(wèi)星系統(tǒng)的控制策略和穩(wěn)定裕度的計算結果更具有工程參考價值，本文采用工程中的天線驅動組件(GDA)為天線指向提供驅動力矩;在天線小角度機動條件下，針對兩輸入兩輸出的多體衛(wèi)星線性控制系統(tǒng)，采用多變量頻域理論中的序列回差設計技術，設計衛(wèi)星本體俯仰姿態(tài)和天線指向控制的MIMO控制器，并利用Nyquist穩(wěn)定判據證明整個閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性;在此基礎上分別利用回差陣奇異值法和逆回差陣奇異值法計算MIMO控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，將兩者所得結果進行比較并結合起來使用，達到減小穩(wěn)定裕度計算結果保守性的目的.

1 系統(tǒng)動力學建模

將附件天線的慣性特征與衛(wèi)星中心剛體結合在一起，可以得到多體衛(wèi)星系統(tǒng)的兩剛體動力學構型，如圖1所示.定義φ、θ、ψ分別為航天器的滾動、俯仰、偏航姿態(tài)角，圖中定義了衛(wèi)星本體固連坐標系XYZ的方位，并將天線在標稱零位鎖定時的天線固連坐標系方位定義為經衛(wèi)星本體固連坐標系 +X 軸旋轉180°得到［6-7］.

定義天線繞X軸、Y軸的轉動角分別為α、β，運用Newton-Eular法，以1x－2y轉序為例，利用各坐標系之間的關系導出標量動力學方程.在平臺姿態(tài)可以線性化、平臺與附件機動角速度均不大的前提下，進一步將控制對象簡化為俯仰平面問題，相應標量格式的動力學方程［6-7］為

圖1 平臺+天線的兩剛體構型Fig.1 Two-rigid-body system with platform and appendages

式中，Ia，yy和 Ib，yy分別為航天器平臺與天線繞各自俯仰軸的轉動慣量，xra，cc，cs為系統(tǒng)幾何參數所決定的常系數，ma為天線質量，Mcy為繞航天器y軸的俯仰姿態(tài)控制力矩，Mβ為β轉角控制力矩.

若考慮GDA作為天線驅動執(zhí)行機構，可得天線驅動力矩 Mβ［7］為

其中，k為等效彈簧剛度，Dp為等效彈簧阻尼系數，βf為天線指令輸入轉角，則系統(tǒng)模型(1)可變?yōu)?/p>

假設天線指向角在俯仰平面內小角度機動，即在β=0°附近考慮問題，則動力學方程進一步變?yōu)?/p>

選擇輸入u= [ Mcyβf]T，輸出 y=[θ β]T，對式

(3)進行拉氏變換可得對象傳遞函數矩陣為

其中

2 序列回差控制器設計及穩(wěn)定性分析

序列回差設計法是英國學者Mayne首先提出的［8］.這種方法的基本思想是將多變量反饋控制系統(tǒng)化為單回路，通過順序的閉合每一個回路設計相應控制器，并判斷穩(wěn)定性，直至閉合最后一個回路，最終得到整個系統(tǒng)控制器.

序列回差法設計的控制器可寫成如下形式:

式中:Ka是常數置換矩陣，滿足是一系列初等列運算矩陣的乘積，即

這里每一個Kbi(s)代表一次列運算;Kc(s)是非奇異對角陣

要求每個對角元素kci(s)的所有零點、極點均在s平面的左半開平面內，kci(s)即為閉合第i個回路時所要設計的反饋控制器.

定理1［8］.設對象傳遞函數矩陣G(s)是非奇異的有理傳遞函數矩陣不恒為零且G(s)是穩(wěn)定的，那么一定存在一個置換矩陣Ka和補償矩陣Kb(s)，使Q0(s)=G(s)KaKb(s)是非奇異的對角優(yōu)勢陣，且對角元素所有極點和零點均在左半開平面內.

這個定理說明閉合第i個回路并不影響其他前i－1個回路，這表明逐次選擇 Kb(s)=Kb1(s)…Kbm(s)的各因子，可使Qi－1(s)的第i個對角元素的極點和零點均在左半開平面內，更有利于第i個回路的反饋控制器kci(s).

定理2［8］.如果控制對象G(s)是穩(wěn)定的，則選擇每一個kci(s)和Kbi(s)，使它們的零、極點都在s平面的左半開平面內.逐次閉合每一個回路所得子系統(tǒng)νi，做對應于每一個子系統(tǒng)的標量回差ti(s)的奈氏軌跡，若它不包圍或不通過s平面的坐標原點，則子系統(tǒng)νi是穩(wěn)定的，整個系統(tǒng)也是閉環(huán)穩(wěn)定的.

對本文的對象進行設計，根據定理1，第一步選擇常數陣Ka，一般令Ka=I2，I2為2×2維單位陣.進一步設計控制器Kb(s)，這里控制器Kb(s)的目的是使系統(tǒng)未閉合的部分成為對角優(yōu)勢，可選擇

計算Q0(s)=G(s)KaKb1(s)，得

判斷其有沒有零、極點在右半平面內，作它的Nyquist圖，如圖2所示.從圖中可看出Nyquist圖不包圍且不通過s平面的坐標原點，因此閉合第一個回路后得到子系統(tǒng)ν1是穩(wěn)定的.其閉環(huán)傳遞函數矩陣為

現在設計第二個回路.由Kb2(s)的結構形式所決定，只能選擇Kb2(s)=I2，則有Q1(s)=G1(s)，選擇控制器 kc2(s)，計算此時回路的標量回差t2(s):

同樣對t2(s)作Nyquist曲線如圖3所示，判斷其是否不包圍且不通過s平面的坐標原點，由圖3可看出t2(s)對應的系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

根據定理2，標量回差t1(s)和t2(s)的Nyquist圖都不包圍且不通過s平面的坐標原點，因此，最后可證得整個閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

圖3 t2(s)的Nyquist圖Fig.3 Nyquist diagram of t2(s)

到此為止，各控制器設計已經完成，根據式(5)和(6)可知它們分別為

由式(4)和(9)可得總控制器為

3 穩(wěn)定裕度分析

針對本文的多體衛(wèi)星MIMO控制系統(tǒng)，分別利用回差陣奇異值法［4］和逆回差陣奇異值法［5］計算MIMO控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，兩者相結合來減小穩(wěn)定裕度計算結果的保守性.對一般反饋控制系統(tǒng)如圖4所示，其中G(s)∈Cn×n為系統(tǒng)標稱模型.與文獻［5］中所示不同，這里在輸出端引入不確定性量測陣，令 s=jω ，有

下面分析系統(tǒng)保持穩(wěn)定所容許各回路增益或相角變化的最大值，具體通過不確定量測陣P(s)中的參數ki和φi來獲取系統(tǒng)穩(wěn)定裕度.

圖4 一般反饋系統(tǒng)模型Fig.4 Feedback control system

3.1 回差陣奇異值法

若考慮增益和相位在每個通道同時變化的情況，由方程(12)，可得系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件為

本文中的系統(tǒng)模型是簡化后的兩輸入兩輸出線性模型，設計控制器完畢后引入量測陣P(s)如圖5所示，計算其回差陣［I+G(s)K(s)］，然后通過Matlab仿真工具可求得回差陣在整個頻帶范圍內最小奇異值為min(I+GK)=0.6197 ，根據式(14)可得相應的穩(wěn)定裕度為:當所有通道的幅值不變時，允許所有通道的相位裕度是36.1°;當所有通道的相位不變時，允許所有通道的幅值裕度是8.4 dB.

圖5 引入量測陣后控制系統(tǒng)框圖Fig.5 Feedback control system with measurement matrix

3.2 逆回差陣奇異值法

假設標稱系統(tǒng)是可逆的，即［G(s)K(s)］－1存在，若標稱系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，則有［I+(GK)－1］＞0，在輸出端引入不確定量測陣P(s)后系統(tǒng)仍保持穩(wěn)定的條件［I+(PGK)－1］＞0，利用矩陣分離特性:

根據P(s)的定義，可知P－1(s)存在，而I+(GK)－1亦是非奇異的，因此(P － I)［I+(GK)－1］－1+I必須非奇異，可知其為非奇異的一個充分條件是:

聯系式(15)，令不等式(16)右邊項小于1，得到系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件為

若考慮增益和相位在每個通道同時變化的情況，根據P(s)的定義式，可得系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件為

針對本文中的線性化模型，計算其逆回差陣I+［G(s)K(s)］－1，通過仿真工具可求得逆回差陣最小奇異值為min［I+(GK)－1］=0.7594，根據式(19)可得相應的穩(wěn)定裕度為:當所有通道的幅值不變時，允許所有通道的相位裕度是44.63°;當所有通道的相位不變時，允許所有通道的幅值裕度是4.9 dB.

雖然兩種方法都計算得到系統(tǒng)穩(wěn)定裕度，但是分析兩者的結果可看出，逆回差陣奇異值法所得的相位裕度結果有所改善，但是增益裕度結果相對減小，兩種方法都具有較大保守性;因此，將兩種方法的穩(wěn)定裕度結論綜合起來考慮，分別比較兩種方法所得增益裕度和相位裕度的大小，則它們之間的較大者可作為本文控制系統(tǒng)的最終穩(wěn)定裕度，即系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定所允許的所有回路中增益可同時增大8.4 dB，相位角可同時滯后 44.63°.

4 數值仿真

針對衛(wèi)星本體俯仰軸姿態(tài)運動和天線指向角運動同時跟蹤情況下的MIMO控制系統(tǒng)進行仿真分析，繪制仿真圖，以驗證上文所設計的控制器的有效性.在本文中，對象模型參數取 Ia，yy=0.438 kg·m2，Ib，yy=3453 kg·m2，ma=8 kg，cc= －1.94 m，cs= －0.22 m，xra= －0.0056 m，Dp=0.95 N·m·s/rad，k=175 N·m/rad，則線性動力學方程為

文中所設計控制器為

采用如式(20)所示的控制器對式(2)所示原始非線性模型進行仿真，并且令各狀態(tài)量的初始值為θ0=β0=0°.設計衛(wèi)星本體俯仰軸姿態(tài)期望跟蹤軌跡和衛(wèi)星天線指向角期望跟蹤軌跡分別為

得到仿真結果如圖6所示.

通過仿真結果可以看出，俯仰姿態(tài)和天線指向角能較快地跟蹤期望軌跡，兩者跟蹤誤差最終都趨于較小值;同時能保證一定的姿態(tài)控制精度和天線指向精度，因此所設計控制方法使系統(tǒng)具有較好的跟蹤效果，控制器滿足設計要求.

圖6 星本體俯仰姿態(tài)和天線指向角的跟蹤誤差曲線Fig.6 Tracking errors of satellite pitch attitude and antenna pointing angle

下面對第3節(jié)中所求穩(wěn)定裕度結果進行仿真驗證.根據計算結果已知系統(tǒng)各回路增益可同時增大8.4 dB，即增大至2.63倍.采用上文設計的控制器對式(2)所示非線性模型進行仿真，可得系統(tǒng)的跟蹤誤差曲線圖如圖7所示.從圖中可以看出，天線指向角誤差曲線已有發(fā)散趨勢，說明系統(tǒng)已經不穩(wěn)定.

分析出現這種情況的原因認為:系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度是對線性化后的線性MIMO系統(tǒng)分析得到的，而圖7所示仿真是針對式(2)所示原始非線性模型進行的，因此，穩(wěn)定裕度的結果不可避免的有所偏差.下面適當減小回路增益所增大的倍數，令所有回路增益同時增大至2.56倍，繼續(xù)進行仿真，并得到仿真結果如圖8所示.

圖7 系統(tǒng)增益增大至2.63倍時的跟蹤誤差曲線Fig.7 Tracking errors with the gain increasing to 2.63 times

圖8 系統(tǒng)增益增大至2.56倍時的跟蹤誤差曲線Fig.8 Tracking errors with the gain increasing to 2.56 times

從圖8中可以看出，系統(tǒng)誤差沒有明顯發(fā)散趨勢，系統(tǒng)是穩(wěn)定的.分析上述驗證結果可知，針對線性化后的線性MIMO系統(tǒng)分析得到的穩(wěn)定裕度比實際非線性系統(tǒng)結果偏大，因此不能直接應用到非線性系統(tǒng);此外，應該看到所求得的穩(wěn)定裕度結果具有較小的保守性，說明文中的計算方法是可取的.更重要的是通過上述分析，給實際工程中穩(wěn)定裕度的使用提供了可靠的保證.

5 結論

本文采用工程中的GDA為天線指向提供驅動力矩，在天線小角度機動條件下，針對兩輸入兩輸出的多體衛(wèi)星線性控制系統(tǒng)，利用多變量頻域理論中的序列回差設計技術，設計衛(wèi)星本體俯仰姿態(tài)和天線指向控制器.另外重要的一點是，文中分析了整個控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，分別利用計算量較小的回差陣奇異值法和逆回差陣奇異值法計算MIMO控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，并把兩者所求結果進行比較，得到系統(tǒng)穩(wěn)定裕度保守性較小的最終結果.在此基礎上，對所求穩(wěn)定裕度結果進行了仿真驗證，并得出一個重要結論:針對線性化后的線性MIMO系統(tǒng)分析得到的穩(wěn)定裕度比實際非線性系統(tǒng)結果要偏大，這使得文中的穩(wěn)定裕度分析更具有工程參考價值.

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