沙海，周兵，仝海波，張國(guó)柱，歐鋼

(1. 國(guó)防科技大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院, 湖南 長(zhǎng)沙，410073；2. 北京衛(wèi)星導(dǎo)航中心，北京，100094)

GNSS 信號(hào)模擬器可以同時(shí)模擬美國(guó)GPS、俄羅斯CLONASS、歐洲GALILEO 和中國(guó)BDS 4 種全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)用戶接收的信號(hào)，是衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)地面站和多模接收機(jī)等設(shè)備研制的不可或缺的關(guān)鍵設(shè)備。目前，國(guó)內(nèi)外針對(duì)GNSS 信號(hào)模擬器的硬件平臺(tái)和軟件設(shè)計(jì)都進(jìn)行了論述，并取得了一定研究成果[1-6]。其中高精度偽距計(jì)算及實(shí)時(shí)性是GNSS 信號(hào)模擬器的研究熱點(diǎn)也是難點(diǎn)。由于GNSS 信號(hào)模擬器需要模擬全星座信號(hào)，其計(jì)算量將會(huì)成倍增加。同時(shí)，考慮仿真環(huán)境的逼真度，衛(wèi)星軌道、電離層特性等也將使用精確模型計(jì)算，計(jì)算量將大幅度提升。如何在保證偽距精度的條件下，降低偽距計(jì)算過程的運(yùn)算量是本文需要研究的內(nèi)容。此外，偽距動(dòng)態(tài)模擬常采用高階累加器DDS 方法，該方法需要求解偽距動(dòng)態(tài)模型參數(shù)[6]，傳統(tǒng)方法多采用分別計(jì)算衛(wèi)星、用戶等各階導(dǎo)數(shù)的方法，精度有限。為此，文獻(xiàn)[7]針對(duì)高階導(dǎo)數(shù)不易求解的問題，提出了一種基于三階樣條函數(shù)的偽距動(dòng)態(tài)模型參數(shù)計(jì)算方法。但是使用該插值方法時(shí)，針對(duì)不同的動(dòng)態(tài)環(huán)境所需計(jì)算的原始偽距點(diǎn)個(gè)數(shù)及時(shí)間間隔是有所差異的，這為進(jìn)一步減少偽距運(yùn)算量提供了優(yōu)化空間。本文作者在分析偽距計(jì)算過程的基礎(chǔ)上，提出了一種精度較高、運(yùn)算量相對(duì)較小的實(shí)時(shí)偽距計(jì)算優(yōu)化方法。

1 基本原理

GNSS 信號(hào)模擬器偽距計(jì)算過程如圖1 所示。首先由用戶建立仿真場(chǎng)景，包括衛(wèi)星軌道模型、電離層模型、用戶運(yùn)動(dòng)軌跡模型等；然后根據(jù)仿真模型參數(shù)計(jì)算固定時(shí)間間隔的可見鏈路偽距、功率衰減值、多普勒等信息；最后，通過插值算法計(jì)算偽距動(dòng)態(tài)模型參數(shù)，包括偽距、速度、加速度、加加速度等。

圖1 偽距計(jì)算過程Fig.1 Pseudorange calculation process

1.1 偽距計(jì)算

接收機(jī)在仿真時(shí)刻t 收到衛(wèi)星在ts時(shí)刻發(fā)射的衛(wèi)星信號(hào)時(shí)，其測(cè)得偽距ρ為

其中：R(t,ts)為衛(wèi)星到接收機(jī)的幾何距離；Δts為衛(wèi)星鐘差；Δtr為相對(duì)論效應(yīng)延遲；Δτion和Δτtrop分別為電離層和對(duì)流層延遲；Δτother為信號(hào)模擬器通道零值等其他誤差；c 為光速。

由式(1)可以看出：偽距計(jì)算本質(zhì)上為求解衛(wèi)星發(fā)射時(shí)刻ts的一元方程求根問題。目前多數(shù)文獻(xiàn)采用定點(diǎn)迭代法進(jìn)行求解[1-4]，其計(jì)算過程不再累述。使用定點(diǎn)迭代法時(shí)，存在算法易發(fā)散的問題[8]，但鮮有文獻(xiàn)對(duì)偽距計(jì)算方法的收斂性進(jìn)行證明，下面將根據(jù)衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的特征，證明偽距計(jì)算方法的收斂性。

將式(1)改寫為如下一元方程形式：

對(duì)g(ts)求導(dǎo)得：

1.2 偽距動(dòng)態(tài)模型參數(shù)計(jì)算

為了滿足高動(dòng)態(tài)條件下的偽距模擬要求，通常使用偽距的3 階泰勒展開多項(xiàng)式作為偽距動(dòng)態(tài)模型[9-11]，如式(4)所示。該模型在信號(hào)處理中采用多階DDS 累加器結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，由于忽略高階項(xiàng)，需要周期計(jì)算偽距動(dòng)態(tài)模型的各階項(xiàng)系數(shù)。

式中：a(tN)為加速度；j(tN)為加加速度。

計(jì)算偽距動(dòng)態(tài)模型參數(shù)時(shí)，根據(jù)已知固定時(shí)間間隔的偽距及其變化率，常采用Hermite 插值、樣條插值等方法。其中分段三階樣條插值方法無需求解偽距變化率，且精度較高，是一種較理想的偽距動(dòng)態(tài)模型參數(shù)計(jì)算方法[7]。同時(shí)，在工程實(shí)現(xiàn)中，GNU 科學(xué)庫已提供樣條插值算法的快速計(jì)算函數(shù)[12]，使用方便。

2 偽距計(jì)算優(yōu)化方法

高精度GNSS 信號(hào)模擬器的偽距計(jì)算方法包含從仿真數(shù)學(xué)模型計(jì)算偽距至插值算法得出動(dòng)態(tài)模型參數(shù)的整個(gè)過程。為了減小運(yùn)算量，并保證偽距計(jì)算的高精度，可以對(duì)偽距計(jì)算過程進(jìn)行優(yōu)化，提出的偽距優(yōu)化方法主要包含以下3 個(gè)方面的改進(jìn)。

1) 使用插值算法計(jì)算衛(wèi)星位置。高精度GNSS 信號(hào)模擬器要求使用軌道動(dòng)力學(xué)積分方法計(jì)算衛(wèi)星軌道，并且偽距計(jì)算時(shí)需要多次求解任意時(shí)刻的衛(wèi)星位置。若均采用動(dòng)力學(xué)積分方法計(jì)算，則運(yùn)算量較大。一種合理的優(yōu)化方法是采用動(dòng)力學(xué)積分方法計(jì)算一定時(shí)間間隔的軌道數(shù)據(jù)，然后通過插值算法計(jì)算任意時(shí)刻的衛(wèi)星位置。

2) 信道延遲量不參與迭代計(jì)算。電離層延遲、對(duì)流層延遲等信道延遲量與接收機(jī)同衛(wèi)星之間的夾角有關(guān)。通常高精度偽距計(jì)算時(shí)，會(huì)迭代重新計(jì)算這些延遲量。但是，偽距迭代計(jì)算前后，夾角通常變化很小。所以，可以考慮在損失一定偽距計(jì)算精度的條件下，在迭代計(jì)算過程中不計(jì)算信道延遲，以減少運(yùn)算量的優(yōu)化方法。

3) 不同動(dòng)態(tài)條件下的偽距時(shí)間間隔。根據(jù)接收機(jī)的運(yùn)動(dòng)速度，可以將信號(hào)模擬器的動(dòng)態(tài)特性分為靜態(tài)、中低動(dòng)態(tài)和高動(dòng)態(tài)3 種環(huán)境。通常偽距動(dòng)態(tài)模型參數(shù)的更新頻率固定不變，因此，為了滿足高動(dòng)態(tài)特性要求，需要計(jì)算時(shí)間間隔較小的偽距，以提高插值算法精度。然而，如果統(tǒng)一采用高動(dòng)態(tài)條件下的偽距計(jì)算時(shí)間間隔，對(duì)于其他動(dòng)態(tài)環(huán)境，將造成浪費(fèi)。為此，針對(duì)不同動(dòng)態(tài)特性選擇合適的時(shí)間間隔計(jì)算偽距，是一種合理的優(yōu)化方法。

3 仿真論證及性能分析

根據(jù)偽距計(jì)算優(yōu)化方法提出的3 個(gè)改進(jìn)方式，下面通過仿真實(shí)驗(yàn)，論證優(yōu)化算法的具體步驟及其性能。

3.1 衛(wèi)星軌道插值計(jì)算

采用衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算衛(wèi)星軌道時(shí)，可以準(zhǔn)確計(jì)算出衛(wèi)星的位置和速度，因此選擇精度較高的分段三階Hermite 插值算法作為衛(wèi)星軌道的插值算法[13]。文獻(xiàn)[13]指出當(dāng)衛(wèi)星軌道誤差小于1 cm 時(shí)，對(duì)定位結(jié)果的影響可以忽略，因此，插值算法的精度要求滿足小于1 cm。

仿真時(shí)，衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)積分法使用的攝動(dòng)力模型如表1 所示。實(shí)驗(yàn)方法為使用衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算1 h，時(shí)間間隔5 ms 的原始軌道數(shù)據(jù)。然后分別選擇不同時(shí)間間隔下的軌道數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)，并使用Hermite插值算法得到5 ms 的插值數(shù)據(jù)。通過與原始軌道數(shù)據(jù)比較，得出最優(yōu)時(shí)間間隔。仿真結(jié)果如圖2 所示。

由圖2 可以看出：采用分段3 階Hermite 插值算法計(jì)算衛(wèi)星軌道，當(dāng)時(shí)間間隔取120 s 時(shí)，最大位置誤差為4.46 mm，最大速度誤差為0.44 mm/s，偽距計(jì)算誤差小于6×10-7m。同時(shí)與動(dòng)力學(xué)積分法計(jì)算相同時(shí)間長(zhǎng)度的衛(wèi)星軌道耗時(shí)比較，計(jì)算效率提高16 倍。

表1 攝動(dòng)力模型Table 1 Model of forces

圖2 衛(wèi)星軌道插值算法仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of satellite orbits interpolation algorithm

3.2 信道延遲量影響

信道延遲量主要包括電離層延遲和對(duì)流層延遲。為了分析迭代計(jì)算偽距時(shí)，忽略信道延遲量對(duì)計(jì)算精度的影響，采用如下仿真方法。分別計(jì)算5 h 時(shí)間內(nèi)的傳統(tǒng)高精度偽距計(jì)算方法和優(yōu)化方法的偽距值，并作差得到優(yōu)化算法的誤差。其中電離層延遲使用Klobuchar 模型，對(duì)流層延遲使用Hopfield 模型，仿真結(jié)果如圖3 所示。

圖3 誤差項(xiàng)影響仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results of error affecting

由圖3 可以看出：偽距誤差隨著仰角的減少逐漸增大，最大誤差在3×10-5m 以內(nèi)。同時(shí)，通過統(tǒng)計(jì)1 000 次重復(fù)計(jì)算相同時(shí)刻偽距的計(jì)算時(shí)間，得出優(yōu)化算法計(jì)算效率提高了約1 倍。

3.3 不同動(dòng)態(tài)條件下的偽距時(shí)間間隔

根據(jù)已知時(shí)間間隔的偽距，采用分段三階樣條插值算法計(jì)算偽距動(dòng)態(tài)模型參數(shù)時(shí)，針對(duì)不同的動(dòng)態(tài)條件，可以選擇不同的偽距時(shí)間間隔。實(shí)驗(yàn)仿真時(shí)，分別選擇靜態(tài)、中低動(dòng)態(tài)和高動(dòng)態(tài)3 種場(chǎng)景。其中，在中低動(dòng)態(tài)條件下，接收機(jī)的運(yùn)動(dòng)速度為1 000 m/s。在高動(dòng)態(tài)條件下，選擇JPL 實(shí)驗(yàn)室推薦的一種具有典型意義的高動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)模型[14]，該高動(dòng)態(tài)環(huán)境的接收機(jī)速度的變化曲線如圖4 所示。

圖4 高動(dòng)態(tài)環(huán)境速度變化曲線Fig.4 Curve of high dynamic environment velocity

表2 不同動(dòng)態(tài)條件下的插值算法精度Table 2 Pseudorange accuracy under different dynamic environments

仿真時(shí)，接收機(jī)的初始位置設(shè)置為仿真開始時(shí)刻衛(wèi)星星下點(diǎn)位置，并且接收機(jī)始終沿該時(shí)刻垂直高度方向運(yùn)動(dòng)。分別選擇不同時(shí)間間隔條件的原始偽距數(shù)據(jù)，然后使用樣條函數(shù)計(jì)算1 ms 間隔的偽距值。通過與原始數(shù)據(jù)比較，得出不同時(shí)間間隔條件下的偽距動(dòng)態(tài)模型參數(shù)計(jì)算精度，仿真結(jié)果如表2 所示。

由表2 可見：對(duì)于靜態(tài)條件，選擇時(shí)間間隔20 s時(shí)，偽距計(jì)算精度就可以達(dá)到2.43×10-5m；對(duì)于中低動(dòng)態(tài)時(shí)，選擇時(shí)間間隔2 s 時(shí)，偽距計(jì)算精度可以達(dá)到2.96×10-4m；對(duì)于高動(dòng)態(tài)條件時(shí)，時(shí)間間隔選擇0.1 s 時(shí)，偽距計(jì)算精度可以達(dá)到3.71×10-4m。

4 結(jié)論

1) 根據(jù)衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的特征及定點(diǎn)迭代法收斂定理，證明了偽距計(jì)算時(shí)的算法收斂性問題。

2) 為了減少偽距計(jì)算過程的運(yùn)算量，提出了一種優(yōu)化算法，其具體步驟為：①使用分段三階Herimite插值算法計(jì)算任意時(shí)刻的衛(wèi)星軌道，已知衛(wèi)星軌道數(shù)據(jù)的時(shí)間間隔為120 s；②迭代計(jì)算衛(wèi)星發(fā)射時(shí)刻過程時(shí)，忽略信道延遲量的影響；③使用三階樣條函數(shù)計(jì)算偽距動(dòng)態(tài)模型參數(shù)時(shí)，對(duì)于靜態(tài)條件，已知偽距時(shí)間間隔為20 s；對(duì)于中低動(dòng)態(tài)條件，時(shí)間間隔為2 s；對(duì)于高動(dòng)態(tài)條件，時(shí)間間隔為0.1 s。

3) 使用偽距計(jì)算優(yōu)化算法時(shí)，計(jì)算誤差小于1 mm(即偽距損失精度1 mm)，計(jì)算效率大幅度提高。

致謝：感謝中國(guó)科學(xué)院上海天文臺(tái)黃勇博士在衛(wèi)星軌道積分算法方面提供的幫助。

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