張宏江， 王樹(shù)恩， 杜 鋒， 姜兆義， 馬 威

(1. 裝甲兵工程學(xué)院裝備試用與培訓(xùn)大隊(duì)，北京 100072； 2. 中國(guó)白城兵器試驗(yàn)中心，吉林 白城 137001)

武器系統(tǒng)射擊精度是一個(gè)最重要的戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標(biāo)。射擊精度包括射擊準(zhǔn)確度和射擊密集度, 前者描述了落點(diǎn)的系統(tǒng)性偏差,后者描述了落點(diǎn)的隨機(jī)散布特性。隨著高新技術(shù)廣泛應(yīng)用于彈藥系統(tǒng),彈藥的造價(jià)越來(lái)越高, 單單依靠設(shè)計(jì)定型的射擊試驗(yàn)來(lái)評(píng)定射擊精度，不僅費(fèi)用高，而且難以得出科學(xué)客觀的結(jié)論。

近年來(lái)，Bayes理論發(fā)展迅速，文獻(xiàn)[1-2]均對(duì)Bayes理論進(jìn)行了比較系統(tǒng)的闡述，這些方法可以融合仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù)，但是存在“數(shù)據(jù)淹沒(méi)”問(wèn)題。文獻(xiàn)[3-8]提出了基于驗(yàn)前信息可信度Bayes理論，解決了“數(shù)據(jù)淹沒(méi)”問(wèn)題，但在計(jì)算可信度時(shí)， 必須在試驗(yàn)之前給出驗(yàn)前概率P(H0)和使用方風(fēng)險(xiǎn)β，這是非常困難的事[1]。鑒于此，本文提出了一種基于相似反映比例(Proportion of Similar Response，PSR)驗(yàn)前信息可信度的Bayes數(shù)據(jù)融合方法，該方法解決了上述問(wèn)題，可以用于武器系統(tǒng)射擊精度評(píng)定試驗(yàn)中。

1 PSR可信度及計(jì)算方法

通常，PSR的數(shù)量化定義為

(1)

式中：f(x)、g(x)分別為總體分布F(x)、G(x)的概率密度函數(shù)。特別地，當(dāng)F(x)=G(x)時(shí)，PSR=1。

PSR刻畫(huà)了2個(gè)總體分布F(x)與G(x)的相似程度，PSR越接近于1,則F(x)與G(x)的差異就越小，當(dāng)PSR=1時(shí),F(x)與G(x)服從同一分布,這樣就可以用PSR作為信息可信度的度量，省去了需要計(jì)算β和P(H0)的問(wèn)題。

式中：

2 融合理論推導(dǎo)

π(θ)=π(μ,D)=π(μ|D)π(D),

其中π(D)為D的驗(yàn)前密度，為逆Gamma分布，即

πi(θ)=πi(μ,D)=πi(μ|D)πi(D)。

正態(tài)-逆Gamma分布的參數(shù)分別為

π0(μ,D)為現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)信息的分布函數(shù)，它也服從正態(tài)-逆Gamma分布，參數(shù)為

β0=(n-1)/2，

η0=1/n。

在獲得現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)X=(x1,…,xn)之后，利用現(xiàn)場(chǎng)落點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)驗(yàn)前信息進(jìn)行PSR檢驗(yàn),得到可信度ci。若認(rèn)為現(xiàn)場(chǎng)信息是可信的，那么它的可信度c0為1?？尚哦萩i歸一化為εi，于是可以得到融合后的驗(yàn)前分布為

式中：

利用Bayes融合公式可以獲得(μ,D)的驗(yàn)后分布為

驗(yàn)后分布π(μ,D|X)仍為正態(tài)-逆Gamma分布:

加權(quán)系數(shù)

f(X|πi) =

其中，i=1,2,…,m。

得到π(μ,D|X)后，μ的驗(yàn)后邊緣密度為

而D的驗(yàn)后邊緣密度為

如果應(yīng)用平方損失函數(shù)， 則μ和D的Bayes估計(jì)分別為下列條件期望：

經(jīng)推導(dǎo)，得出

其中,

3 融合算法計(jì)算步驟

通過(guò)以上變換，使xi(i=1，2，…，n)具有相同的均值μ0,同時(shí)保留了各組試驗(yàn)數(shù)據(jù)中包含的母體的隨機(jī)擾動(dòng)信息εi，可把多組數(shù)據(jù)合為一組數(shù)據(jù)。

第2步：應(yīng)用新的正態(tài)分布相容性檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)2個(gè)總體的方差和均值的相容性，然后計(jì)算PSR，則此種驗(yàn)前信息的可信度為ci=PSRi(i=1,2,…,m)。

第3步：令c0=1，可信度ci(i=1,2,…,m)歸一化后得到εi。

第5步：分別計(jì)算邊緣密度函數(shù)值f(X|πi)，求得加權(quán)系數(shù)λi(i=1,2,…,m)。

第7步：首發(fā)命中概率[10]計(jì)算公式為

式中：ly、lz為立靶(目標(biāo))的尺寸。

4 應(yīng)用示例

4.1 仿真數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果

假設(shè)X～N(29 400,220)，用Matlab隨機(jī)產(chǎn)生5組數(shù)據(jù)，每組10發(fā)，通過(guò)5次程序仿真計(jì)算，得到數(shù)據(jù)εi(i=1,2,…,5)，如表1所示。對(duì)比這些數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：歸一化可信度εi(i=1,2,…,5)均相差不大，并且通過(guò)基于PSR可信度的Bayes方法計(jì)算，得到均值估計(jì)相對(duì)誤差平均僅有0.05%，方差的估計(jì)相對(duì)誤差平均只有8%，與采用傳統(tǒng)的點(diǎn)估計(jì)方法得到的均值估計(jì)相對(duì)誤差的平均值0.08%和方差的估計(jì)相對(duì)誤差平均值15%相比均有所降低，說(shuō)明該方法是有效、合理的。

表1 來(lái)自同一母體數(shù)據(jù)的仿真計(jì)算結(jié)果

假設(shè)X～N(29 400,200)是在設(shè)計(jì)定型階段獲得的數(shù)據(jù)，出廠驗(yàn)收試驗(yàn)所獲得的數(shù)據(jù)服從同一個(gè)總體X1～N(29 400,200)，用Matlab產(chǎn)生10個(gè)設(shè)計(jì)定型數(shù)據(jù)和10個(gè)出廠驗(yàn)收數(shù)據(jù)，隨機(jī)產(chǎn)生仿真數(shù)據(jù)服從不同分布X2～N(29 200,220)，再隨機(jī)產(chǎn)生50個(gè)仿真數(shù)據(jù)。

X= (29 645,29 607,29 441,29 368,29 519,

29 287,29 104,29 206,29 822,29 337)，

X1=(29 663,29 416,29 416,29 207,29 317,

29 507,29 251,29 864,29 002,29 467)，

X2=(28 909，29 377，29 038，29 362，28 758，

29 283，29 427，29 199，29 680，29 036，

28 912，29 515，29 553，29 408，29 417，

29 119，29 316，29 228，29 075，28 939，

29 020，29 004，29 218，29 131，29 388，

29 304，29 103，29 166，29 156，28 767，

29 307，29 451，28 627，29 475，29 198，

29 010，29 421，28 962，29 025，28 984，

29 488，29 393，29 100，29 187，29 076，

29 058，28 994，29 445，29 446，29 047)。

經(jīng)過(guò)計(jì)算，得到歸一化可信度εi(i=1,2,3)分別為0.396 9，0.374 2， 0.229 0，加權(quán)系數(shù)λi(i=1,2,3)分別為0.542 5，0.452 0， 0.005 5。定型試驗(yàn)經(jīng)過(guò)基于PSR值可信度的Bayes方法估計(jì)后，得到均值為29 428，均方差為227，與X均值的真值29 434、X均方差的真值218非常接近，表明仿真數(shù)據(jù)沒(méi)有把定型試驗(yàn)數(shù)據(jù)淹沒(méi)。

表2為傳統(tǒng)Bayes方法與本文方法估計(jì)誤差對(duì)比，可以看出：采用傳統(tǒng)Bayes方法估計(jì)的方差相對(duì)誤差達(dá)到了26%，導(dǎo)致大量的仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù)淹沒(méi)了少量的設(shè)計(jì)定型數(shù)據(jù)；而采用本文方法得到的均值和方差估計(jì)相對(duì)誤差均遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)Bayes方法，不存在數(shù)據(jù)“淹沒(méi)”現(xiàn)象。

表2 傳統(tǒng)Bayes方法和本文方法估計(jì)誤差對(duì)比

通過(guò)仿真計(jì)算可以看出：基于PSR值可信度的Bayes方法解決了傳統(tǒng)的Bayes方法需要計(jì)算β和P(H0)的難題，同時(shí)，數(shù)據(jù)融合結(jié)果真實(shí)有效，不會(huì)出現(xiàn)仿真量大數(shù)據(jù)“淹沒(méi)”設(shè)計(jì)定型數(shù)據(jù)的問(wèn)題，因此可以用于射擊精度試驗(yàn)。

4.2 實(shí)彈射擊數(shù)據(jù)

某型彈定型和正樣機(jī)數(shù)據(jù)分別如表3、4所示。

表3 某型彈定型數(shù)據(jù)

注：指標(biāo)要求密集度35 cm×35 cm。

表4 某型彈正樣機(jī)數(shù)據(jù)

第1步：首先對(duì)表3中y方向的3組數(shù)據(jù)方差進(jìn)行檢驗(yàn)，得到方差檢驗(yàn)結(jié)果相容；然后對(duì)這3組(每組10發(fā))數(shù)據(jù)的均值進(jìn)行檢驗(yàn)，得到均值檢驗(yàn)結(jié)果相容，因此，認(rèn)為這3組數(shù)據(jù)屬于一個(gè)整體，可以把這3組數(shù)據(jù)直接合并為一個(gè)大組(即30發(fā)數(shù)據(jù))。對(duì)正樣機(jī)的2組數(shù)據(jù)也同樣進(jìn)行上述處理，結(jié)果也相容，可以把這2組數(shù)據(jù)直接合并為一個(gè)大組(即20發(fā)數(shù)據(jù))。z方向也可以進(jìn)行相應(yīng)處理，結(jié)果一致。

第2步：對(duì)這2大組數(shù)據(jù)進(jìn)行相容性檢驗(yàn)，結(jié)果也相容，計(jì)算y方向2大組數(shù)據(jù)的PSR值，得到PSRy=0.970 6，同樣計(jì)算出PSRz=0.888 2。

第3步：計(jì)算y方向歸一化可信度，得到ε0=0.507 5，ε1=0.492 5；計(jì)算z方向歸一化可信度，得到ε0=0.529 6，ε1=0.470 4。

第5步：計(jì)算得到y(tǒng)方向邊緣密度函數(shù)值為1.59×10-6和0.993×10-6,z方向邊緣密度函數(shù)值為1.492×10-6和0.702×10-6；求得y方向加權(quán)系數(shù)0.507 5和0.492 5，z方向加權(quán)系數(shù)0.529 6和0.470 4。

第7步：代入首發(fā)命中概率公式，得到

5 結(jié)論

本文從實(shí)際需求出發(fā)，提出了基于PSR驗(yàn)前信息可信度的Bayes數(shù)據(jù)融合方法，該方法可以融合仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù)、工程樣機(jī)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，不會(huì)出現(xiàn)數(shù)據(jù)“淹沒(méi)”現(xiàn)象，并且解決了傳統(tǒng)Bayes試驗(yàn)方法需要計(jì)算β和P(H0)的難題。仿真結(jié)果表明：該方法估計(jì)精度高，提高了評(píng)定精度，減少了定型試驗(yàn)的樣本量。實(shí)彈射擊結(jié)果表明：該方法可以用于突擊類(lèi)武器立靶射擊精度試驗(yàn)，能夠節(jié)約定型試驗(yàn)消耗，縮短定型試驗(yàn)周期，對(duì)解決炮彈射擊密集度試驗(yàn)和導(dǎo)彈射擊精度的定型具有參考價(jià)值。

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