楊 智， 王術(shù)新， 董華玉， 田紀(jì)云

(鎮(zhèn)江船艇學(xué)院船艇裝備保障系，江蘇 鎮(zhèn)江212003)

載荷-強(qiáng)度干涉模型是機(jī)械可靠性分析的基礎(chǔ)，國(guó)內(nèi)外基于該模型對(duì)機(jī)械零件的可靠性分析做了大量的研究。這里載荷和強(qiáng)度是廣義的：載荷可以是溫度、磨損、腐蝕和載荷的作用次數(shù)等；相應(yīng)的，強(qiáng)度可以是抗熱性、耐磨性、抗腐蝕性和零件的失效次數(shù)等[1-2]。但該模型存在2個(gè)問(wèn)題：1)它是一個(gè)“靜態(tài)”的可靠度計(jì)算模型，通常假設(shè)載荷和強(qiáng)度均為隨機(jī)變量，而實(shí)際上，載荷和強(qiáng)度均應(yīng)為隨機(jī)過(guò)程，從“動(dòng)態(tài)”角度對(duì)可靠度進(jìn)行計(jì)算更加具有現(xiàn)實(shí)意義；2)該模型通常的思路是將載荷和強(qiáng)度看作2個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，而實(shí)際上，載荷與強(qiáng)度是相關(guān)的，隨著加載次數(shù)的增加，強(qiáng)度通常會(huì)降低，這一點(diǎn)符合預(yù)期，也早已得到相關(guān)實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證[3-4]。

對(duì)于第1個(gè)問(wèn)題，研究者已對(duì)此進(jìn)行諸多的研究。如國(guó)外J.M.Noortwijk等[5]將強(qiáng)度的退化、載荷分別用Gamma過(guò)程和廣義的Pareto分布描述，得到了堤防的動(dòng)態(tài)可靠性；E.E.Charles[6]分多種情況建立了動(dòng)態(tài)可靠性模型。國(guó)內(nèi)左勇志等[7]提出了考慮結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)可靠性的“全隨機(jī)過(guò)程模型”方法；王正等[8]運(yùn)用泊松隨機(jī)過(guò)程描述載荷的作用過(guò)程，研究了強(qiáng)度在不同的退化形式下零件可靠度和失效率隨時(shí)間的變化規(guī)律。

對(duì)于第2個(gè)問(wèn)題，關(guān)于強(qiáng)度退化的理論與實(shí)驗(yàn)研究雖然較多，但這些研究一般基于強(qiáng)度與載荷相互獨(dú)立的基本假設(shè)[6,9-10]；考慮了強(qiáng)度與載荷相關(guān)性的研究較少，其中，高鵬等在文獻(xiàn)[1]中，通過(guò)定義載荷作用次數(shù)等效系數(shù)和參考載荷，分析了隨機(jī)載荷作用下強(qiáng)度退化時(shí)零件的可靠性，又在文獻(xiàn)[2]中進(jìn)行引申，提出了機(jī)械系統(tǒng)可靠度的計(jì)算方法。但上述研究存在一定的不足：1)文中關(guān)于強(qiáng)度的退化公式引自文獻(xiàn)[9-10]，此公式的理論依據(jù)是連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)理論，是非線性的，能否如文中所述，以傳統(tǒng)的線性Miner累積損傷公式進(jìn)行代替是值得商榷的；2)文中假設(shè)零件所承受的載荷為各態(tài)歷經(jīng)載荷，每次載荷作用時(shí)的概率密度函數(shù)均相同，這一假設(shè)沒(méi)有考慮時(shí)間的影響，載荷的隨機(jī)過(guò)程特征被隨機(jī)變量特征所代替。

本文基于Miner累積損傷理論，建立了隨機(jī)過(guò)程載荷下隨載荷加載而退化的強(qiáng)度模型，進(jìn)而對(duì)零件的動(dòng)態(tài)可靠性進(jìn)行了分析。

1 動(dòng)態(tài)可靠性分析

1.1 強(qiáng)度退化模型

假設(shè)零件承受的載荷幅度服從某隨機(jī)過(guò)程，已作用n次(n≥1)，設(shè)為s1，s2，…，sn。設(shè)載荷作用時(shí)刻非隨機(jī)，為已知量，作用時(shí)刻為t1，t2，…，tn，在tn+1時(shí)刻，將有第n+1次載荷sn+1作用于零件上。

經(jīng)疲勞試驗(yàn)，設(shè)該零件疲勞性能曲線滿足

smN=C，

(1)

式中：N為載荷幅度s作用下的零件使用壽命；m、C為2個(gè)常數(shù)，與材料性質(zhì)等有關(guān)。

所以，載荷作用n次后，零件的累積損傷D(n)為

(2)

零件在第n+1次載荷sn+1作用時(shí)不失效，即要求

(3)

為安全起見(jiàn)，式(3)右端也可設(shè)為一個(gè)小于1的數(shù)(受多種因素影響，該值實(shí)際上應(yīng)為分布在1附近的隨機(jī)變量，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，這里取為確定值1)。將式(2)代入式(3)得

(4)

所以，作用n次后，臨界載荷S(n)為

(5)

注意，對(duì)于第1次加載，由式(1)可知S(0)=C1/m。從廣義上，將臨界載荷稱為強(qiáng)度?？梢?jiàn)，零件強(qiáng)度隨著已施加載荷作用次數(shù)的增加而退化。

1.2 動(dòng)態(tài)可靠性分析

從可靠性的角度，零件在tn+1時(shí)刻不失效的可靠度為

Rn=P(s1

(6)

式中：f(s1,…,sn+1)為該隨機(jī)過(guò)程有限維概率分布密度函數(shù)。

由于涉及多維概率分布密度函數(shù)的積分，因此要從式(6)得到理論值是比較困難的。為此，筆者基于蒙特卡羅仿真方法對(duì)此進(jìn)行了分析。

2 基于蒙特卡羅的仿真分析

2.1 算法設(shè)計(jì)

筆者基于蒙特卡羅理論進(jìn)行了如下設(shè)計(jì)。

1) 由專家經(jīng)驗(yàn)給定或由已有載荷數(shù)據(jù)擬合獲得載荷服從的隨機(jī)過(guò)程模型。

2) 按規(guī)定的載荷加載時(shí)刻和零件使用期限T(T>tn+1)，產(chǎn)生M個(gè)載荷加載歷程序列(M值應(yīng)足夠大，應(yīng)使最終獲得的R(t)-t圖形不至于因M的增加而發(fā)生較大變化)，Tn為零件使用期限T內(nèi)載荷的加載數(shù)。針對(duì)不同的隨機(jī)過(guò)程模型，隨機(jī)載荷歷程產(chǎn)生方法會(huì)有不同，2.2節(jié)將針對(duì)本文用到的Gamma過(guò)程闡述具體步驟。

4) 對(duì)其他載荷加載歷程序列按上述步驟同樣進(jìn)行，找到零件的多個(gè)失效時(shí)刻。

5) 繪制R(t)-t圖形，得到零件在tn+1時(shí)刻的可靠度。

2.2 Gamma過(guò)程隨機(jī)載荷歷程的產(chǎn)生

在應(yīng)用實(shí)例中，筆者以Gamma隨機(jī)過(guò)程作為示例進(jìn)行了闡述。Gamma過(guò)程增量單調(diào)非負(fù)，適合描述不可逆轉(zhuǎn)單調(diào)變化的隨機(jī)過(guò)程，近年來(lái)得到很多應(yīng)用[11-12]，如上文所列載荷,溫度、磨損、腐蝕和載荷的作用次數(shù)等均是單調(diào)變化的。在可靠性試驗(yàn)中，為減少時(shí)間，也有逐漸增加載荷的方法，稱之為逐級(jí)加壓加速壽命試驗(yàn)[13-14]。

Gamma過(guò)程{X(t)，t≥0}滿足[11-12]：

1) 具有獨(dú)立增量；

2) 對(duì)任意t>s≥0，增量X(t)-X(s)～Ga(a(t)-a(s),b)；

3)X(0)=0。

其中：Ga(·)表示Gamma分布；a(t)和b分別為形狀參數(shù)和尺度參數(shù)，且a(t)(t≥0)為遞增連續(xù)函數(shù)，a(0)=0，b>0。當(dāng)a(t)為線性函數(shù)時(shí)，Gamma過(guò)程為平穩(wěn)過(guò)程，當(dāng)a(t)為非線性函數(shù)時(shí)，其為非平穩(wěn)過(guò)程。本文采用平穩(wěn)的Gamma過(guò)程，有a(t)=at，其中a為常數(shù)。設(shè)X(t)為零件t時(shí)刻承受的載荷，其概率密度函數(shù)為

(7)

產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的過(guò)程主要利用上述的獨(dú)立增量特性。首先,利用逆變換法，按Ga(at1,b)分布產(chǎn)生t1時(shí)刻的M個(gè)隨機(jī)載荷(很多數(shù)值計(jì)算軟件如Matlab、Maple等均有現(xiàn)成函數(shù)可調(diào)用);其次,按Ga(a(t2-t1),b)分布產(chǎn)生t2時(shí)刻相比t1時(shí)刻的M個(gè)隨機(jī)載荷增量，再將其與t1時(shí)刻的M個(gè)隨機(jī)載荷對(duì)應(yīng)疊加，可得t2時(shí)刻的M個(gè)隨機(jī)載荷。同理依次進(jìn)行，最終產(chǎn)生M個(gè)零件使用期限T內(nèi)的隨機(jī)載荷歷程。

3 應(yīng)用實(shí)例

某裝備關(guān)鍵零件疲勞性能曲線滿足smN=C，其中m=2，C=109。工作0.5 h后第1次加載，然后每隔0.5 h加載1次。載荷加載歷程服從平穩(wěn)Gamma過(guò)程，a=10，b=10。求該零件工作1 000 h時(shí)的可靠度，并判斷能否完成預(yù)期的1 500 h工作。

首先產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。設(shè)X(t)為零件t時(shí)刻承受的載荷，其概率密度函數(shù)為

fX(t)(x)= Ga(x|10t,10)=

(8)

利用逆變換法，按Ga(10×0.5,10)分布產(chǎn)生0.5 h時(shí)的1 500個(gè)隨機(jī)載荷(注：這里提 1 500個(gè)隨機(jī)載荷，主要原因是通過(guò)仿真比較，即使增加此值，最終獲得的R(t)-t曲線也基本無(wú)變化)，按Ga(10×0.5,10)分布產(chǎn)生1 h時(shí)相比0.5 h時(shí)的1 500個(gè)隨機(jī)載荷增量，再將其與0.5 h時(shí)的1 500個(gè)隨機(jī)載荷對(duì)應(yīng)疊加，可得1 h時(shí)的1 500個(gè)隨機(jī)載荷。同理依次進(jìn)行，最終產(chǎn)生1 500個(gè)零件預(yù)期使用期限1 500 h的隨機(jī)載荷歷程。

其次按照前述動(dòng)態(tài)可靠度仿真分析模型，可得可靠度R(t)-t曲線，如圖1所示。

圖1 可靠度曲線

由圖1可見(jiàn)：隨著使用時(shí)間的延長(zhǎng)，該零件可靠度單調(diào)遞減，符合預(yù)期；從細(xì)節(jié)上看，該零件工作1 000 h時(shí)的可靠度為1，是可靠的。但當(dāng)達(dá)到1 120 h后，在50 h內(nèi)可靠度降到0，所以，其不能完成預(yù)期的1 500 h工作，從安全性角度來(lái)看，該裝備最好在1 120 h內(nèi)工作。

4 結(jié)論

本文提出了一種隨機(jī)過(guò)程載荷下載荷-強(qiáng)度相關(guān)的零件動(dòng)態(tài)可靠度分析方法，建立了相應(yīng)的仿真分析模型。實(shí)例結(jié)果表明: 該方法有效且簡(jiǎn)單易行，具有一定的工程指導(dǎo)意義。進(jìn)一步的研究可從以下2方面進(jìn)行。1) 本文提到的強(qiáng)度只是廣義上的強(qiáng)度，其實(shí)際意義是“臨界載荷”。當(dāng)疲勞性能曲線給定時(shí)，其實(shí)已假定零件的疲勞強(qiáng)度不變。下一步,可從疲勞強(qiáng)度下降的角度以及從疲勞性能曲線變化的角度進(jìn)行分析。2) 本文提到的載荷實(shí)際上

是一種靜態(tài)的載荷，所以涉及的疲勞也是一種靜態(tài)的疲勞，下一步可從動(dòng)態(tài)疲勞角度，對(duì)振動(dòng)零部件的可靠性進(jìn)行分析。

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