胡小平

教師上課前，都要求寫(xiě)備課計(jì)劃，上課時(shí)按計(jì)劃進(jìn)行教學(xué).進(jìn)行公開(kāi)課教學(xué)評(píng)價(jià)時(shí)也將教學(xué)計(jì)劃是否完成做為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)之一.但課堂教學(xué)計(jì)劃一定要當(dāng)堂完成嗎？今天的一節(jié)復(fù)習(xí)課讓我明白了課堂教學(xué)計(jì)劃應(yīng)該圍繞學(xué)生的思維活動(dòng)進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整，只要是有利于學(xué)生提高學(xué)習(xí)能力的課堂，即使教學(xué)計(jì)劃受到影響，同樣也是一節(jié)成功的課.

2013年10月18日下午第一節(jié)課，我在高三（1）班復(fù)習(xí)平面向量基本定理，課堂的前半部分一切按計(jì)劃正常地進(jìn)行著，順利地完成了平面向量基本定理的復(fù)習(xí)和兩道例題的講評(píng)，而第三題拋出之后，情況發(fā)生了很大的變化，在讓學(xué)生獨(dú)立思考之后，提問(wèn)學(xué)生的解題方法時(shí)，大大出乎我的意料，教學(xué)計(jì)劃中我只準(zhǔn)備了兩種常見(jiàn)的解題方法，而學(xué)生你一言我一語(yǔ)爭(zhēng)相發(fā)言，一道四年前普普通通的高考題頓時(shí)變得生動(dòng)起來(lái).

題目 （2009年安徽理14）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)，若OC=xOA+yOB其中x，y∈R，則x+y的最大值是.

解析 設(shè)∠AOC=α，

OC·OA=xOA·OA+yOB·OA，

OC·OB=xOA·OB+yOB·OB，

即cosα=x-12y，

cos（120°-α）=-12x+y.

∴x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=cosα+3sinα=2sin（α+π6）≤2.

這是高考參考答案，為了讓學(xué)生能有自已的想法，我并沒(méi)有在給出題目之后直接講解，而是讓學(xué)生自已獨(dú)立思考并解答，再提問(wèn)學(xué)生，結(jié)合學(xué)生的方法進(jìn)行講解.發(fā)現(xiàn)除參考答案以外還有很多巧妙的方法，總結(jié)如下.

方法一：吳麗君同學(xué)作法

如圖，做CE∥OA，CD∥OB交OA延長(zhǎng)線于D.在△OCD中，設(shè)∠AOC=θ，由正弦定理可知： ODsin∠OCD=DCsinθ=COsin60°.

所以x+y=OD+DC=sin（θ+60°）sin60°+sinθsin60°=2sin（θ+30°），0°<θ<120°，當(dāng)θ=60°時(shí)，（x+y）max=2.

方法二：黃雨婷同學(xué)作法

以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)∠AOC=θ，所以A（1，0），B（-12，32），C（cosθ，sinθ）

.因?yàn)镺C=xOA+yOB，所以

x-12y=cosθ，

32y=sinθ （1）

（2）

x=cosθ+33sinθ，

y=233sinθ.

所以x+y=cosθ+3sinθ=2sin（θ+

π6），0<θ<2π3.

當(dāng)θ=π6時(shí)，（x+y）max=2.

注：（1）（2）式平方相加可以得到方法三的（3）式，再用不等式

求x+y的最大值.

方法三：鄭悅同學(xué)作法

將OC=xOA+yOB兩邊同時(shí)平方得：

|OC|2=x2|OA|2+y2|OB|+2xyOA·OB，化簡(jiǎn)得：

1=x2+y2-xy，（3）

（x+y）2-1=3xy.

因?yàn)閤y≤x+y2，所以3xy≤3（x+y）24，所以（x+y）2-1≤3（x+y）24，故（x+y）2≤4，（x+y）max =2.

方法四：章新穎同學(xué)作法

連接AB， OC相交于E點(diǎn)，設(shè)OE=aOA+bOB，因?yàn)锳 ， B ， E 三點(diǎn)共線，所以有a+b=1.

OC=tOE=t（aOA+bOB）=taOA+tbOB，

所以x+y=ta+tb=t（a+b）=t.

故當(dāng)t取最大值時(shí)，x+y取最大.又因?yàn)閠=|OC||OE|=1|OE|，所以當(dāng)|OE|取最小時(shí)，t取最大值.

即OE⊥AB時(shí)|OE|取最小，此時(shí)，∠AOE=12∠AOB=60°，OE=OAcos60°=12，所以tmax=1|OE|min，即（x+y）max=2.

方法五：李奇同學(xué)作法

過(guò)C作OB的平行線交OA于D，所以DO=x，DC=y，∠ODC=60°，OC=1，由余弦定理可得：cos60°=x2+y2-12xy=12，化簡(jiǎn)得：（x+y）2-1=3xy.（以下同方法三，略）

綜上可見(jiàn)：學(xué)生在獨(dú)立思考后所展現(xiàn)的力量非常大，先后運(yùn)用了正弦定理、余弦定理、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、三點(diǎn)共線性質(zhì)、點(diǎn)到直線最短距離、不等式等知識(shí)點(diǎn)，從多個(gè)角度很好地解決了這道高考填空題.當(dāng)然，本節(jié)課我的教學(xué)計(jì)劃沒(méi)有得以完成，但尊重學(xué)生的思維活動(dòng)，讓學(xué)生暢所欲言，使全體同學(xué)所獲得的知識(shí)更多更全面.這是一節(jié)沒(méi)有完成教學(xué)計(jì)劃但卻超額完成計(jì)劃的復(fù)習(xí)課.

教師上課前，都要求寫(xiě)備課計(jì)劃，上課時(shí)按計(jì)劃進(jìn)行教學(xué).進(jìn)行公開(kāi)課教學(xué)評(píng)價(jià)時(shí)也將教學(xué)計(jì)劃是否完成做為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)之一.但課堂教學(xué)計(jì)劃一定要當(dāng)堂完成嗎？今天的一節(jié)復(fù)習(xí)課讓我明白了課堂教學(xué)計(jì)劃應(yīng)該圍繞學(xué)生的思維活動(dòng)進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整，只要是有利于學(xué)生提高學(xué)習(xí)能力的課堂，即使教學(xué)計(jì)劃受到影響，同樣也是一節(jié)成功的課.

2013年10月18日下午第一節(jié)課，我在高三（1）班復(fù)習(xí)平面向量基本定理，課堂的前半部分一切按計(jì)劃正常地進(jìn)行著，順利地完成了平面向量基本定理的復(fù)習(xí)和兩道例題的講評(píng)，而第三題拋出之后，情況發(fā)生了很大的變化，在讓學(xué)生獨(dú)立思考之后，提問(wèn)學(xué)生的解題方法時(shí)，大大出乎我的意料，教學(xué)計(jì)劃中我只準(zhǔn)備了兩種常見(jiàn)的解題方法，而學(xué)生你一言我一語(yǔ)爭(zhēng)相發(fā)言，一道四年前普普通通的高考題頓時(shí)變得生動(dòng)起來(lái).

題目 （2009年安徽理14）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)，若OC=xOA+yOB其中x，y∈R，則x+y的最大值是.

解析 設(shè)∠AOC=α，

OC·OA=xOA·OA+yOB·OA，

OC·OB=xOA·OB+yOB·OB，

即cosα=x-12y，

cos（120°-α）=-12x+y.

∴x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=cosα+3sinα=2sin（α+π6）≤2.

這是高考參考答案，為了讓學(xué)生能有自已的想法，我并沒(méi)有在給出題目之后直接講解，而是讓學(xué)生自已獨(dú)立思考并解答，再提問(wèn)學(xué)生，結(jié)合學(xué)生的方法進(jìn)行講解.發(fā)現(xiàn)除參考答案以外還有很多巧妙的方法，總結(jié)如下.

方法一：吳麗君同學(xué)作法

如圖，做CE∥OA，CD∥OB交OA延長(zhǎng)線于D.在△OCD中，設(shè)∠AOC=θ，由正弦定理可知： ODsin∠OCD=DCsinθ=COsin60°.

所以x+y=OD+DC=sin（θ+60°）sin60°+sinθsin60°=2sin（θ+30°），0°<θ<120°，當(dāng)θ=60°時(shí)，（x+y）max=2.

方法二：黃雨婷同學(xué)作法

以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)∠AOC=θ，所以A（1，0），B（-12，32），C（cosθ，sinθ）

.因?yàn)镺C=xOA+yOB，所以

x-12y=cosθ，

32y=sinθ （1）

（2）

x=cosθ+33sinθ，

y=233sinθ.

所以x+y=cosθ+3sinθ=2sin（θ+

π6），0<θ<2π3.

當(dāng)θ=π6時(shí)，（x+y）max=2.

注：（1）（2）式平方相加可以得到方法三的（3）式，再用不等式

求x+y的最大值.

方法三：鄭悅同學(xué)作法

將OC=xOA+yOB兩邊同時(shí)平方得：

|OC|2=x2|OA|2+y2|OB|+2xyOA·OB，化簡(jiǎn)得：

1=x2+y2-xy，（3）

（x+y）2-1=3xy.

因?yàn)閤y≤x+y2，所以3xy≤3（x+y）24，所以（x+y）2-1≤3（x+y）24，故（x+y）2≤4，（x+y）max =2.

方法四：章新穎同學(xué)作法

連接AB， OC相交于E點(diǎn)，設(shè)OE=aOA+bOB，因?yàn)锳 ， B ， E 三點(diǎn)共線，所以有a+b=1.

OC=tOE=t（aOA+bOB）=taOA+tbOB，

所以x+y=ta+tb=t（a+b）=t.

故當(dāng)t取最大值時(shí)，x+y取最大.又因?yàn)閠=|OC||OE|=1|OE|，所以當(dāng)|OE|取最小時(shí)，t取最大值.

即OE⊥AB時(shí)|OE|取最小，此時(shí)，∠AOE=12∠AOB=60°，OE=OAcos60°=12，所以tmax=1|OE|min，即（x+y）max=2.

方法五：李奇同學(xué)作法

過(guò)C作OB的平行線交OA于D，所以DO=x，DC=y，∠ODC=60°，OC=1，由余弦定理可得：cos60°=x2+y2-12xy=12，化簡(jiǎn)得：（x+y）2-1=3xy.（以下同方法三，略）

綜上可見(jiàn)：學(xué)生在獨(dú)立思考后所展現(xiàn)的力量非常大，先后運(yùn)用了正弦定理、余弦定理、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、三點(diǎn)共線性質(zhì)、點(diǎn)到直線最短距離、不等式等知識(shí)點(diǎn)，從多個(gè)角度很好地解決了這道高考填空題.當(dāng)然，本節(jié)課我的教學(xué)計(jì)劃沒(méi)有得以完成，但尊重學(xué)生的思維活動(dòng)，讓學(xué)生暢所欲言，使全體同學(xué)所獲得的知識(shí)更多更全面.這是一節(jié)沒(méi)有完成教學(xué)計(jì)劃但卻超額完成計(jì)劃的復(fù)習(xí)課.

教師上課前，都要求寫(xiě)備課計(jì)劃，上課時(shí)按計(jì)劃進(jìn)行教學(xué).進(jìn)行公開(kāi)課教學(xué)評(píng)價(jià)時(shí)也將教學(xué)計(jì)劃是否完成做為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)之一.但課堂教學(xué)計(jì)劃一定要當(dāng)堂完成嗎？今天的一節(jié)復(fù)習(xí)課讓我明白了課堂教學(xué)計(jì)劃應(yīng)該圍繞學(xué)生的思維活動(dòng)進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整，只要是有利于學(xué)生提高學(xué)習(xí)能力的課堂，即使教學(xué)計(jì)劃受到影響，同樣也是一節(jié)成功的課.

2013年10月18日下午第一節(jié)課，我在高三（1）班復(fù)習(xí)平面向量基本定理，課堂的前半部分一切按計(jì)劃正常地進(jìn)行著，順利地完成了平面向量基本定理的復(fù)習(xí)和兩道例題的講評(píng)，而第三題拋出之后，情況發(fā)生了很大的變化，在讓學(xué)生獨(dú)立思考之后，提問(wèn)學(xué)生的解題方法時(shí)，大大出乎我的意料，教學(xué)計(jì)劃中我只準(zhǔn)備了兩種常見(jiàn)的解題方法，而學(xué)生你一言我一語(yǔ)爭(zhēng)相發(fā)言，一道四年前普普通通的高考題頓時(shí)變得生動(dòng)起來(lái).

題目 （2009年安徽理14）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120°.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上變動(dòng)，若OC=xOA+yOB其中x，y∈R，則x+y的最大值是.

解析 設(shè)∠AOC=α，

OC·OA=xOA·OA+yOB·OA，

OC·OB=xOA·OB+yOB·OB，

即cosα=x-12y，

cos（120°-α）=-12x+y.

∴x+y=2[cosα+cos（120°-α）]=cosα+3sinα=2sin（α+π6）≤2.

這是高考參考答案，為了讓學(xué)生能有自已的想法，我并沒(méi)有在給出題目之后直接講解，而是讓學(xué)生自已獨(dú)立思考并解答，再提問(wèn)學(xué)生，結(jié)合學(xué)生的方法進(jìn)行講解.發(fā)現(xiàn)除參考答案以外還有很多巧妙的方法，總結(jié)如下.

方法一：吳麗君同學(xué)作法

如圖，做CE∥OA，CD∥OB交OA延長(zhǎng)線于D.在△OCD中，設(shè)∠AOC=θ，由正弦定理可知： ODsin∠OCD=DCsinθ=COsin60°.

所以x+y=OD+DC=sin（θ+60°）sin60°+sinθsin60°=2sin（θ+30°），0°<θ<120°，當(dāng)θ=60°時(shí)，（x+y）max=2.

方法二：黃雨婷同學(xué)作法

以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)∠AOC=θ，所以A（1，0），B（-12，32），C（cosθ，sinθ）

.因?yàn)镺C=xOA+yOB，所以

x-12y=cosθ，

32y=sinθ （1）

（2）

x=cosθ+33sinθ，

y=233sinθ.

所以x+y=cosθ+3sinθ=2sin（θ+

π6），0<θ<2π3.

當(dāng)θ=π6時(shí)，（x+y）max=2.

注：（1）（2）式平方相加可以得到方法三的（3）式，再用不等式

求x+y的最大值.

方法三：鄭悅同學(xué)作法

將OC=xOA+yOB兩邊同時(shí)平方得：

|OC|2=x2|OA|2+y2|OB|+2xyOA·OB，化簡(jiǎn)得：

1=x2+y2-xy，（3）

（x+y）2-1=3xy.

因?yàn)閤y≤x+y2，所以3xy≤3（x+y）24，所以（x+y）2-1≤3（x+y）24，故（x+y）2≤4，（x+y）max =2.

方法四：章新穎同學(xué)作法

連接AB， OC相交于E點(diǎn)，設(shè)OE=aOA+bOB，因?yàn)锳 ， B ， E 三點(diǎn)共線，所以有a+b=1.

OC=tOE=t（aOA+bOB）=taOA+tbOB，

所以x+y=ta+tb=t（a+b）=t.

故當(dāng)t取最大值時(shí)，x+y取最大.又因?yàn)閠=|OC||OE|=1|OE|，所以當(dāng)|OE|取最小時(shí)，t取最大值.

即OE⊥AB時(shí)|OE|取最小，此時(shí)，∠AOE=12∠AOB=60°，OE=OAcos60°=12，所以tmax=1|OE|min，即（x+y）max=2.

方法五：李奇同學(xué)作法

過(guò)C作OB的平行線交OA于D，所以DO=x，DC=y，∠ODC=60°，OC=1，由余弦定理可得：cos60°=x2+y2-12xy=12，化簡(jiǎn)得：（x+y）2-1=3xy.（以下同方法三，略）

綜上可見(jiàn)：學(xué)生在獨(dú)立思考后所展現(xiàn)的力量非常大，先后運(yùn)用了正弦定理、余弦定理、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、三點(diǎn)共線性質(zhì)、點(diǎn)到直線最短距離、不等式等知識(shí)點(diǎn)，從多個(gè)角度很好地解決了這道高考填空題.當(dāng)然，本節(jié)課我的教學(xué)計(jì)劃沒(méi)有得以完成，但尊重學(xué)生的思維活動(dòng)，讓學(xué)生暢所欲言，使全體同學(xué)所獲得的知識(shí)更多更全面.這是一節(jié)沒(méi)有完成教學(xué)計(jì)劃但卻超額完成計(jì)劃的復(fù)習(xí)課.