王英芳

摘 要： 合情推理是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本方法之一，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，主要有歸納法和類比法。本文主要用歸納思想和類比思想對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的案例進(jìn)行分析，以期一線教師在教學(xué)中更好地運用合情推理，強(qiáng)化小學(xué)生的解題技巧，提高小學(xué)生的解題能力。

關(guān)鍵詞： 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 合情推理 歸納法 類比法

一、合情推理的概念

合情推理就是合乎情理的猜測方法，是從觀察、實驗入手，在推理者個人數(shù)學(xué)經(jīng)驗、數(shù)學(xué)直覺等背景的影響下，根據(jù)已知的某些數(shù)學(xué)事實，運用某種非嚴(yán)格的但合乎情理的推理形式，作出新的判斷的思維過程，主要有歸納法和類比法。

歸納法，又稱歸納推理，指的是通過對某類數(shù)學(xué)對象（或事物）的個別或部分進(jìn)行研究，得出關(guān)于一類事物的一般結(jié)論的方法[1]。小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的是不完全歸納法，也就是：僅僅通過對一類事物部分對象的考察，就作出該類事物具有一般性的論斷[2]。這種推理方法得到的結(jié)論并不一定可靠，需要作進(jìn)一步證明，但在小學(xué)數(shù)學(xué)中只需多舉例驗證就可以。

類比法，又稱類比推理，是指根據(jù)兩個不同事物之間，某些方面的相似點而推理出它們在其他方面也可能存在相似或相同的推理方法[3]。波利亞指出，類比的關(guān)鍵就是將兩個事物在某些屬性上的相似之處化為明確的概念，若將它們變成清楚的概念，也就闡明了類比關(guān)系。類比推理是數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維活動的重要方法，就如波利亞所說：“類比是個偉大的引路人?！睂τ跀?shù)學(xué)猜想而言，類比推理的意義就在于“觸類旁通”、“旁敲側(cè)擊”，它提供了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)求解的線索。

合情推理是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本方法之一。與合情推理相比，論證推理是可靠的、無可置疑的，數(shù)學(xué)論證推理主要用來對數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的、體現(xiàn)事物的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系的猜想或模式的雛形進(jìn)行本質(zhì)性的考察，判斷或驗證其真實性，從理論上和邏輯上進(jìn)行嚴(yán)格論證，為新模式和新理論的形成提供保障。雖然論證推理是可靠的、無可置疑的，合情推理在數(shù)學(xué)中卻有廣泛的應(yīng)用，其中歸納法與類比法最普遍、最重要。許多數(shù)學(xué)結(jié)論及相應(yīng)的證明只有靠合情推理才能得以發(fā)現(xiàn)。

二、合情推理案例分析

（一）歸納思想案例分析

案例一：在方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)課本三年級上冊第二單元課后練習(xí)P26）。

這個題對于我們來說非常簡單，只要掌握了三位數(shù)的連續(xù)退位減法后，將豎式計算化為推理就可得出答案，如下：

但這個題對于小學(xué)生來說就沒有那么簡單，要理解如何得出答案的過程就不太容易。學(xué)生僅知道答案是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，教師要做的是為學(xué)生呈現(xiàn)解題過程，啟發(fā)學(xué)生思考這個題的結(jié)果是怎么得來的。一位教學(xué)經(jīng)驗豐富的老師用了下面的方法啟發(fā)學(xué)生：

先計算下面的式子：

19-1=？搖？搖 19-2=？搖 ？搖19-3=？搖？搖

19-4=？搖？搖 19-5=？搖 ？搖19-6=？搖？搖

19-7=？搖 ？搖19-8=？搖 ？搖19-9=？搖？搖

計算后得出如下答案：

19-1=18？搖 ？搖19-2=17？搖 ？搖19-3=16？搖？搖

19-4=15？搖 ？搖19-5=14？搖 ？搖19-6=13？搖？搖

19-7=12？搖 ？搖19-8=11？搖 ？搖19-9=10？搖？搖

從以上計算可以看出：“19減掉任何一個1位自然數(shù)后，其結(jié)果都是兩位自然數(shù)?！庇纱说玫絾l(fā)：被減數(shù)的十位被個位借走了“1”。只有在這樣的情況下，差才會是兩位數(shù)，才與方框里要填數(shù)的特性相符。從“19-9=10”可以得到啟發(fā)，10被借走“1”后恰好是一個個位數(shù)，減數(shù)的十位上可能填9，如下面的豎式：

為了進(jìn)一步驗證減數(shù)和差十位上填9是否準(zhǔn)確，還需推算出它們個位上的數(shù)。十位上借走了“1”，個位上要填的數(shù)一定是比7大的數(shù)，它們是8或9，所以有：

經(jīng)計算，上面的推算正確，進(jìn)一步驗證了減數(shù)十位填9的猜想。

考慮到小學(xué)生的思維發(fā)展水平，需要通過教師的指導(dǎo)找到一種明了的解題思路。在教師的指引下，學(xué)生從自己熟悉的算式中，采用不完全歸納法，以一類事物若干個別對象或子類具有某一屬性為前提，而得出該類事物都具有這一屬性的推理形式，從這個推理形式中歸納出他們自己可能還未意識到的結(jié)論。案例一中的推理遵循如下基本推理規(guī)則：

19-1的結(jié)果是兩位數(shù)

19-2的結(jié)果是兩位數(shù)

……

19-9的結(jié)果是兩位數(shù)（其中減數(shù)1，2，…，9都是一位自然數(shù)）

————————————————

所以，19減去任何一個一位自然數(shù)都是兩位數(shù)。

其中，19-1，19-2，…，19-9是“19減去任何一個一位自然數(shù)”的個別對象或子類。

這個題中不僅包含了“減去任何一個一位自然數(shù)后，其結(jié)果都是兩位自然數(shù)”的結(jié)論，還包含了“18減去任何一個比9小的自然數(shù)，其結(jié)果都是兩位數(shù)”這一結(jié)論，對這些結(jié)論的認(rèn)識也屬于科學(xué)認(rèn)識的范疇?？茖W(xué)認(rèn)識的過程，需要經(jīng)歷一個從個體到一般的發(fā)展過程，即從積累大量的觀察、實驗材料，到轉(zhuǎn)化成一般原理的過程。通過個性可以認(rèn)識和發(fā)現(xiàn)共性，在這個過程中，需要以歸納法發(fā)揮作用，歸納出客觀事物的個性中蘊含著共性，在這里的“共性”是指：用歸納法從案例一中發(fā)現(xiàn)的兩個具體結(jié)論，它們指導(dǎo)學(xué)生找到解決問題的方法。那么從發(fā)現(xiàn)的結(jié)論中可以判斷出：被減數(shù)197的十位被個位借走了“1”、減數(shù)的十位上填9，從而找到解決案例一的突破口。

小學(xué)階段的學(xué)生以形象思維為主，學(xué)生學(xué)習(xí)某個新概念之前需要接觸大量的具體事例，再從這些事例中發(fā)現(xiàn)概念，學(xué)生發(fā)現(xiàn)的概念就是隱藏在客觀事物中的共性，這就是歸納思想的體現(xiàn)。

（二）類比思想案例分析

案例二長方形（正方形）與長方體（正方體）的類比，如下圖：

圖 長方形與長方體的類比圖

長（正）方形各邊的關(guān)系與長（正）方體各面之間的關(guān)系相似：長方形每一邊恰與相對的一邊平行，而與其余的邊垂直；長方體的每一面恰與相對的一面平行，而與其余的面垂直。平面幾何中的直線就相當(dāng)于立體幾何中的平面。比如，要知道一般位置的四個平面（構(gòu)成一個三棱錐）把空間分成幾個部分，可以先找出平面上一般位置的三條直線（交點互異）把平面分成幾個部分，然后再用類比的思想，將其與空間的四個平面作比較，進(jìn)而得出結(jié)論。

平面與空間之間有同一性，因此可以類比，但具有同一性的任何兩個不同事物必有相異性，正是這種相異性限制了類比的范圍。如果類比的結(jié)論正好揭示了它的同一性，則結(jié)論正確。事實上，長方形各邊之間的關(guān)系與長方體各面之間的關(guān)系相似，類比的結(jié)果正好揭示了它們的同一性。三棱錐與交點互異的三條直線也有同一性，可以類比，它們兩者間的類比關(guān)系要更復(fù)雜些。三棱錐各邊、各面與交點互異的那三條直線之間有相似關(guān)系；同時，三棱錐四個面的交點與三條交點互異直線的三個交點之間也有相似關(guān)系，可以類比。根據(jù)它們兩者之間存在的相似性，用推算“交點互異的三條直線將平面分成7個部分”的方法，推算出一個三棱錐將空間分成15個部分。

當(dāng)我們遇到一個新問題或一些比較復(fù)雜的問題時，不能立即找到解法，可以先找到類比問題的解法（這個類比問題的解法比待解問題簡單）。通常情況下，在類比過程中進(jìn)行推測、聯(lián)想，將各個知識點串聯(lián)起來，不僅能開闊視野、拓寬思路，還能強(qiáng)化解題技巧，兩者配合使用，相得益彰。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳炯圻，林培榕.數(shù)學(xué)思想方法——創(chuàng)新與應(yīng)用能力的培養(yǎng)[M].廈門：廈門大學(xué)出版社，2009.8：156.

[2]劉娟娟.有效教學(xué)[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2005.7：111.

[3]葉立軍.數(shù)學(xué)方法論[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2008.6：249.