高飛

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)無論是實(shí)驗(yàn)稿，還是修訂稿，都把動手實(shí)踐作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方式列舉出來。美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一方法是“做”數(shù)學(xué)。由此可見，動手實(shí)踐對于小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要意義。兒童的智慧在指尖上。教育心理學(xué)研究指出，兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)往往是從“動作”開始的，經(jīng)歷“動作思維—表象思維—抽象思維”的發(fā)展過程。而通過物化操作活動，將感知與動作聯(lián)系起來，能促進(jìn)思考，從而提高感知的效果。鑒于以上原因，動手操作這種學(xué)習(xí)方式被教師廣泛地選用于課堂教學(xué)，成為數(shù)學(xué)“概念”“規(guī)則”等知識技能教學(xué)的首選方式。但縱觀課堂上操作活動，是否都能達(dá)到理想的教學(xué)目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)最初選擇的教學(xué)愿景呢？答案當(dāng)然是否定的。動手操作作為一種促進(jìn)學(xué)習(xí)的有效手段，是外因，而外因只有通過內(nèi)因才能起作用。因此，能否誘發(fā)學(xué)生的內(nèi)在需求是衡量操作活動是否有效的重要條件。那些沒有誘發(fā)學(xué)生需求的操作活動，因?yàn)樗麄儾恢馈盀槭裁床僮鳌?、“操作有什么用”，所以?dǎo)致思維不能積極參與其中。當(dāng)然，沒有思維深度參與的任何學(xué)習(xí)活動，都是高耗低效的，甚至是無效的活動。鑒于“反例”有助于吸取教訓(xùn)，所以筆者把親身經(jīng)歷的一次失敗的“操作活動”過程及其重構(gòu)方法記錄下來，以供大家批評。

“點(diǎn)到直線的距離”是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)平面圖形的高的直接基礎(chǔ)。教學(xué)時，我預(yù)設(shè)了如下操作活動：一是要求學(xué)生過直線外點(diǎn)A，畫出已知直線的垂直線段AO（如圖1）；二是要求學(xué)生在原有直線上，再任意找出B、C、D、E四點(diǎn)分別與A點(diǎn)連接起來（如圖2）；三是要求學(xué)生測量線段AO、AB、AC、AD、AE的長度（要求用毫米作單位），并問：“你有什么發(fā)現(xiàn)？”筆者希望通過以上層層遞進(jìn)的操作活動，讓學(xué)生在充分感知“點(diǎn)到直線的‘垂直線段”的基礎(chǔ)上，在測量與比較中發(fā)現(xiàn)“從直線外的一點(diǎn)到這條直線的所有線段中垂直線段‘最短”的結(jié)論，從而幫助學(xué)生理解“點(diǎn)到直線的距離”的概念內(nèi)涵。

圖1 圖2

圖3

但無情的課堂現(xiàn)實(shí)徹底擊碎了我的教學(xué)愿景?！盎顒右弧闭w上完成不錯。但到了“活動二”問題就花樣百出，有的學(xué)生因?yàn)闆]有聽懂老師的要求，無從下手；有的學(xué)生分別過B、C、D、E四點(diǎn)，又畫出四條垂直于已知直線的線段（如圖3）；還有的學(xué)生“按圖索驥”，雖然畫了、測了，但因?yàn)椴恢罏槭裁催@樣做，所以“發(fā)現(xiàn)”也成了泡影。如此下來，一場“熱熱鬧鬧”的操作活動，有意識參與并真正獲得感知與體驗(yàn)的學(xué)生不足30%。無疑，這樣的教學(xué)是失敗的。當(dāng)時，我簡單地歸因于學(xué)生“太不認(rèn)真”，憤憤地拂袖而去……

課下，待我“氣”消“云”散之后，仔細(xì)回味課上“三次”活動，驀然發(fā)現(xiàn)：每次操作活動都體現(xiàn)了教師的“意志”，哪一個是學(xué)生自覺自愿開展的？！因?yàn)闆]有參與操作活動的心理需求，所以學(xué)生被動參與，注意力分散，甚至消極怠工。最關(guān)鍵的是不能調(diào)動學(xué)生思維的積極性，操作活動“失敗”在所難免！通過反思，找到了問題的癥結(jié)，據(jù)此進(jìn)行改進(jìn)。以下是在另一個班級“同環(huán)節(jié)”重構(gòu)的教學(xué)過程：

第一步，過A點(diǎn)畫出已知直線的垂直線段AO。（如圖1，指出垂足并用O表示。）

指名板演，其他學(xué)生獨(dú)立完成之后，突出教學(xué)垂直線段的兩個端點(diǎn)A、O。

通過強(qiáng)調(diào)垂直線段的兩個端點(diǎn)A、O，讓學(xué)生把過A點(diǎn)畫已知直線的垂直“線段”和以往的“直線”區(qū)別開來。

第二步，在圖1的基礎(chǔ)上，教師任意取出B、C、D、E四點(diǎn)，并分別與點(diǎn)A連接起來（如圖2），提出：比一比，線段AO、AB、AC、AD、AE有什么不同？

學(xué)生借助圖形，通過觀察與比較，得出：線段AO垂直于已知直線；線段AO最短。此時，教師抓住學(xué)生生成的結(jié)論“線段AO最短”指出：垂直于已知直線的線段AO最短，這是我們用肉眼觀察到的結(jié)果，如果要確信這個規(guī)律，就需要——“驗(yàn)證！”學(xué)生異口同聲。

由原來的教師“命令”、學(xué)生“執(zhí)行”改為教師示范，既不影響學(xué)生后續(xù)探究的效果，又可以避免發(fā)生理解上的歧義現(xiàn)象。更重要的是，能夠直觀地引導(dǎo)學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上作出合理的猜想，從而為下一步操作驗(yàn)證做好心理準(zhǔn)備。

第三步，每位學(xué)生在練習(xí)紙上，利用原有的圖形“照樣子”畫出線段AB、AC、AD、AE。并放手讓學(xué)生通過操作驗(yàn)證“猜想”。

案例中，在教師一句“垂直于已知直線的線段AO最短，這是我們?nèi)庋塾^察到的結(jié)果，如果要確信這個規(guī)律，就需要——”的啟示下，剛剛產(chǎn)生的“猜想”隨機(jī)轉(zhuǎn)化成了每個學(xué)生頭腦中一個個大“？”，從而使“驗(yàn)證”的愿望油然而生，“欲罷不能”！因?yàn)橛辛瞬僮黩?yàn)證的心理需求，所以在已有的圖形上畫出線段，并通過各種操作活動驗(yàn)證“猜想”，就是學(xué)生自覺自愿的事情。

據(jù)察，此環(huán)節(jié)學(xué)生摩拳擦掌、行動迅速、思維活躍。每個學(xué)生都全身心地投入到驗(yàn)證“猜想”的活動中來。課堂生成精彩紛呈，創(chuàng)新火花不斷閃現(xiàn)。除了選擇常規(guī)方法“測量”驗(yàn)證以外，還有學(xué)生創(chuàng)造性地使用“繩子比”的方法：把繩子一端固定在點(diǎn)A上，（借助圖2）以線段AO為標(biāo)準(zhǔn)，依次“比較”每條線段的長度。在最后一條線段比較結(jié)束的同時，每個學(xué)生的頭腦中也形成了清晰的、動態(tài)的比較表象，進(jìn)而順利抽象并得出“從直線外一點(diǎn)到已知直線的所有線段中垂直線段‘最短”的結(jié)論。至此，“點(diǎn)到直線的距離”的概念建構(gòu)“呼之欲出”，水到渠成。

【責(zé)任編輯：陳國慶】

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)無論是實(shí)驗(yàn)稿，還是修訂稿，都把動手實(shí)踐作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方式列舉出來。美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一方法是“做”數(shù)學(xué)。由此可見，動手實(shí)踐對于小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要意義。兒童的智慧在指尖上。教育心理學(xué)研究指出，兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)往往是從“動作”開始的，經(jīng)歷“動作思維—表象思維—抽象思維”的發(fā)展過程。而通過物化操作活動，將感知與動作聯(lián)系起來，能促進(jìn)思考，從而提高感知的效果。鑒于以上原因，動手操作這種學(xué)習(xí)方式被教師廣泛地選用于課堂教學(xué)，成為數(shù)學(xué)“概念”“規(guī)則”等知識技能教學(xué)的首選方式。但縱觀課堂上操作活動，是否都能達(dá)到理想的教學(xué)目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)最初選擇的教學(xué)愿景呢？答案當(dāng)然是否定的。動手操作作為一種促進(jìn)學(xué)習(xí)的有效手段，是外因，而外因只有通過內(nèi)因才能起作用。因此，能否誘發(fā)學(xué)生的內(nèi)在需求是衡量操作活動是否有效的重要條件。那些沒有誘發(fā)學(xué)生需求的操作活動，因?yàn)樗麄儾恢馈盀槭裁床僮鳌?、“操作有什么用”，所以?dǎo)致思維不能積極參與其中。當(dāng)然，沒有思維深度參與的任何學(xué)習(xí)活動，都是高耗低效的，甚至是無效的活動。鑒于“反例”有助于吸取教訓(xùn)，所以筆者把親身經(jīng)歷的一次失敗的“操作活動”過程及其重構(gòu)方法記錄下來，以供大家批評。

“點(diǎn)到直線的距離”是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)平面圖形的高的直接基礎(chǔ)。教學(xué)時，我預(yù)設(shè)了如下操作活動：一是要求學(xué)生過直線外點(diǎn)A，畫出已知直線的垂直線段AO（如圖1）；二是要求學(xué)生在原有直線上，再任意找出B、C、D、E四點(diǎn)分別與A點(diǎn)連接起來（如圖2）；三是要求學(xué)生測量線段AO、AB、AC、AD、AE的長度（要求用毫米作單位），并問：“你有什么發(fā)現(xiàn)？”筆者希望通過以上層層遞進(jìn)的操作活動，讓學(xué)生在充分感知“點(diǎn)到直線的‘垂直線段”的基礎(chǔ)上，在測量與比較中發(fā)現(xiàn)“從直線外的一點(diǎn)到這條直線的所有線段中垂直線段‘最短”的結(jié)論，從而幫助學(xué)生理解“點(diǎn)到直線的距離”的概念內(nèi)涵。

圖1 圖2

圖3

但無情的課堂現(xiàn)實(shí)徹底擊碎了我的教學(xué)愿景?！盎顒右弧闭w上完成不錯。但到了“活動二”問題就花樣百出，有的學(xué)生因?yàn)闆]有聽懂老師的要求，無從下手；有的學(xué)生分別過B、C、D、E四點(diǎn)，又畫出四條垂直于已知直線的線段（如圖3）；還有的學(xué)生“按圖索驥”，雖然畫了、測了，但因?yàn)椴恢罏槭裁催@樣做，所以“發(fā)現(xiàn)”也成了泡影。如此下來，一場“熱熱鬧鬧”的操作活動，有意識參與并真正獲得感知與體驗(yàn)的學(xué)生不足30%。無疑，這樣的教學(xué)是失敗的。當(dāng)時，我簡單地歸因于學(xué)生“太不認(rèn)真”，憤憤地拂袖而去……

課下，待我“氣”消“云”散之后，仔細(xì)回味課上“三次”活動，驀然發(fā)現(xiàn)：每次操作活動都體現(xiàn)了教師的“意志”，哪一個是學(xué)生自覺自愿開展的？！因?yàn)闆]有參與操作活動的心理需求，所以學(xué)生被動參與，注意力分散，甚至消極怠工。最關(guān)鍵的是不能調(diào)動學(xué)生思維的積極性，操作活動“失敗”在所難免！通過反思，找到了問題的癥結(jié)，據(jù)此進(jìn)行改進(jìn)。以下是在另一個班級“同環(huán)節(jié)”重構(gòu)的教學(xué)過程：

第一步，過A點(diǎn)畫出已知直線的垂直線段AO。（如圖1，指出垂足并用O表示。）

指名板演，其他學(xué)生獨(dú)立完成之后，突出教學(xué)垂直線段的兩個端點(diǎn)A、O。

通過強(qiáng)調(diào)垂直線段的兩個端點(diǎn)A、O，讓學(xué)生把過A點(diǎn)畫已知直線的垂直“線段”和以往的“直線”區(qū)別開來。

第二步，在圖1的基礎(chǔ)上，教師任意取出B、C、D、E四點(diǎn)，并分別與點(diǎn)A連接起來（如圖2），提出：比一比，線段AO、AB、AC、AD、AE有什么不同？

學(xué)生借助圖形，通過觀察與比較，得出：線段AO垂直于已知直線；線段AO最短。此時，教師抓住學(xué)生生成的結(jié)論“線段AO最短”指出：垂直于已知直線的線段AO最短，這是我們用肉眼觀察到的結(jié)果，如果要確信這個規(guī)律，就需要——“驗(yàn)證！”學(xué)生異口同聲。

由原來的教師“命令”、學(xué)生“執(zhí)行”改為教師示范，既不影響學(xué)生后續(xù)探究的效果，又可以避免發(fā)生理解上的歧義現(xiàn)象。更重要的是，能夠直觀地引導(dǎo)學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上作出合理的猜想，從而為下一步操作驗(yàn)證做好心理準(zhǔn)備。

第三步，每位學(xué)生在練習(xí)紙上，利用原有的圖形“照樣子”畫出線段AB、AC、AD、AE。并放手讓學(xué)生通過操作驗(yàn)證“猜想”。

案例中，在教師一句“垂直于已知直線的線段AO最短，這是我們?nèi)庋塾^察到的結(jié)果，如果要確信這個規(guī)律，就需要——”的啟示下，剛剛產(chǎn)生的“猜想”隨機(jī)轉(zhuǎn)化成了每個學(xué)生頭腦中一個個大“？”，從而使“驗(yàn)證”的愿望油然而生，“欲罷不能”！因?yàn)橛辛瞬僮黩?yàn)證的心理需求，所以在已有的圖形上畫出線段，并通過各種操作活動驗(yàn)證“猜想”，就是學(xué)生自覺自愿的事情。

據(jù)察，此環(huán)節(jié)學(xué)生摩拳擦掌、行動迅速、思維活躍。每個學(xué)生都全身心地投入到驗(yàn)證“猜想”的活動中來。課堂生成精彩紛呈，創(chuàng)新火花不斷閃現(xiàn)。除了選擇常規(guī)方法“測量”驗(yàn)證以外，還有學(xué)生創(chuàng)造性地使用“繩子比”的方法：把繩子一端固定在點(diǎn)A上，（借助圖2）以線段AO為標(biāo)準(zhǔn)，依次“比較”每條線段的長度。在最后一條線段比較結(jié)束的同時，每個學(xué)生的頭腦中也形成了清晰的、動態(tài)的比較表象，進(jìn)而順利抽象并得出“從直線外一點(diǎn)到已知直線的所有線段中垂直線段‘最短”的結(jié)論。至此，“點(diǎn)到直線的距離”的概念建構(gòu)“呼之欲出”，水到渠成。

【責(zé)任編輯：陳國慶】

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)無論是實(shí)驗(yàn)稿，還是修訂稿，都把動手實(shí)踐作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方式列舉出來。美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一方法是“做”數(shù)學(xué)。由此可見，動手實(shí)踐對于小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要意義。兒童的智慧在指尖上。教育心理學(xué)研究指出，兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)往往是從“動作”開始的，經(jīng)歷“動作思維—表象思維—抽象思維”的發(fā)展過程。而通過物化操作活動，將感知與動作聯(lián)系起來，能促進(jìn)思考，從而提高感知的效果。鑒于以上原因，動手操作這種學(xué)習(xí)方式被教師廣泛地選用于課堂教學(xué)，成為數(shù)學(xué)“概念”“規(guī)則”等知識技能教學(xué)的首選方式。但縱觀課堂上操作活動，是否都能達(dá)到理想的教學(xué)目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)最初選擇的教學(xué)愿景呢？答案當(dāng)然是否定的。動手操作作為一種促進(jìn)學(xué)習(xí)的有效手段，是外因，而外因只有通過內(nèi)因才能起作用。因此，能否誘發(fā)學(xué)生的內(nèi)在需求是衡量操作活動是否有效的重要條件。那些沒有誘發(fā)學(xué)生需求的操作活動，因?yàn)樗麄儾恢馈盀槭裁床僮鳌?、“操作有什么用”，所以?dǎo)致思維不能積極參與其中。當(dāng)然，沒有思維深度參與的任何學(xué)習(xí)活動，都是高耗低效的，甚至是無效的活動。鑒于“反例”有助于吸取教訓(xùn)，所以筆者把親身經(jīng)歷的一次失敗的“操作活動”過程及其重構(gòu)方法記錄下來，以供大家批評。

“點(diǎn)到直線的距離”是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)平面圖形的高的直接基礎(chǔ)。教學(xué)時，我預(yù)設(shè)了如下操作活動：一是要求學(xué)生過直線外點(diǎn)A，畫出已知直線的垂直線段AO（如圖1）；二是要求學(xué)生在原有直線上，再任意找出B、C、D、E四點(diǎn)分別與A點(diǎn)連接起來（如圖2）；三是要求學(xué)生測量線段AO、AB、AC、AD、AE的長度（要求用毫米作單位），并問：“你有什么發(fā)現(xiàn)？”筆者希望通過以上層層遞進(jìn)的操作活動，讓學(xué)生在充分感知“點(diǎn)到直線的‘垂直線段”的基礎(chǔ)上，在測量與比較中發(fā)現(xiàn)“從直線外的一點(diǎn)到這條直線的所有線段中垂直線段‘最短”的結(jié)論，從而幫助學(xué)生理解“點(diǎn)到直線的距離”的概念內(nèi)涵。

圖1 圖2

圖3

但無情的課堂現(xiàn)實(shí)徹底擊碎了我的教學(xué)愿景?！盎顒右弧闭w上完成不錯。但到了“活動二”問題就花樣百出，有的學(xué)生因?yàn)闆]有聽懂老師的要求，無從下手；有的學(xué)生分別過B、C、D、E四點(diǎn)，又畫出四條垂直于已知直線的線段（如圖3）；還有的學(xué)生“按圖索驥”，雖然畫了、測了，但因?yàn)椴恢罏槭裁催@樣做，所以“發(fā)現(xiàn)”也成了泡影。如此下來，一場“熱熱鬧鬧”的操作活動，有意識參與并真正獲得感知與體驗(yàn)的學(xué)生不足30%。無疑，這樣的教學(xué)是失敗的。當(dāng)時，我簡單地歸因于學(xué)生“太不認(rèn)真”，憤憤地拂袖而去……

課下，待我“氣”消“云”散之后，仔細(xì)回味課上“三次”活動，驀然發(fā)現(xiàn)：每次操作活動都體現(xiàn)了教師的“意志”，哪一個是學(xué)生自覺自愿開展的？！因?yàn)闆]有參與操作活動的心理需求，所以學(xué)生被動參與，注意力分散，甚至消極怠工。最關(guān)鍵的是不能調(diào)動學(xué)生思維的積極性，操作活動“失敗”在所難免！通過反思，找到了問題的癥結(jié)，據(jù)此進(jìn)行改進(jìn)。以下是在另一個班級“同環(huán)節(jié)”重構(gòu)的教學(xué)過程：

第一步，過A點(diǎn)畫出已知直線的垂直線段AO。（如圖1，指出垂足并用O表示。）

指名板演，其他學(xué)生獨(dú)立完成之后，突出教學(xué)垂直線段的兩個端點(diǎn)A、O。

通過強(qiáng)調(diào)垂直線段的兩個端點(diǎn)A、O，讓學(xué)生把過A點(diǎn)畫已知直線的垂直“線段”和以往的“直線”區(qū)別開來。

第二步，在圖1的基礎(chǔ)上，教師任意取出B、C、D、E四點(diǎn)，并分別與點(diǎn)A連接起來（如圖2），提出：比一比，線段AO、AB、AC、AD、AE有什么不同？

學(xué)生借助圖形，通過觀察與比較，得出：線段AO垂直于已知直線；線段AO最短。此時，教師抓住學(xué)生生成的結(jié)論“線段AO最短”指出：垂直于已知直線的線段AO最短，這是我們用肉眼觀察到的結(jié)果，如果要確信這個規(guī)律，就需要——“驗(yàn)證！”學(xué)生異口同聲。

由原來的教師“命令”、學(xué)生“執(zhí)行”改為教師示范，既不影響學(xué)生后續(xù)探究的效果，又可以避免發(fā)生理解上的歧義現(xiàn)象。更重要的是，能夠直觀地引導(dǎo)學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上作出合理的猜想，從而為下一步操作驗(yàn)證做好心理準(zhǔn)備。

第三步，每位學(xué)生在練習(xí)紙上，利用原有的圖形“照樣子”畫出線段AB、AC、AD、AE。并放手讓學(xué)生通過操作驗(yàn)證“猜想”。

案例中，在教師一句“垂直于已知直線的線段AO最短，這是我們?nèi)庋塾^察到的結(jié)果，如果要確信這個規(guī)律，就需要——”的啟示下，剛剛產(chǎn)生的“猜想”隨機(jī)轉(zhuǎn)化成了每個學(xué)生頭腦中一個個大“？”，從而使“驗(yàn)證”的愿望油然而生，“欲罷不能”！因?yàn)橛辛瞬僮黩?yàn)證的心理需求，所以在已有的圖形上畫出線段，并通過各種操作活動驗(yàn)證“猜想”，就是學(xué)生自覺自愿的事情。

據(jù)察，此環(huán)節(jié)學(xué)生摩拳擦掌、行動迅速、思維活躍。每個學(xué)生都全身心地投入到驗(yàn)證“猜想”的活動中來。課堂生成精彩紛呈，創(chuàng)新火花不斷閃現(xiàn)。除了選擇常規(guī)方法“測量”驗(yàn)證以外，還有學(xué)生創(chuàng)造性地使用“繩子比”的方法：把繩子一端固定在點(diǎn)A上，（借助圖2）以線段AO為標(biāo)準(zhǔn)，依次“比較”每條線段的長度。在最后一條線段比較結(jié)束的同時，每個學(xué)生的頭腦中也形成了清晰的、動態(tài)的比較表象，進(jìn)而順利抽象并得出“從直線外一點(diǎn)到已知直線的所有線段中垂直線段‘最短”的結(jié)論。至此，“點(diǎn)到直線的距離”的概念建構(gòu)“呼之欲出”，水到渠成。

【責(zé)任編輯：陳國慶】