王 新，王 乾，趙志科

WANG Xin1,WANG Qian1,ZHAO Zhike2

1.河南理工大學 電氣工程與自動化學院，河南 焦作 454000

2.中國礦業(yè)大學 機電工程學院，江蘇 徐州 221116

1.School of Electrical Engineering and Automation,Henan Polytechnic University,Jiaozuo,Henan 454000,China

2.College of Mechanical Electronic and Information Engineering,China University of Mining and Technology,Xuzhou,Jiangsu 221116,China

1 引言

在進行故障診斷過程中，一般采用基于線性理論的時域和頻域分析方法提取故障特征，但是隨著科學技術的發(fā)展以及設備的復雜化，它的一些缺點和局限性也逐步暴露出來了。其主要問題是：當非線性的因素很大時，應用基于線性的故障診斷方法難以取得令人滿意的效果，因而在實際的應用效果中遇到不可逾越的障礙。隨著非線性理論、先進算法、信號處理以及智能控制等技術的深入，非線性的故障診斷技術已經有了很大的發(fā)展。

1998年，美籍華人Norden E.Huang等人提出了一種新的非線性和非平穩(wěn)信號分析方法——Hilbert-Huang變換[1-2]。Hilbert-Huang變換包含兩個過程：首先對信號進行經驗模態(tài)分解，把復雜信號分解成有限個本征模態(tài)函數(shù)（Intrisic Mode Function，IMF）之和，然后對各個IMF進行Hilbert譜分析。經驗模態(tài)分解是Hilbert變換的核心部分，其重要環(huán)節(jié)是構造信號的上下包絡線，以得到信號的瞬時平均。在經驗模態(tài)分解中利用三次樣條曲線，通過插值求取極大值包絡線和極小值包絡線。通常由于信號的端點不是極值點，直接以端點作為極值點擬合信號包絡線就會造成擬合誤差，其結果是分解出的IMF在兩端出現(xiàn)了虛假成分，并且隨著分解過程的進行，這些虛假成分逐漸向內“污染”整個數(shù)據，最終造成分解結果的失真，即端點效應。因此，抑制和消除端點效應就成為經驗模態(tài)分解的前提和關鍵。

目前，抑制端點效應的方法主要有兩種途徑[3-4]：一是用樣條函數(shù)進行曲線擬合得到信號的局部均值。雖然該方法能在端點效應抑制上得到一定程度的改善，但其插值性能一般比較差，一般情況下很少采用；二是采用一定方法在信號兩端找到合適的極值點，使信號擬合的包絡線能夠完整包絡整個信號。該方法是當前常用的端點效應抑制方法，目前國內外大多學者都致力于這方面的工作，并且已經取得一些進展。這些方法又可細分為兩大類：一類是基于自身波的延拓法；另一類是基于序列預測法。信號的極值延拓[5]、鏡像延拓[6-7]等可以歸結為自身波的延拓法，而多項式擬合[8]、自回歸預測模型[9]、神經網絡預測[10]以及支持向量回歸機[11-12]都可以歸結為序列預測法。由于單獨采用上述方法難以有效地抑制經驗模態(tài)分解產生的端點效應，所以本文提出了鏡像延拓和支持向量回歸機相結合的端點延拓改進方法，并引入端點延拓評價標準[13]對該改進方法的延拓效果進行了對比分析。

2 經驗模態(tài)分解的基本原理

經驗模態(tài)分解方法從本質上講是對一個信號進行平穩(wěn)化處理，其結果是將信號中不同尺度的波動或趨勢逐級分解出來，產生一系列具有不同特征尺度的數(shù)據序列，每一個序列成為一個固有模態(tài)函數(shù)。對這些本征模函數(shù)進行希爾伯特變換便可得到信號的時頻譜圖，由此得到的譜圖能夠準確地反映出信號原有的特性，這些本征模態(tài)函數(shù)滿足如下兩個條件：

（1）其極值點和過零點的數(shù)目相等，或者最多相差一個；

（2）在任意點，由數(shù)據極大值和極小值構成的包絡線平均值為零。

經驗模態(tài)分解方法篩選信號的詳細過程[1]不再陳述，最終原始信號x(t)經過經驗模態(tài)分解，分解成n個基本模式分量 IMF1，IMF2，…，IMFn和一個殘余量rn：

其中，rn(t)為殘余函數(shù)，代表了信號的平均趨勢。各個基本模式分量分別包含了信號不同時間特征尺度大小的成分，其尺度依次由小到大[2]。因此，各分量也就相應地包含了從高到低不同頻率段的成分，每一個頻率段所包含的頻率成分都是不相同的，且隨信號本身的變化而變化。

3 抑制端點效應方法分析

3.1 鏡像延拓方法

鏡像延拓方法是在靠近端點的具有對稱性的極值點處各放置一面鏡子，則鏡中信號和原信號關于鏡子對稱，把原信號對稱地延拓成一個閉合環(huán)形信號，不存在端點，數(shù)據的上下包絡線完全由內部數(shù)據確定，從而從根本上避免了端點效應[6-7]。該方法要求把鏡面放在極值點且具有對稱性的位置上，由于通常信號的端點處不一定是極值點，這就要截去部分數(shù)據，所以對于短信號來說，這種方法不是很理想。

3.2 支持向量回歸機方法

支持向量回歸機的原理[11]是通過非線性映射Φ將數(shù)據x映射到高維特征空間F，并在這個特征空間進行線性回歸，即

式中，b是閾值，w是權系數(shù)，f(x)是回歸函數(shù)。因此，高維特征空間的線性回歸就和低維輸入空間的非線性回歸相對應了，可以用此非線性回歸函數(shù)來訓練樣本集D={(xi，yi)}，其中，i=1，2，…，n，xi∈ Rd，yi∈R ，其回歸的基本步驟如下：

（1）選擇適當?shù)膽土P參數(shù)和精度參數(shù)ε。

（2）選擇損失函數(shù) e(x，y，f)，定義經驗風險：

（3）選擇適當?shù)暮撕瘮?shù)：

優(yōu)化目標為：

構造拉格朗日函數(shù)為：

（5）構造回歸模型。將式（8）帶入式（2），得到的非線性支持向量回歸函數(shù)為：

建立回歸模型后，就可以對原始信號數(shù)據序列進行延拓，對延拓后的信號進行三次樣條插值求上下包絡線，可以包含全部的原始信號數(shù)據。但是，用此方法進行包絡擬合時，如果預測得到的極值點位置不精確，容易出現(xiàn)包絡線在端點處波動較大的情況。

3.3 基于鏡像延拓和SVR相結合的數(shù)據序列延拓方法

對數(shù)據序列延拓的目的不是為了給出原數(shù)據序列以外的準確數(shù)據，而是提供一種條件，使得包絡完全由端點以內的數(shù)據確定[14]。結合三次樣條插值的特點，重點是根據原始信號中極大（?。┲迭c序列的數(shù)據規(guī)律得到該序列在端點處的近似極大（?。┲迭c，以防止對極值點進行樣條插值得到的包絡線出現(xiàn)較大的擺動。因此，基本思想就是在每次平滑過程中必須正確地添加極值點的位置和幅值。

針對鏡像延拓方法和SVR方法的優(yōu)缺點，根據原始信號的極大值和極小值點處的幅值組成數(shù)據集，按式（9）建立SVR模型，并對極大值和極小值點序列進行預測，然后用鏡像延拓方法確定所預測極大值和極小值點的位置，一般是向左右兩端各預測兩個極大值和兩個極小值[14]。最后，利用三次樣條函數(shù)對新極值點序列進行插值，得到上下包絡線，三次樣條函數(shù)在端點處有值可依，避免了上下包絡線的擺動。

下面以向右延拓信號極大值點為例，說明端點延拓的步驟和方法。

（1）對原始信號進行預處理，取出信號的極大值點，組成極大值序列max（1），max（2），…，max（N），N為采樣點數(shù)。

（2）確定訓練樣本數(shù) p，按照采樣時間的先后順序產生一個訓練集 L={(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xp，yp)}，其中：

（3）按照SVR原理構造如式（9）所示的回歸模型，利用該回歸模型就可以得到向右預測的第一個極大值點max(N+1)，依次再進行預測第二個極大值點max(N+2)。

（4）按照鏡像延拓的方法，對稱延拓出極大值點序列的最右端兩個極大值點的延拓位置。

（5）對延拓后的數(shù)據進行三次樣條插值，依次進行信號分解。

對原始信號極小值點序列的延拓過程與此相同，不再贅述。

4 抑制端點效應評價標準

為了定性分析三種抑制端點效應方法性能的優(yōu)劣，引入以下六種評價標準[13]：

（1）分解層數(shù)n。對信號進行經驗模態(tài)分解時，分解的層數(shù)n越小（n不能小于原始信號所包含的信號分量數(shù)），說明得到的各個IMF分量越精確，包含的虛假分量越少，端點延拓效果越好。當n等于原始信號所包含的分量數(shù)時，分解效果最好。

（2）經驗模態(tài)分解前后的能量誤差η。能量誤差為：

式中，RMSi表示第i個IMF的均方根值，RMSo表示原始信號的均方根值，n表示IMF總個數(shù)。信號的邊際能量譜[15]描述了信號的能量隨頻率的分布情況，所以通過對比能量誤差η，可以評價端點效應的影響程度。由式（10）可知，η值越小，端點效應的影響越小，抑制端點效應的效果越好。

（3）殘余信號強度τ。原始信號經過經驗模態(tài)分解后，得到的殘余信號rn強度越小，說明分解效果越好，也即端點效應的抑制效果越好。殘余信號強度為：

式中，RMSrn表示殘余信號的均方根值，RMSo表示原始信號的均方根值。

（4）經驗模態(tài)分解后的各分量信號與對應的原始信號分量之間的相似系數(shù)ρj。相似系數(shù)為：

式中，xj表示原信號第 j個分量，IMFj表示第 j個基本模式分量，σ(·)表示方差，cov(·)表示協(xié)方差。經驗模態(tài)分解的端點效應使信號的各分量分解不準確，相似系數(shù)ρj可以從信號相似度的角度來評價端點效應的影響程度。由式（12）可知，當 ρj值越大時，抑制端點效應的效果越好。

（5）經驗模態(tài)分解后各分量信號與對應的原始信號分量之間的平均相對誤差e_IMFj。平均相對誤差為：

式中，N表示采樣點數(shù)，xj(t)表示原信號第 j個分量，IMFj(k)表示第 j個基本模式分量。平均相對誤差e_IMFj反映了各分量的波動情況。由式（13）可知，當e_IMFj越小時，包絡擬合線在端點處的波動越小，抑制端點效應的效果越好。

（6）算法的運行時間t。運行時間t越少，說明算法的實時性越好。

5 仿真分析

為了分析不同延拓方法對經驗模態(tài)分解端點效應的抑制效果，用如下信號作仿真研究。仿真信號表達式如下：

該信號是由基頻為30 Hz、調制頻率為15 Hz的調頻調幅信號和一個頻率為120 Hz的正弦信號疊加而成。采樣頻率為1000 Hz，采樣點數(shù)為500點，用 x1(t)表示頻率為120 Hz的正弦分量，x2(t)表示調頻調幅分量。

仿真信號x(t)未經端點延拓直接進行經驗模態(tài)分解的結果如圖1所示，圖中顯示了經驗模態(tài)分解得到的各個基本模式分量，IMF1對應原始信號分量x1(t)，IMF2對應原始信號分量x2(t)。從圖1中可以看出，IMF1和IMF2兩端均在不同程度上出現(xiàn)了端點效應，而且還產生了IMF3、IMF4、IMF5和 IMF6等四個虛假基本模式分量。

圖1 原始信號端點未經處理的經驗模態(tài)分解結果

用三種延拓方法進行端點延拓后，經驗模態(tài)分解結果如圖2～4所示。為了突出延拓效果，選取前100個采樣點進行放大顯示，并與原始信號所包含的兩個分量x1(t)和x2(t)進行對比，圖中黑色實線代表原始分量信號，紅色實線代表分解信號。

圖2 采用鏡像延拓方法的經驗模態(tài)分解結果

圖3 采用SVR方法的經驗模態(tài)分解結果

表1 三種端點延拓方法評價標準

圖4 采用改進方法的經驗模態(tài)分解結果

從圖2～4可以看出，上述三種延拓方法對端點效應都有一定抑制效果，但是采用本文提出的改進方法得到的模式分量和對應的原始信號分量更接近，說明其端點延拓效果好于前兩種方法。

對上述三種方法用本文中給出的評價標準進行對比分析，結果如表1所示。

從表1中可知，本文提出的改進方法在相似系數(shù)、分解誤差、能量誤差、殘余信號強度、分解層數(shù)和運行時間六個方面都比其他兩種方法的延拓效果要好，其相似系數(shù)非常高，分解誤差非常小，而且分解層數(shù)恰好和原始信號包含的分量數(shù)相等。因此，改進的端點延拓方法能更好地抑制經驗模態(tài)分解產生的端點效應。

6 結束語

本文提出了鏡像延拓和SVR相結合的經驗模態(tài)分解端點延拓改進方法，通過理論和仿真分析，并采用端點延拓評價標準進行分析與對比，實驗結果表明，本文提出的改進方法精度高、誤差小、運行時間短，其抑制端點效應的效果優(yōu)于傳統(tǒng)的鏡像延拓方法和SVR方法。采用該改進的端點延拓方法有利于提高經驗模態(tài)分解的準確性，有利于信號特征提取。

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