翟靜董蓮 陸福敏張樹(shù)生

Zhai Jing1,2 Dong Lian2 Lu Fumin2 Zhang Shusheng1

1.中國(guó)計(jì)量學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，浙江 杭州 310018

2.上海市計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究院，上海 201203

1. College of Electrical and Mechanical Engineering China Jiliang University Hangzhou 310018;

2. Shanghai Institute of Measurement and Test Technology, Shanghai 201203

1 引言

原子鐘廣泛應(yīng)用于守時(shí)系統(tǒng)或衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，基于完好性，這些系統(tǒng)均需要對(duì)原子鐘進(jìn)行檢測(cè)，然而在原子鐘運(yùn)行過(guò)程中，任何測(cè)量比對(duì)系統(tǒng)可能會(huì)由于外界因素造成測(cè)量數(shù)據(jù)的突變，如外電系統(tǒng)突然斷電、鐘失鎖或比對(duì)系統(tǒng)故障等，導(dǎo)致系統(tǒng)采集的數(shù)據(jù)不完全反映原子鐘的性能。因此，在利用比對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)間尺度的計(jì)算前必須對(duì)其進(jìn)行分析，檢測(cè)并修正錯(cuò)誤或丟失的數(shù)據(jù)。目前。常用的修正方法就是考慮原子鐘過(guò)去數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，利用二次多項(xiàng)式模型進(jìn)行修正[1]，盡管能夠預(yù)報(bào)丟失的數(shù)據(jù)，但隨著丟失數(shù)據(jù)點(diǎn)的增多，預(yù)報(bào)誤差逐漸增大，預(yù)報(bào)精度降低。

本文利用灰色模型對(duì)原子鐘丟失數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)并修正，盡管預(yù)報(bào)的時(shí)差數(shù)據(jù)精度較二次多項(xiàng)式模型有所提高，但仍不理想。通過(guò)對(duì)二次多項(xiàng)式模型和灰色模型的預(yù)報(bào)殘差分析，建立了兩種組合模型來(lái)對(duì)原子鐘丟失的時(shí)差數(shù)據(jù)進(jìn)行修正。

2 數(shù)學(xué)模型

理想情況下,原子鐘的時(shí)差模型主要由初始相位偏差、初始頻率偏差和線性漂移三部分組成.在實(shí)際應(yīng)用中,時(shí)間偏差 x(t)的數(shù)學(xué)模型用下式表示[2]:

其中 x0為原子鐘的初始相位偏差, y0為原子鐘的初始頻率偏差,D為原子鐘的線性漂移,為原子鐘隨機(jī)噪聲所引起的變化量。

2.1 二次多項(xiàng)式模型

由式2.1知，原子鐘讀數(shù)T和系統(tǒng)時(shí)間t之間的關(guān)系可以用一個(gè)二次多項(xiàng)式表示[2]：

其中a0、a1和a2分別是t0時(shí)刻原子鐘相對(duì)于系統(tǒng)時(shí)間t的鐘差、鐘速(頻差)和半加速度(頻率漂移的一半)。

設(shè)相對(duì)于時(shí)間 t1，t2,…,tn，觀測(cè)誤差為 e，根據(jù)式2.2可建立誤差方程

根據(jù)最小二乘估計(jì)原則，記

由最小二乘原理得估計(jì)值

采用二次多項(xiàng)式模型進(jìn)行丟失數(shù)據(jù)修正，其實(shí)質(zhì)是利用過(guò)去數(shù)據(jù)，通過(guò)最小二乘法擬合后的曲線預(yù)測(cè)缺失點(diǎn)數(shù)值，但由于僅依賴過(guò)去數(shù)據(jù)變化的特點(diǎn)，未考慮公式 2.1中隨機(jī)誤差項(xiàng)會(huì)造成丟失點(diǎn)數(shù)據(jù)的實(shí)際應(yīng)測(cè)值逐漸偏離擬合曲線，使得隨著丟失數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的增加，預(yù)測(cè)誤差逐漸積累，修正精度越來(lái)越差。

2.2 GM(1,1) 灰色模型

GM(1,1)灰色模型是將原子鐘時(shí)差的變化過(guò)程看做一個(gè)隨時(shí)間變化的灰色過(guò)程[3][4]，它由只包含單變量的一階微分方程構(gòu)成，適用于對(duì)本身數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)[5]。

即GM(1,1)模型，其解為：

式中：k為時(shí)間序列，a為發(fā)展灰度，u為內(nèi)生控制灰度。

式中：B為數(shù)據(jù)陣；YN為數(shù)據(jù)列,B和YN的表示如下：

則最終預(yù)測(cè)值如下所示

2.3 組合模型

針對(duì)二次多項(xiàng)式模型的缺陷，筆者提出了兩種組合模型來(lái)進(jìn)行時(shí)差的預(yù)報(bào)和修正，兼顧考慮了丟失點(diǎn)前后數(shù)據(jù)列的變化特點(diǎn)，減小隨機(jī)誤差項(xiàng)對(duì)丟失點(diǎn)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的影響。

設(shè)m為丟失數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，2n為參與修正的實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，算法流程如圖1所示。設(shè)Δt?為丟失數(shù)據(jù)初次建模后估值，為其二次建模后預(yù)估值，為最終預(yù)報(bào)值。

圖1 組合模型算法流程

2.3.1 組合模型1

對(duì)于組合模型1，前向數(shù)據(jù)采用二次多項(xiàng)式模型建模，并對(duì)丟失點(diǎn)數(shù)據(jù)和后項(xiàng)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，其中丟失點(diǎn)的預(yù)測(cè)值滿足如下公式：

利用后項(xiàng)數(shù)據(jù)的預(yù)報(bào)值與其實(shí)際觀測(cè)值的殘差建立二次多項(xiàng)式模型，對(duì)丟失點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，其預(yù)測(cè)值滿足如下公式：

因此丟失點(diǎn)最終預(yù)測(cè)值itδ為：

式中i=n+1,n+2,…,n+m。

2.3.2 組合模型2

對(duì)于組合模型2，前向數(shù)據(jù)采用灰色模型建模，對(duì)丟失點(diǎn)數(shù)據(jù)和后項(xiàng)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，其中丟失點(diǎn)的預(yù)測(cè)值滿足如下公式：

利用后項(xiàng)數(shù)據(jù)的預(yù)報(bào)值與其實(shí)際觀測(cè)值的殘差建立二次多項(xiàng)式模型，對(duì)丟失點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，其預(yù)測(cè)值滿足如下公式：

因此丟失點(diǎn)最終預(yù)測(cè)值jtδ為：

式中j=n+1,n+2,…,n+m。

3 算例分析

本文采用兩臺(tái)銫原子鐘與主鐘的小時(shí)差比對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。丟失點(diǎn)的前向數(shù)據(jù)和后項(xiàng)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度可根據(jù)條件設(shè)定，當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)較少時(shí)，進(jìn)行建模的信息點(diǎn)較少，預(yù)測(cè)精度較差，當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)較多時(shí)，預(yù)測(cè)精度高，但要求對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的觀測(cè)。為驗(yàn)證四種模型的優(yōu)劣，前向數(shù)據(jù)和后項(xiàng)數(shù)據(jù)分別采用48小時(shí)的時(shí)差數(shù)據(jù)。由于在守時(shí)系統(tǒng)中，丟失點(diǎn)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)超過(guò)10個(gè)時(shí)(即10小時(shí)數(shù)據(jù))，此鐘將不再參與地方原子時(shí)的計(jì)算[7]，因此假設(shè)丟失8小時(shí)數(shù)據(jù)。

測(cè)試方案：方案1：用二次多項(xiàng)式模型對(duì)丟失點(diǎn)預(yù)測(cè)；方案2：利用灰色模型對(duì)丟失點(diǎn)預(yù)測(cè)；方案三：利用組合模型1對(duì)丟失點(diǎn)預(yù)測(cè)；方案四：利用組合模型2對(duì)丟失點(diǎn)預(yù)測(cè)。比較結(jié)果如表1和圖2、圖3所示。

表1 四種模型對(duì)丟失點(diǎn)預(yù)報(bào)殘差的比較(單位：ns)

圖2 利用四種模型預(yù)測(cè)原子鐘Cs1丟失數(shù)據(jù)點(diǎn)

圖3 利用四種模型預(yù)測(cè)原子鐘Cs2丟失數(shù)據(jù)點(diǎn)

通過(guò)以上算例可以分析出：

(1) 如圖2所示，當(dāng)原子鐘丟失點(diǎn)的前向數(shù)據(jù)上下波動(dòng)性較強(qiáng)時(shí)，所建模型受局部波動(dòng)影響較大，因此原子鐘Cs1采用二次多項(xiàng)式模型和灰色模型都無(wú)法精準(zhǔn)的預(yù)測(cè)丟失數(shù)據(jù)，誤差較大。如圖3所示，當(dāng)前向數(shù)據(jù)規(guī)律性較強(qiáng)、波動(dòng)不大時(shí)，原子鐘Cs2采用二次多項(xiàng)式模型和灰色模型能夠較好的預(yù)報(bào)丟失數(shù)據(jù)，其中灰色模型的預(yù)測(cè)精度高于二次多項(xiàng)式，這表明灰色模型更適合于對(duì)上下波動(dòng)不大的數(shù)據(jù)建模；

(2)采用兩種組合模型進(jìn)行預(yù)報(bào)時(shí)，能取得較高的預(yù)報(bào)精度，優(yōu)于二次多項(xiàng)式模型：對(duì)于Cs1而言，采用兩種組合模型，其預(yù)測(cè)精度較二次多項(xiàng)式模型和灰度模型均提高了一個(gè)數(shù)量級(jí)，對(duì)于Cs2而言，兩種組合模型的預(yù)測(cè)精度較二次多項(xiàng)式模型有所提高；

(3)對(duì)于兩種組合模型而言，對(duì)前項(xiàng)數(shù)據(jù)選擇何種模型需要考慮數(shù)據(jù)本身的變化特性，對(duì)變化平穩(wěn)、規(guī)律性較強(qiáng)的數(shù)據(jù)建模時(shí)，應(yīng)選擇組合模型2，而當(dāng)前向數(shù)據(jù)上下波動(dòng)性較強(qiáng)時(shí)，應(yīng)選擇組合模型1進(jìn)行丟失數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)并修正。

4 結(jié)束語(yǔ)

二次多項(xiàng)式模型預(yù)報(bào)丟失數(shù)據(jù)具有很大的弊端，而采用灰色模型進(jìn)行預(yù)報(bào)并修正時(shí)，盡管精度有一定程度的提高，但仍不理想，這主要是沒(méi)能充分利用系統(tǒng)信息，忽視了丟失點(diǎn)后項(xiàng)時(shí)差序列的變化趨勢(shì)和原子鐘隨機(jī)誤差影響導(dǎo)致，而采用兩種組合模型預(yù)測(cè)，兼顧考慮了丟失數(shù)據(jù)前后的時(shí)差序列變化趨勢(shì)，能夠取得較高的精度，因此，在原子鐘數(shù)據(jù)分析中具有一定的實(shí)用性。

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