劉 嶼， 翁 軒， 吳忻生， 劉偉東

(華南理工大學(xué)自動化科學(xué)與工程學(xué)院，廣東 廣州 510640)

引 言

軸向移動結(jié)構(gòu)被廣泛的應(yīng)用于高速高精度電子制造裝備。然而裝備中軸向移動結(jié)構(gòu)的彈性變形將產(chǎn)生振動現(xiàn)象，振動則是在時間和空間尺度方面都將直接制約裝備的生產(chǎn)性能[1，2]。因此，如何快速地消除精密電子制造裝備中軸向移動結(jié)構(gòu)的振動現(xiàn)象，已成為制約精密電子制造，特別是集成電路(IC)封裝工序的瓶頸問題。

軸向移動結(jié)構(gòu)是一類具有強(qiáng)耦合、非線性和無窮維的典型分布參數(shù)系統(tǒng)，因此對其控制策略設(shè)計具有很大的難度，傳統(tǒng)的控制方法大多采用降階模型進(jìn)行控制設(shè)計，但僅對幾個關(guān)鍵模態(tài)進(jìn)行控制時，未建模高頻模態(tài)有可能導(dǎo)致溢出效應(yīng)，從而影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性;同時若需提高控制精度，則控制器階數(shù)也將隨柔性模態(tài)的增加而增加，因此從工程角度很難實(shí)現(xiàn)[3，4]。邊界控制因其能避免控制溢出和易構(gòu)造Lyapunov函數(shù)等獨(dú)特優(yōu)勢而非常適合柔性結(jié)構(gòu)的振動主動控制[5～7]。近年在軸向移動結(jié)構(gòu)振動控制方面的研究成果將邊界控制、自適應(yīng)和Lyapunov直接法等相結(jié)合[8～11]，基于結(jié)構(gòu)無限維模型直接進(jìn)行振動主動控制設(shè)計，取得較好效果并避免了溢出問題。然而，目前國內(nèi)外研究成果都假設(shè)軸向移動結(jié)構(gòu)的運(yùn)動為勻速運(yùn)動，這顯然只考慮了其中最為簡單的運(yùn)動方式，因?yàn)榻^大多數(shù)軸向移動結(jié)構(gòu)的運(yùn)動不僅是變速運(yùn)動，通常還是大加減速和高速運(yùn)動，結(jié)構(gòu)具有很強(qiáng)的幾何非線性特性[12]。因此，目前國內(nèi)外關(guān)于軸向移動結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型以及振動主動控制方法都很難適用于大加減速軸向移動結(jié)構(gòu)的振動控制。

傳統(tǒng)的直線/指數(shù)加減速在系統(tǒng)啟動和結(jié)束時存在加速度突變，易產(chǎn)生沖擊，柔度差。而S曲線加減速通過對啟動階段加速度的衰減來保證電機(jī)的性能和減小沖擊，具有較好的柔度，因此在高速高精密電子制造裝備中得到廣泛的應(yīng)用。表面貼裝技術(shù)(SMT)中的軸向移動結(jié)構(gòu)具有典型的大加減速特征，其最大加速度通常達(dá)到5g以上(g為重力加速度)，其結(jié)構(gòu)振動呈現(xiàn)出復(fù)雜的動態(tài)特性。本文以作者所在團(tuán)隊(duì)自主研發(fā)SMT中軸向移動結(jié)構(gòu)為研究對象，建立其包含結(jié)構(gòu)幾何非線性特性的動力學(xué)模型，并基于該無限維分布參數(shù)模型，采用Lyapunov直接法和S曲線加減速法，設(shè)計邊界控制算法對大加減速軸向移動系統(tǒng)的振動進(jìn)行主動控制，從而抑制其振動，提高裝備的加工精度。其后基于設(shè)計的控制算法，證明了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和一致有界性。最后給出了所設(shè)計控制器的有效性和可靠性仿真研究結(jié)果。

1 軸向移動系統(tǒng)動力學(xué)模型

在本文中，做如下簡寫假設(shè)：φ(·)(x,t)=(·), (·)x=?(·)/?x, (·)t=?(·)/?t。

圖1 貼片機(jī)(SMT)中典型的軸向移動系統(tǒng)

圖1為SMT中典型軸向移動系統(tǒng)。坐標(biāo)系原點(diǎn)O位于其左輪端，借鑒文獻(xiàn)[13]的處理方式，將整個軸向移動結(jié)構(gòu)劃分為控制段L和未控制段L1，控制輸入U(t)作用于控制段L的右端，且方向向上，未控制段的振動對控制系統(tǒng)的影響視為末端擾動d(t)作用于控制器，w(x,t)為t時刻在軸向移動結(jié)構(gòu)位置x處的偏移量。

軸向移動系統(tǒng)的運(yùn)動方程可由廣義Hamilton原理表示為[14]

(1)

式中δ為變分操作符，t1和t2為兩時刻，t1

軸向移動結(jié)構(gòu)的動能Ek可表示為

(2)

式中m為結(jié)構(gòu)單位長度質(zhì)量，速度v(即v(t))為

v=v0+at

(3)

式中v0為初始速度，a(即a(t))為加速度。

軸向移動結(jié)構(gòu)的勢能Ep可表示為

(4)

式中 結(jié)構(gòu)的變張力T可表示為[10]

(5)

式中 常數(shù)T0為結(jié)構(gòu)未擾動情況下的張力。

描述位移-應(yīng)變關(guān)系的ε可表示為

(6)

結(jié)構(gòu)右邊界非保守力所做虛功δWc可表示為

(7)

式中 常數(shù)c為軸向移動結(jié)構(gòu)的粘性阻尼系數(shù)，U和d分別為U(t)和d(t)的簡寫。

結(jié)構(gòu)右邊界處的虛擬動量δWb可表示為

δWb=mv[wt(L,t)+vwx(L,t)]δw(L,t)

(8)

將式(2)，(4)，(7)和(8)帶入式(1)中，并應(yīng)用變分和分部積分可得軸向移動系統(tǒng)的控制方程

2mvwxt+mv2wxx+cwt+cvwx=0

(9)

其中?(x,t)∈(0,L)×[0, +∞)。

則軸向移動系統(tǒng)的邊界條件為

(10)

其中?t∈[0, +∞)。

假設(shè)1對于結(jié)構(gòu)運(yùn)動速度v(t)、加速度a(t)和末端擾動d(t)，若存在常數(shù)a1,a2,a3∈R+，使得0≤v(t)≤a1, |a(t)|≤a2, |d(t)|≤a3, ?t∈[0,+∞)。該假設(shè)是合理的，因?yàn)関(t)和d(t)為具有有限能量的連續(xù)函數(shù)，因此它們是有界的[8～10]。

2 控制器設(shè)計

為了抑制軸向移動結(jié)構(gòu)因末端未知擾動引起的振動，本文利用Lyapunov直接法在結(jié)構(gòu)右邊界構(gòu)造一個邊界控制器，通過控制器的控制作用減小軸向移動結(jié)構(gòu)的振動偏移量。

2.1 預(yù)備知識

引理1若φ1(x,t),φ2(x,t)∈R,σ>0其中x∈[0,L],t∈[0, +∞)，則有[5～7]

(11)

引理2若φ(x,t)∈R為在(x,t)∈[0,L]×[0, +∞)的函數(shù)，且滿足邊界條件[5～7]

φ(0,t)=0, ?t∈[0,+∞)

(12)

則有

(13)

2.2 邊界控制器

若取Lyapunov函數(shù)為

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)

(14)

其中能量項(xiàng)V1(即V1(t))為

(15)

其中交叉項(xiàng)V2(即V2(t))為

(16)

其中附加項(xiàng)V3(即V3(t))為

(17)

其中γ,λ,k2,k3>0。

引理3由式(14)定義的Lyapunov函數(shù)具有如下上下界

0≤?1(V1+V3)≤V≤?2(V1+V3)

(18)

其中?1,?2>0。

證應(yīng)用不等式(11)～(13)，由式(16)可得

(19)

將上不等式改寫為

-ξV1≤V2≤ξV1

(20)

若適當(dāng)?shù)倪x取ξ，可以得到

(21)

將不等式(21)分別帶入式(20)可得

0<ξ1V1≤V1+V2≤ξ2V1

(22)

結(jié)合Lyapunov函數(shù)式(14)，由式(22)可得

0≤?1(V1+V3)≤V≤?2(V1+V3)

(23)

其中?1=min[ξ1, 0.5(λk2+γk3)]>0，?2=max[ξ2, 0.5(?k2+?k3)]>0。證畢。

引理4由式(14)定義的Lyapunov函數(shù)的時間導(dǎo)數(shù)具有如下上界

Vt≤-?V+ε

(24)

其中?,ε>0，V為V(t)簡寫。

證將式(14)對時間求導(dǎo)有

Vt=V1t+V2t+V3t

(25)

其中由式(15)可得

V1t=A1+A2+A3+A4

(26)

將式(9)帶入A1的表達(dá)式，并應(yīng)用分部積分得

(27)

對A2和A3的表達(dá)式進(jìn)行分部積分可得

(28)

將式(27)～(28)和A4的表達(dá)式帶入式(26)中，再結(jié)合系統(tǒng)邊界條件式(10)和不等式(11)～(13)有

(29)

式中δ1為任意正常數(shù)。

將式(16)對時間求導(dǎo)可得

V2t=B1+B2+B3

(30)

對式B1進(jìn)行分部積分可得

(31)

將式(9)帶入B2的表達(dá)式，并應(yīng)用分部積分可得

(32)

將式(31)～(32)和B3代入式(30)，并結(jié)合系統(tǒng)邊界條件式(10)和不等式(11)～(13)有

(33)

式中δ2,δ3,δ4,δ5為任意正常數(shù)。

將式(17)對時間求導(dǎo)可得

V3t=(λk2+γk3)w(L,t)wt(L,t)

(34)

分別將式(29)，(33)～(34)帶入式(25)中可得

(λk2+γk3)w(L,t)wt(L,t)+λdw(L,t)+

(35)

若設(shè)計邊界控制器為

U=-k1wx(L,t)-k2wt(L,t)-k3w(L,t)

(36)

式中k1為正的比例系數(shù)。

將邊界控制器(36)帶入式(35)，并結(jié)合不等式(11)～(13)有

-?3(V1+V3)+ε

(37)

式中δ6,δ7為任意正常數(shù)。當(dāng)選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)值γ,λ,k1～k3,δ1～δ7滿足如下條件：

τ6=γc+λm-λcδ4-2λmaδ5>0,τ7=2λc+γc-λm>0,τ8=2γc+2λc-2λm>0,

λdw(L,t)+γdwt(L,t)|，

由不等式(37)和不等式(23)可得

Vt≤-?V+ε,

(38)

其中?=(?3/?2)。證畢。

邊界控制器式(36)中的w(L,t)和wx(L,t)可分別由位移和傾角傳感器測得，由w(L,t)后向差分算法計算可得到wt(L,t)。此控制器設(shè)計不需知道擾動量的精確模型，因此對系統(tǒng)參數(shù)的變化具有穩(wěn)定魯棒性。

2.3 穩(wěn)定性分析

定理1由式(9)～(10)所描述的大加減速軸向移動系統(tǒng)，在假設(shè)1條件和控制器式(36)作用下有:

1) 一致有界：閉環(huán)軸向移動結(jié)構(gòu)的振動偏移狀態(tài)量w(x,t)∈R一致包含于緊集Ω1中

Ω1∶={|w(x,t)|≤χ1}

(39)

2) 一致最終有界：閉環(huán)軸向移動結(jié)構(gòu)的振動偏移狀態(tài)量w(x,t)∈R最終收斂于緊集Ω2中

(40)

證對式(38)乘以e?t，可得

(41)

對上述不等式積分得

(42)

其中上式表明V有界。

由不等式(13)、等式(15)和不等式(18)可得

(43)

重排不等式(43)，并將式(42)帶入有

(44)

其中?(x,t)∈[0,L]×[0, +∞)，則進(jìn)一步可得

(45)

由式(44)和(45)可知定理1得以證明。證畢。

3 仿真分析

本節(jié)數(shù)值仿真研究軸向移動系統(tǒng)在擾動作用下的振動情況,并驗(yàn)證所設(shè)計邊界控制算法式(38)的有效性。圖2給出了本文所使用的S曲線加減速法示意圖, 表1為軸向移動系統(tǒng)的詳細(xì)參數(shù)。

圖2 S曲線加減速法示意圖

圖中amax=3.5g，g為重力加速度，時間坐標(biāo)為[t1,t2,t3,t4,t5,t6,t7]=[1, 2, 3, 7, 8, 9, 10]。

表1 軸向移動系統(tǒng)參數(shù)

軸向移動系統(tǒng)的初始條件為

w(x,0)=wt(x,0)=0

(46)

末端擾動d(t)為

(47)

當(dāng)選擇邊界控制器參數(shù)k1=k2=k3=1×107, 圖3～6給出了數(shù)字仿真結(jié)果，其中圖3為軸向移動結(jié)構(gòu)分別在有、無控制作用下的振動偏移量，圖4則具體給出了結(jié)構(gòu)中部(x=0.5 m)和右端處(x=1 m)的振動偏移圖，圖5給出了在邊界控制作用下，結(jié)構(gòu)中部和右端處的振動偏移對比圖, 圖6則給出的是邊界控制輸入。由上述仿真結(jié)果可得出如下結(jié)論：

1)由仿真結(jié)果圖3，4可知，當(dāng)邊界控制輸入作用于大加減軸向移動結(jié)構(gòu)后，結(jié)構(gòu)的振動偏移量都有數(shù)千倍的減少，驗(yàn)證了本文設(shè)計的邊界控制算法對抑制結(jié)構(gòu)的振動是非常有效的；

2)由仿真結(jié)果圖4，5可知，雖然在軸向移動結(jié)構(gòu)中部(x=0.5 m)處未布置邊界控制器，但在邊界控制輸入作用下，結(jié)構(gòu)中部的振動也有非常顯著的減小，體現(xiàn)了邊界控制技術(shù)在柔性結(jié)構(gòu)振動控制方面的獨(dú)特優(yōu)勢；

圖3 軸向移動結(jié)構(gòu)偏移量

圖4 軸向移動結(jié)構(gòu)偏移量

圖5 控制作用下軸向移動結(jié)構(gòu)偏移量

3)由仿真結(jié)果圖4，5可知，因?yàn)榇蠹訙p速的改變直接沖擊軸向移動結(jié)構(gòu)速度和動力學(xué)特性，從而影響結(jié)構(gòu)的振動偏移量，特別在t=2 s和t=7 s左右尤為明顯。

4) 由仿真結(jié)果圖6可知，邊界控制輸入范圍為2.5～4 N，而負(fù)值表示控制作用力與外部干擾方向相反。

5) SMT中軸向移動結(jié)構(gòu)振動的有效控制，將直接減小結(jié)構(gòu)振動幅值，對提高制造裝備特別是精密電子制造裝備的加工精度具有十分重要意義。

圖6 邊界控制輸入

4 結(jié) 論

本文研究了具有大加減速軸向移動結(jié)構(gòu)在外部干擾作用下的振動主動控制問題?；诮Y(jié)構(gòu)幾何非線性特性和Hamilton原理建立了結(jié)構(gòu)無窮維分布參數(shù)模型，采用Lyapunov直接方法，在結(jié)構(gòu)右邊界設(shè)計了邊界控制器用以抑制結(jié)構(gòu)振動，仿真結(jié)果表明研究取得很好的結(jié)構(gòu)振動控制效果。本文所設(shè)計邊界控制器除了能避免控制溢出問題，還具有較強(qiáng)的魯棒性。利用Lyapunov直接法對控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和有界性給予了驗(yàn)證。本文研究成果對精密電子制造裝備中大加減速軸向移動結(jié)構(gòu)的振動控制具有理論和實(shí)際指導(dǎo)意義。

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