●王紅

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)合：?jiǎn)栴}與路徑

●王紅

數(shù)學(xué)史不但可以為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供相應(yīng)的數(shù)學(xué)材料，也可以為教學(xué)提供啟示與指導(dǎo)。但目前教師數(shù)學(xué)史素養(yǎng)不足，數(shù)學(xué)史的滲透浮于表面，不能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維過(guò)程，使得數(shù)學(xué)史的教育不能起到良好的效果。數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)合應(yīng)強(qiáng)調(diào)史料的局部探究、探究性作業(yè)中數(shù)學(xué)史料的融入及實(shí)驗(yàn)共同體的反饋與修正等問(wèn)題。

數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)史；探究取向

1972年，第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上成立了一個(gè)專門研究數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間關(guān)系的組織——HPM（HistoryandPedagogyofMathematics）。該組織的成立充分體現(xiàn)了在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史的重要性。HPM研究的最終目的是通過(guò)數(shù)學(xué)史的運(yùn)用,提高數(shù)學(xué)教育的水平。例如，該組織十分強(qiáng)調(diào)探究式的學(xué)習(xí)，認(rèn)為教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的工作。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的關(guān)系進(jìn)行了一系列的研究，諸如對(duì)荷蘭數(shù)學(xué)教育家漢斯·弗賴登塔爾的HPM思想進(jìn)行深入研究，并充分挖掘了其“再創(chuàng)造”的思想；再如，探討托普利茨·克萊因等諸多數(shù)學(xué)家的發(fā)生教學(xué)法思想，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)影響的研究；一些學(xué)者也在數(shù)學(xué)史教育價(jià)值的實(shí)踐探索及數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教材的編寫等方面作了深入研究。本文僅就數(shù)學(xué)教育史在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行探討，以期發(fā)揮數(shù)學(xué)史的最大教育價(jià)值。

一、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)合中存在的主要問(wèn)題

（一）教師數(shù)學(xué)史素養(yǎng)不足，影響了數(shù)學(xué)史教育功能的發(fā)揮

數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教師專業(yè)知識(shí)的發(fā)展，而對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史發(fā)展過(guò)程的理解是教師專業(yè)知識(shí)的重要組成部分。數(shù)學(xué)史素養(yǎng)成為數(shù)學(xué)教師必備的素養(yǎng)之一，具備數(shù)學(xué)史知識(shí)的數(shù)學(xué)教師才能夠更好地架起學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的橋梁，因此數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)史教育理應(yīng)備受關(guān)注。但是，由于種種原因，數(shù)學(xué)教師重視數(shù)學(xué)知識(shí)和教學(xué)技能的養(yǎng)成，卻對(duì)數(shù)學(xué)史的知識(shí)熱情不足，這在很大程度上影響了數(shù)學(xué)史教育功能的發(fā)揮。

（二）數(shù)學(xué)史的滲透浮于表面，不能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維過(guò)程

目前，數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中數(shù)學(xué)史的融入存在“高呼聲，低實(shí)踐”的現(xiàn)象，有的只是為了用而用，并沒(méi)有實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史教學(xué)的教學(xué)價(jià)值。例如，有的數(shù)學(xué)史只是偶爾提及數(shù)學(xué)家故事，單純利用數(shù)學(xué)家的經(jīng)歷等來(lái)增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心；有的人認(rèn)為，一提數(shù)學(xué)是就應(yīng)該看到人物、年代、史實(shí)等，而把數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程排除在數(shù)學(xué)史之外。

歷史發(fā)生原理為數(shù)學(xué)史運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)提供了重要的教學(xué)啟示。個(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知發(fā)展過(guò)程與該概念的歷史發(fā)展過(guò)程相似。[1]這種基于數(shù)學(xué)史的“探究取向”的教學(xué)，便是利用數(shù)學(xué)史，在數(shù)學(xué)概念發(fā)展過(guò)程中的探索過(guò)程及數(shù)學(xué)思想方法形成過(guò)程，數(shù)學(xué)命題的解決過(guò)程等引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維。

弗賴登塔爾對(duì)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的研究，也體現(xiàn)了“再創(chuàng)造”的思想。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念、公理及數(shù)學(xué)語(yǔ)言符號(hào)等，包括數(shù)學(xué)問(wèn)題解決，不應(yīng)機(jī)械地灌輸給學(xué)生，或僅是由結(jié)果出發(fā)，推導(dǎo)出其他知識(shí)的方式，這種顛倒的教學(xué)法掩蓋了創(chuàng)造的思維過(guò)程，即學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不應(yīng)該去重復(fù)人類的學(xué)習(xí)過(guò)程，而應(yīng)進(jìn)行“再創(chuàng)造”。這種教學(xué)使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造數(shù)學(xué)的過(guò)程，學(xué)生在接受這種再創(chuàng)造的學(xué)習(xí)活動(dòng)的同時(shí)，其實(shí)也在進(jìn)行著探究性活動(dòng)。當(dāng)然這種再創(chuàng)造，是有指導(dǎo)的再創(chuàng)造，在教學(xué)過(guò)程中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)著力于發(fā)揮其主導(dǎo)作用，對(duì)數(shù)學(xué)史料進(jìn)行“再創(chuàng)造”，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)探究發(fā)現(xiàn)的“歷史重演”過(guò)程，充分體現(xiàn)其“探究取向”。

二、實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史教育功能的路徑

（一）數(shù)學(xué)史素材的選取

充分挖掘數(shù)學(xué)史知識(shí)來(lái)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容，可以更好地為學(xué)生提供更廣的視角和更寬闊的思路，在分析教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)要求的基礎(chǔ)上，尋找有關(guān)的數(shù)學(xué)史素材，而數(shù)學(xué)史料的選擇，要以探究為取向。

針對(duì)研究課題，要明確其教學(xué)目標(biāo)及要求，數(shù)學(xué)史料的引入具體在什么地方，以什么樣的方式來(lái)引入，以此來(lái)整理數(shù)學(xué)史料，做好教學(xué)設(shè)計(jì)，將其精髓融合到數(shù)學(xué)教學(xué)中，在教學(xué)過(guò)程中還原真實(shí)的數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生體會(huì)到最原始的數(shù)學(xué)發(fā)展，而不是來(lái)談數(shù)學(xué)史，達(dá)到學(xué)生對(duì)研究課題進(jìn)行探究的目的。比如在講授一些數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)名詞的由來(lái)時(shí)，其稱謂往往與內(nèi)涵沒(méi)有任何關(guān)系，是分離的，這就需要我們要去了解關(guān)于數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)的由來(lái)，了解歷史有助于加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于這些數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，也能增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探究欲望，從而改變學(xué)生消極數(shù)學(xué)觀的狀態(tài)。

（二）基于史料的局部探究

數(shù)學(xué)教師確定所選的數(shù)學(xué)史料后，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)與史料有關(guān)的問(wèn)題情境，使學(xué)生對(duì)于這些問(wèn)題產(chǎn)生強(qiáng)烈的探究欲望，以達(dá)到教學(xué)過(guò)程中探究的需要。然而，對(duì)于這種探究式教學(xué)并不是針對(duì)所有所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行探究，而是基于史料的局部探究。即是我們要明確數(shù)學(xué)史料是為教學(xué)服務(wù)的，探究的目的重在探究的過(guò)程和取得的成效，因此對(duì)一些知識(shí)的講授，有些環(huán)節(jié)需要實(shí)行“探究取向”的HPM教學(xué)，對(duì)于一些簡(jiǎn)單的知識(shí)，采用一般的教學(xué)方式即可，無(wú)需用探究占用時(shí)間的長(zhǎng)短來(lái)衡量。

（三）探究性作業(yè)中數(shù)學(xué)史料的融入

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的主要方式主要有附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式。[2]其中附加式和復(fù)制式是運(yùn)用數(shù)學(xué)史的最初級(jí)的層面，而順應(yīng)式與重構(gòu)式是對(duì)數(shù)學(xué)史材料進(jìn)行改編或編制數(shù)學(xué)問(wèn)題，重構(gòu)歷史發(fā)生過(guò)程，是深入挖掘數(shù)學(xué)史素材的體現(xiàn)，能夠真正體現(xiàn)出數(shù)學(xué)史融合下的“探究取向”。而這種探究性并非只能夠融入數(shù)學(xué)史料的教學(xué)過(guò)程的環(huán)節(jié)中，也可將其融入到作業(yè)環(huán)節(jié)中。探究性作業(yè)也是新課程改革的一項(xiàng)新課題。數(shù)學(xué)習(xí)題的訓(xùn)練也不能只局限于解決常規(guī)問(wèn)題，應(yīng)有具有操作實(shí)踐的、來(lái)自生活實(shí)踐的結(jié)論不確定的、開(kāi)放性的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題等，這就表明作業(yè)的訓(xùn)練應(yīng)具有方法的探究性，啟發(fā)學(xué)生利用已有知識(shí)去探究問(wèn)題的解決途徑，為學(xué)生的個(gè)性發(fā)展提供充分的空間。具有“探究取向”的作業(yè)實(shí)踐能夠提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，從而能夠?qū)崿F(xiàn)探究性教學(xué)目的。

（四）基于實(shí)驗(yàn)共同體的反饋與修正

弗賴登塔爾所強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)中的再創(chuàng)造思想，要求數(shù)學(xué)教師在深刻理解數(shù)學(xué)史料融入的內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，深入挖掘數(shù)學(xué)史料的精髓，尋找適合研究課題的具有探究性的融和方式，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)探究發(fā)現(xiàn)的“歷史重演”過(guò)程，充分體現(xiàn)其“探究取向”，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和文化價(jià)值、享受到數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和主動(dòng)探究的能力。

由于數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)合需要很高的專業(yè)素養(yǎng)，而一線教師的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)和教學(xué)設(shè)計(jì)能力難以在短時(shí)間內(nèi)得到提高，常常使得數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)合要么停留于知識(shí)的講解、不能夠從數(shù)學(xué)史的素材中挖掘、提煉探究取向數(shù)學(xué)教學(xué)的元素。因此，在現(xiàn)階段，要想使數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)合做到實(shí)處，我們需要一種多種力量的結(jié)合，即，成立有一線教師與理論研究者共同組成的實(shí)踐共同體。這種實(shí)踐共同體，可以依托各級(jí)教學(xué)研究部門，高校學(xué)科教學(xué)論專業(yè)，也可以是各校共同組成的數(shù)學(xué)教育工作室。

實(shí)踐共同體能有效地幫助數(shù)學(xué)教師設(shè)計(jì)教學(xué)，避免教學(xué)理論與教學(xué)實(shí)踐相脫節(jié)，使數(shù)學(xué)史的應(yīng)用成為數(shù)學(xué)教育的一條途徑。通過(guò)反饋修正來(lái)提升一線教師的HPM教學(xué)設(shè)計(jì)能力、學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極主動(dòng)性及探究能力。在設(shè)計(jì)—實(shí)施—反饋—修正的循環(huán)過(guò)程中，針對(duì)反饋中所反映出的具體問(wèn)題，進(jìn)行反思，提出修改意見(jiàn)，對(duì)設(shè)計(jì)方案進(jìn)一步改進(jìn)完善。

總之，數(shù)學(xué)教育研究表明，數(shù)學(xué)史可以為數(shù)學(xué)教學(xué)提供豐富的教學(xué)素材和教學(xué)思想，為學(xué)生提供更多的探究機(jī)會(huì)，是數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮作用的一個(gè)重要體現(xiàn)。

[1]汪曉勤，張小明．HPM研究的內(nèi)容與方法[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006,（2）．

[2]Fauvel．J．Usinghistoryinmathematicseducation[J]．Forthe LearningofMathematics,1991．11，（2）．

（責(zé)任編輯：張斌）

王紅/齊魯工業(yè)大學(xué)財(cái)政與金融學(xué)院，講師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究