陳雯鈺

函數(shù)的零點(diǎn)是溝通函數(shù)、方程、圖像的一個(gè)重要媒介，滲透著等價(jià)轉(zhuǎn)化、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，是一個(gè)考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好知識(shí)點(diǎn).近幾年的數(shù)學(xué)高考中頻頻出現(xiàn)零點(diǎn)問(wèn)題，其形式逐漸多樣化，但都離不開這幾種常用的等價(jià)關(guān)系：函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)？圳方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根？圳函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸有交點(diǎn).也可拓展為：函數(shù)y=F（x）=f（x）-g（x）有零點(diǎn)？圳方程組y■=f（x）y■=g（x）有實(shí)數(shù)根？圳函數(shù)y1=f（x）與函數(shù)y2=g（x）的圖像有交點(diǎn).

圍繞它們之間的關(guān)系，就高考中的一些典型題型加以剖析：

類型一：函數(shù)零點(diǎn)的分布

解決零點(diǎn)的分布問(wèn)題，主要依據(jù)零點(diǎn)的存在性定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn).而零點(diǎn)的個(gè)數(shù)還需結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)，尤其是函數(shù)的單調(diào)性才能確定.

例1：（2013高考數(shù)學(xué)重慶卷）若a

A.（a，b）和（b，c）內(nèi)

B.（-∞，a）和（a，b）內(nèi)

C.（b，c）和（c，+∞）內(nèi)

D.（-∞，a）和（c，+∞）內(nèi)

解析：由題意a0，f（b）=（b-c）（b-a）<0，f（c）=（c-a）（c-b）>0.顯然f（a）·f（b）<0，f（b）·f（c）<0，所以該函數(shù)在（a，b）和（b，c）上均有零點(diǎn)，故選A.

變式：（高考廣東卷、高考山東卷）若函數(shù)為f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=-lg（-x）+x+3，已知f（x）=0有一個(gè)根為x0，且x0∈（n，n+1），n∈N*，則n的值為________.

解析：由題意，設(shè)x>0，則-x<0，f（-x）=-lgx-x+3=-f（x），所以當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=lgx+x-3在（0，+∞）上是增函數(shù)，f（2）<0，f（3）>0，所以x0∈（2，3），則n=2.

類型二：函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可利用定義法，即令f（x）=0，則該方程的解即為函數(shù)的零點(diǎn)，方程解的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；也可根據(jù)幾何法，將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題來(lái)解決.

例2：（2012高考數(shù)學(xué)湖北卷）函數(shù)f（x）=xcosx2在區(qū)間[0，4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解析：定義法，令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0，所以得x=0或x2=kπ+■，k∈Z，又注意到x∈[0，4]可得k=0，1，2，3，4，所以方程共有6個(gè)解，因此函數(shù)f（x）=xcosx2在區(qū)間[0，4]上有6個(gè)零點(diǎn)，故選C.

類型三：利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)

在高考中，除了要我們求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)外，還常出現(xiàn)一種題型就是：先給出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再來(lái)解決其他問(wèn)題（如求參數(shù)）.要解決此類問(wèn)題常根據(jù)函數(shù)y=F（x）=f（x）-g（x）有零點(diǎn)？圳方程組y■=f（x）y■=g（x）有實(shí)數(shù)根？圳函數(shù)y1=f（x）與y2=g（x）函數(shù)的圖像有交點(diǎn).

例3：（2009高考數(shù)學(xué)山東卷）若函數(shù) f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

解析：我們可將上述函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)換成兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，根據(jù)例3的幾何法：

1.構(gòu)造函數(shù).設(shè)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）和函數(shù)y=x+a，則函數(shù)f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個(gè)零點(diǎn)， 就是函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）與函數(shù)y=x+a有兩個(gè)交點(diǎn).

2.通過(guò)圖像描繪題意——將數(shù)轉(zhuǎn)化成形.

3.由圖像得出結(jié)論——將形轉(zhuǎn)化成數(shù).

當(dāng)時(shí)0

當(dāng)時(shí)a>1（如圖2），因?yàn)楹瘮?shù)y=ax（a>1）的圖像過(guò)點(diǎn)（0，1），而直線y=x+a所過(guò)的點(diǎn)（0，a）在點(diǎn)（0，1）的上方，此時(shí)兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a>1}.

上述各例子剖析了近幾年數(shù)學(xué)高考中函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的典型題型及解法，值得一提的是，各種類型各種方法并不是完全孤立的，利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想，函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)問(wèn)題看成方程根的個(gè)數(shù)或者函數(shù)圖像y=f（x）、y=g（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，使得復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，難解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易解的問(wèn)題，未解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題.

責(zé)任編輯 羅 峰

函數(shù)的零點(diǎn)是溝通函數(shù)、方程、圖像的一個(gè)重要媒介，滲透著等價(jià)轉(zhuǎn)化、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，是一個(gè)考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好知識(shí)點(diǎn).近幾年的數(shù)學(xué)高考中頻頻出現(xiàn)零點(diǎn)問(wèn)題，其形式逐漸多樣化，但都離不開這幾種常用的等價(jià)關(guān)系：函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)？圳方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根？圳函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸有交點(diǎn).也可拓展為：函數(shù)y=F（x）=f（x）-g（x）有零點(diǎn)？圳方程組y■=f（x）y■=g（x）有實(shí)數(shù)根？圳函數(shù)y1=f（x）與函數(shù)y2=g（x）的圖像有交點(diǎn).

圍繞它們之間的關(guān)系，就高考中的一些典型題型加以剖析：

類型一：函數(shù)零點(diǎn)的分布

解決零點(diǎn)的分布問(wèn)題，主要依據(jù)零點(diǎn)的存在性定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn).而零點(diǎn)的個(gè)數(shù)還需結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)，尤其是函數(shù)的單調(diào)性才能確定.

例1：（2013高考數(shù)學(xué)重慶卷）若a

A.（a，b）和（b，c）內(nèi)

B.（-∞，a）和（a，b）內(nèi)

C.（b，c）和（c，+∞）內(nèi)

D.（-∞，a）和（c，+∞）內(nèi)

解析：由題意a0，f（b）=（b-c）（b-a）<0，f（c）=（c-a）（c-b）>0.顯然f（a）·f（b）<0，f（b）·f（c）<0，所以該函數(shù)在（a，b）和（b，c）上均有零點(diǎn)，故選A.

變式：（高考廣東卷、高考山東卷）若函數(shù)為f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=-lg（-x）+x+3，已知f（x）=0有一個(gè)根為x0，且x0∈（n，n+1），n∈N*，則n的值為________.

解析：由題意，設(shè)x>0，則-x<0，f（-x）=-lgx-x+3=-f（x），所以當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=lgx+x-3在（0，+∞）上是增函數(shù)，f（2）<0，f（3）>0，所以x0∈（2，3），則n=2.

類型二：函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可利用定義法，即令f（x）=0，則該方程的解即為函數(shù)的零點(diǎn)，方程解的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；也可根據(jù)幾何法，將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題來(lái)解決.

例2：（2012高考數(shù)學(xué)湖北卷）函數(shù)f（x）=xcosx2在區(qū)間[0，4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解析：定義法，令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0，所以得x=0或x2=kπ+■，k∈Z，又注意到x∈[0，4]可得k=0，1，2，3，4，所以方程共有6個(gè)解，因此函數(shù)f（x）=xcosx2在區(qū)間[0，4]上有6個(gè)零點(diǎn)，故選C.

類型三：利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)

在高考中，除了要我們求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)外，還常出現(xiàn)一種題型就是：先給出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再來(lái)解決其他問(wèn)題（如求參數(shù)）.要解決此類問(wèn)題常根據(jù)函數(shù)y=F（x）=f（x）-g（x）有零點(diǎn)？圳方程組y■=f（x）y■=g（x）有實(shí)數(shù)根？圳函數(shù)y1=f（x）與y2=g（x）函數(shù)的圖像有交點(diǎn).

例3：（2009高考數(shù)學(xué)山東卷）若函數(shù) f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

解析：我們可將上述函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)換成兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，根據(jù)例3的幾何法：

1.構(gòu)造函數(shù).設(shè)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）和函數(shù)y=x+a，則函數(shù)f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個(gè)零點(diǎn)， 就是函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）與函數(shù)y=x+a有兩個(gè)交點(diǎn).

2.通過(guò)圖像描繪題意——將數(shù)轉(zhuǎn)化成形.

3.由圖像得出結(jié)論——將形轉(zhuǎn)化成數(shù).

當(dāng)時(shí)0

當(dāng)時(shí)a>1（如圖2），因?yàn)楹瘮?shù)y=ax（a>1）的圖像過(guò)點(diǎn)（0，1），而直線y=x+a所過(guò)的點(diǎn)（0，a）在點(diǎn)（0，1）的上方，此時(shí)兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a>1}.

上述各例子剖析了近幾年數(shù)學(xué)高考中函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的典型題型及解法，值得一提的是，各種類型各種方法并不是完全孤立的，利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想，函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)問(wèn)題看成方程根的個(gè)數(shù)或者函數(shù)圖像y=f（x）、y=g（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，使得復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，難解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易解的問(wèn)題，未解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題.

責(zé)任編輯 羅 峰

函數(shù)的零點(diǎn)是溝通函數(shù)、方程、圖像的一個(gè)重要媒介，滲透著等價(jià)轉(zhuǎn)化、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，是一個(gè)考察學(xué)生綜合素質(zhì)的很好知識(shí)點(diǎn).近幾年的數(shù)學(xué)高考中頻頻出現(xiàn)零點(diǎn)問(wèn)題，其形式逐漸多樣化，但都離不開這幾種常用的等價(jià)關(guān)系：函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)？圳方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根？圳函數(shù)y=f（x）的圖像與x軸有交點(diǎn).也可拓展為：函數(shù)y=F（x）=f（x）-g（x）有零點(diǎn)？圳方程組y■=f（x）y■=g（x）有實(shí)數(shù)根？圳函數(shù)y1=f（x）與函數(shù)y2=g（x）的圖像有交點(diǎn).

圍繞它們之間的關(guān)系，就高考中的一些典型題型加以剖析：

類型一：函數(shù)零點(diǎn)的分布

解決零點(diǎn)的分布問(wèn)題，主要依據(jù)零點(diǎn)的存在性定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn).而零點(diǎn)的個(gè)數(shù)還需結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)，尤其是函數(shù)的單調(diào)性才能確定.

例1：（2013高考數(shù)學(xué)重慶卷）若a

A.（a，b）和（b，c）內(nèi)

B.（-∞，a）和（a，b）內(nèi)

C.（b，c）和（c，+∞）內(nèi)

D.（-∞，a）和（c，+∞）內(nèi)

解析：由題意a0，f（b）=（b-c）（b-a）<0，f（c）=（c-a）（c-b）>0.顯然f（a）·f（b）<0，f（b）·f（c）<0，所以該函數(shù)在（a，b）和（b，c）上均有零點(diǎn)，故選A.

變式：（高考廣東卷、高考山東卷）若函數(shù)為f（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f（x）=-lg（-x）+x+3，已知f（x）=0有一個(gè)根為x0，且x0∈（n，n+1），n∈N*，則n的值為________.

解析：由題意，設(shè)x>0，則-x<0，f（-x）=-lgx-x+3=-f（x），所以當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=lgx+x-3在（0，+∞）上是增函數(shù)，f（2）<0，f（3）>0，所以x0∈（2，3），則n=2.

類型二：函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可利用定義法，即令f（x）=0，則該方程的解即為函數(shù)的零點(diǎn)，方程解的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；也可根據(jù)幾何法，將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題來(lái)解決.

例2：（2012高考數(shù)學(xué)湖北卷）函數(shù)f（x）=xcosx2在區(qū)間[0，4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解析：定義法，令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0，所以得x=0或x2=kπ+■，k∈Z，又注意到x∈[0，4]可得k=0，1，2，3，4，所以方程共有6個(gè)解，因此函數(shù)f（x）=xcosx2在區(qū)間[0，4]上有6個(gè)零點(diǎn)，故選C.

類型三：利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)

在高考中，除了要我們求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)外，還常出現(xiàn)一種題型就是：先給出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再來(lái)解決其他問(wèn)題（如求參數(shù)）.要解決此類問(wèn)題常根據(jù)函數(shù)y=F（x）=f（x）-g（x）有零點(diǎn)？圳方程組y■=f（x）y■=g（x）有實(shí)數(shù)根？圳函數(shù)y1=f（x）與y2=g（x）函數(shù)的圖像有交點(diǎn).

例3：（2009高考數(shù)學(xué)山東卷）若函數(shù) f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .

解析：我們可將上述函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)換成兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，根據(jù)例3的幾何法：

1.構(gòu)造函數(shù).設(shè)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）和函數(shù)y=x+a，則函數(shù)f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有兩個(gè)零點(diǎn)， 就是函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）與函數(shù)y=x+a有兩個(gè)交點(diǎn).

2.通過(guò)圖像描繪題意——將數(shù)轉(zhuǎn)化成形.

3.由圖像得出結(jié)論——將形轉(zhuǎn)化成數(shù).

當(dāng)時(shí)0

當(dāng)時(shí)a>1（如圖2），因?yàn)楹瘮?shù)y=ax（a>1）的圖像過(guò)點(diǎn)（0，1），而直線y=x+a所過(guò)的點(diǎn)（0，a）在點(diǎn)（0，1）的上方，此時(shí)兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a>1}.

上述各例子剖析了近幾年數(shù)學(xué)高考中函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的典型題型及解法，值得一提的是，各種類型各種方法并不是完全孤立的，利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想，函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)問(wèn)題看成方程根的個(gè)數(shù)或者函數(shù)圖像y=f（x）、y=g（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，使得復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，難解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易解的問(wèn)題，未解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題.

責(zé)任編輯 羅 峰