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        重排數(shù)與限對排列的若干關(guān)系式

        2014-03-28 04:22:46楊艾欣
        師道·教研 2014年1期
        關(guān)鍵詞:對子關(guān)系式個數(shù)

        楊艾欣

        重排問題與限對排列問題是組合數(shù)學(xué)中一類重要的排列計數(shù)問題,這一系列看似毫無關(guān)聯(lián)的的計數(shù)問題,實際上彼此間蘊(yùn)含著微妙的關(guān)系,但目前關(guān)于這類問題的研究成果不多.再者,要深入研究這一系列的組合數(shù)通常需要借用其遞推關(guān)系甚至彼此間的一些關(guān)系式,因此本文通過觀察表格及定義式等方面尋找這些重要的關(guān)系式,為后續(xù)更深入的研究提供一定的基礎(chǔ).

        一、定義與引理

        首先給出這兩個問題中的若干定義與引理:

        引理1.1 在1,2…,n的排列中,沒有一個元排保位的排列個數(shù)為D■,且D■=n!·■■,n≥0.

        定義1.2 1,2,…,n的排列中,形如(i,i﹢1),i=1,2,…,n-1稱為對子.

        引理1.1 1,2,…,n在的排列中,沒有對子的排列個數(shù)為Q■,且Q■=(n-1)!·■■,n≥1.

        定義1.2 1,2,…,n的排列中,形如(i,i﹢1),i=1,2,…,n稱為圓對子,約定(n,n+1)=(n,1).

        引理1.3 在1,2,…,n的排列中,沒有圓對子的排列個數(shù)為Rn,且Rn=n!.■■,n≥1.

        定義1.3 1,2,…,n的排列中,首尾兩個元素相接,形成逆時針方向的一個排列稱為圓排列.

        引理1.4 在1,2,…,n的排列中,沒有對子的圓排列個數(shù)為■■,且■n=(n-1)!.■■,n≥1.

        引理1.5 在1,2,…,n的排列中,沒有圓對子的圓排列個數(shù)為■,且

        ■=(-1)n+n!.■■,n≥1.

        二、Dn,Qn,Rn,■■,■,之間的一些關(guān)系

        筆者通過觀察Dn,Qn,Rn,■■,■的特殊值(見下表),發(fā)現(xiàn)Dn,Qn,Rn,■■,■之間存在某些關(guān)系.

        發(fā)現(xiàn)的結(jié)論如下:

        定理2.1 D■與Q■的關(guān)系:

        Q■=D■+D■ (1)

        Q■=(n+2)Dn+(-1)n+1 (2)

        D■=nQ■ (3)

        證明:根據(jù)D■與Q■的表示式知,

        Q■=n!·■■(n+1-i)=

        (n+1)!·■■+n!·■■

        =(n+1)!·■■ - (-1)■+n!·■■-(-1)■

        =D■+D■

        (1)式得證.

        Q■=n!·■■(n+1-i)=

        (n+1)!·■■+n!·■■

        =(n+1)!·■■+

        n!·■■-(-1)■=

        (n+2)·n!·■■-(-1)■

        =(n+2)D■+(-1)■

        (2)式得證.

        定理2.2 Dn與Rn的關(guān)系:Rn=Dn-(-1)n (4)

        定理2.3 Dn與■■的關(guān)系:Dn= ■■ (5)

        定理2.4 Dn與■的關(guān)系:Dn= ■+■■ (6)

        定理2.5 Qn與Rn的關(guān)系:Qn+1 =Rn+ Rn+1 (7)

        定理2.6 Qn與■■的關(guān)系:Qn=■■+■■ (8)

        定理2.7 Qn與■的關(guān)系:

        ■■+■■=nQn (9)

        定理2.8 Rn與■■的關(guān)系:Rn=n■■ (10)

        ■■=Rn+(-1)n (11)

        定理2.9 Rn與■的關(guān)系:Rn+1 =(n+1)(■+■■) (12)

        注:以上定理2.2~2.9的證明均容易通過相應(yīng)的定義式,利用定理2.1的證明方法證得結(jié)論,此處不再累贅.

        三、Dn,Qn,Rn,■■,■的一些遞推關(guān)系

        引理3.1 Dn的遞推關(guān)系:

        Dn+1 =(n+1)Dn+(-1)n+1(13)

        Dn+2 =(n+1)(Dn+1+Dn)(14)

        定理3.1 Qn的遞推關(guān)系:

        Qn+2 +(n+1)Qn+1+nQn(15)

        n(n+2)Qn=(n+1)Qn+1+(-1)n+1(16)

        證明:(2)式代入(1)式即證得(16)式.

        定理3.2 Rn的遞推關(guān)系:

        Rn+1=(n+1)·R■+(-1)■(17)

        Rn+2=(n+1)(Rn+Rn+1)+(-1)(n+1)(18)

        (n+1)(n+2)Rn+n(n+2)Rn+1=(n+1)Rn+2

        (19)

        證明:根據(jù)Rn的定義式,

        Rn+1=(n+1)!·■■=

        (n+1)n!·■■+(-1)■

        =(n+1)R■+(-1)■

        證得(17)式.

        同理,根據(jù)定義式可以證得(18)(19)式.

        定理3.3 ■■的遞推關(guān)系:

        ■■=n■■+(-1)n (20)

        ■■=n(■■+ ■■)(21)

        證明:(10)式代入(11)式即可證得(20)式.

        (8)式代入(3)式得Dn+1=n·(■■+ ■■),(5)式代入上式即證得(21)式.

        定理3.4 ■的遞推關(guān)系:

        ■■+■■=(n+1)(■+■■)(22)

        (n+1)■+n■■+(-1)n+1=■■(23)

        ■■+(-1)n=■(24)

        證明:由(5)代入(6),可得■■=■+■■,再代入(9)式,可得■■+■■=(n+1)(■+■■),得證(22)式.

        由(4)式代入(6),得Rn+(-1)n=■+■■,再由(12)式代入上式得證(23)式.

        由(10)式代入Rn=+(-1)n=■+■■,得n■■+(-1)n=■+■■,再代入(9)式整理可得(24)式.

        責(zé)任編輯 羅 峰endprint

        重排問題與限對排列問題是組合數(shù)學(xué)中一類重要的排列計數(shù)問題,這一系列看似毫無關(guān)聯(lián)的的計數(shù)問題,實際上彼此間蘊(yùn)含著微妙的關(guān)系,但目前關(guān)于這類問題的研究成果不多.再者,要深入研究這一系列的組合數(shù)通常需要借用其遞推關(guān)系甚至彼此間的一些關(guān)系式,因此本文通過觀察表格及定義式等方面尋找這些重要的關(guān)系式,為后續(xù)更深入的研究提供一定的基礎(chǔ).

        一、定義與引理

        首先給出這兩個問題中的若干定義與引理:

        引理1.1 在1,2…,n的排列中,沒有一個元排保位的排列個數(shù)為D■,且D■=n!·■■,n≥0.

        定義1.2 1,2,…,n的排列中,形如(i,i﹢1),i=1,2,…,n-1稱為對子.

        引理1.1 1,2,…,n在的排列中,沒有對子的排列個數(shù)為Q■,且Q■=(n-1)!·■■,n≥1.

        定義1.2 1,2,…,n的排列中,形如(i,i﹢1),i=1,2,…,n稱為圓對子,約定(n,n+1)=(n,1).

        引理1.3 在1,2,…,n的排列中,沒有圓對子的排列個數(shù)為Rn,且Rn=n!.■■,n≥1.

        定義1.3 1,2,…,n的排列中,首尾兩個元素相接,形成逆時針方向的一個排列稱為圓排列.

        引理1.4 在1,2,…,n的排列中,沒有對子的圓排列個數(shù)為■■,且■n=(n-1)!.■■,n≥1.

        引理1.5 在1,2,…,n的排列中,沒有圓對子的圓排列個數(shù)為■,且

        ■=(-1)n+n!.■■,n≥1.

        二、Dn,Qn,Rn,■■,■,之間的一些關(guān)系

        筆者通過觀察Dn,Qn,Rn,■■,■的特殊值(見下表),發(fā)現(xiàn)Dn,Qn,Rn,■■,■之間存在某些關(guān)系.

        發(fā)現(xiàn)的結(jié)論如下:

        定理2.1 D■與Q■的關(guān)系:

        Q■=D■+D■ (1)

        Q■=(n+2)Dn+(-1)n+1 (2)

        D■=nQ■ (3)

        證明:根據(jù)D■與Q■的表示式知,

        Q■=n!·■■(n+1-i)=

        (n+1)!·■■+n!·■■

        =(n+1)!·■■ - (-1)■+n!·■■-(-1)■

        =D■+D■

        (1)式得證.

        Q■=n!·■■(n+1-i)=

        (n+1)!·■■+n!·■■

        =(n+1)!·■■+

        n!·■■-(-1)■=

        (n+2)·n!·■■-(-1)■

        =(n+2)D■+(-1)■

        (2)式得證.

        定理2.2 Dn與Rn的關(guān)系:Rn=Dn-(-1)n (4)

        定理2.3 Dn與■■的關(guān)系:Dn= ■■ (5)

        定理2.4 Dn與■的關(guān)系:Dn= ■+■■ (6)

        定理2.5 Qn與Rn的關(guān)系:Qn+1 =Rn+ Rn+1 (7)

        定理2.6 Qn與■■的關(guān)系:Qn=■■+■■ (8)

        定理2.7 Qn與■的關(guān)系:

        ■■+■■=nQn (9)

        定理2.8 Rn與■■的關(guān)系:Rn=n■■ (10)

        ■■=Rn+(-1)n (11)

        定理2.9 Rn與■的關(guān)系:Rn+1 =(n+1)(■+■■) (12)

        注:以上定理2.2~2.9的證明均容易通過相應(yīng)的定義式,利用定理2.1的證明方法證得結(jié)論,此處不再累贅.

        三、Dn,Qn,Rn,■■,■的一些遞推關(guān)系

        引理3.1 Dn的遞推關(guān)系:

        Dn+1 =(n+1)Dn+(-1)n+1(13)

        Dn+2 =(n+1)(Dn+1+Dn)(14)

        定理3.1 Qn的遞推關(guān)系:

        Qn+2 +(n+1)Qn+1+nQn(15)

        n(n+2)Qn=(n+1)Qn+1+(-1)n+1(16)

        證明:(2)式代入(1)式即證得(16)式.

        定理3.2 Rn的遞推關(guān)系:

        Rn+1=(n+1)·R■+(-1)■(17)

        Rn+2=(n+1)(Rn+Rn+1)+(-1)(n+1)(18)

        (n+1)(n+2)Rn+n(n+2)Rn+1=(n+1)Rn+2

        (19)

        證明:根據(jù)Rn的定義式,

        Rn+1=(n+1)!·■■=

        (n+1)n!·■■+(-1)■

        =(n+1)R■+(-1)■

        證得(17)式.

        同理,根據(jù)定義式可以證得(18)(19)式.

        定理3.3 ■■的遞推關(guān)系:

        ■■=n■■+(-1)n (20)

        ■■=n(■■+ ■■)(21)

        證明:(10)式代入(11)式即可證得(20)式.

        (8)式代入(3)式得Dn+1=n·(■■+ ■■),(5)式代入上式即證得(21)式.

        定理3.4 ■的遞推關(guān)系:

        ■■+■■=(n+1)(■+■■)(22)

        (n+1)■+n■■+(-1)n+1=■■(23)

        ■■+(-1)n=■(24)

        證明:由(5)代入(6),可得■■=■+■■,再代入(9)式,可得■■+■■=(n+1)(■+■■),得證(22)式.

        由(4)式代入(6),得Rn+(-1)n=■+■■,再由(12)式代入上式得證(23)式.

        由(10)式代入Rn=+(-1)n=■+■■,得n■■+(-1)n=■+■■,再代入(9)式整理可得(24)式.

        責(zé)任編輯 羅 峰endprint

        重排問題與限對排列問題是組合數(shù)學(xué)中一類重要的排列計數(shù)問題,這一系列看似毫無關(guān)聯(lián)的的計數(shù)問題,實際上彼此間蘊(yùn)含著微妙的關(guān)系,但目前關(guān)于這類問題的研究成果不多.再者,要深入研究這一系列的組合數(shù)通常需要借用其遞推關(guān)系甚至彼此間的一些關(guān)系式,因此本文通過觀察表格及定義式等方面尋找這些重要的關(guān)系式,為后續(xù)更深入的研究提供一定的基礎(chǔ).

        一、定義與引理

        首先給出這兩個問題中的若干定義與引理:

        引理1.1 在1,2…,n的排列中,沒有一個元排保位的排列個數(shù)為D■,且D■=n!·■■,n≥0.

        定義1.2 1,2,…,n的排列中,形如(i,i﹢1),i=1,2,…,n-1稱為對子.

        引理1.1 1,2,…,n在的排列中,沒有對子的排列個數(shù)為Q■,且Q■=(n-1)!·■■,n≥1.

        定義1.2 1,2,…,n的排列中,形如(i,i﹢1),i=1,2,…,n稱為圓對子,約定(n,n+1)=(n,1).

        引理1.3 在1,2,…,n的排列中,沒有圓對子的排列個數(shù)為Rn,且Rn=n!.■■,n≥1.

        定義1.3 1,2,…,n的排列中,首尾兩個元素相接,形成逆時針方向的一個排列稱為圓排列.

        引理1.4 在1,2,…,n的排列中,沒有對子的圓排列個數(shù)為■■,且■n=(n-1)!.■■,n≥1.

        引理1.5 在1,2,…,n的排列中,沒有圓對子的圓排列個數(shù)為■,且

        ■=(-1)n+n!.■■,n≥1.

        二、Dn,Qn,Rn,■■,■,之間的一些關(guān)系

        筆者通過觀察Dn,Qn,Rn,■■,■的特殊值(見下表),發(fā)現(xiàn)Dn,Qn,Rn,■■,■之間存在某些關(guān)系.

        發(fā)現(xiàn)的結(jié)論如下:

        定理2.1 D■與Q■的關(guān)系:

        Q■=D■+D■ (1)

        Q■=(n+2)Dn+(-1)n+1 (2)

        D■=nQ■ (3)

        證明:根據(jù)D■與Q■的表示式知,

        Q■=n!·■■(n+1-i)=

        (n+1)!·■■+n!·■■

        =(n+1)!·■■ - (-1)■+n!·■■-(-1)■

        =D■+D■

        (1)式得證.

        Q■=n!·■■(n+1-i)=

        (n+1)!·■■+n!·■■

        =(n+1)!·■■+

        n!·■■-(-1)■=

        (n+2)·n!·■■-(-1)■

        =(n+2)D■+(-1)■

        (2)式得證.

        定理2.2 Dn與Rn的關(guān)系:Rn=Dn-(-1)n (4)

        定理2.3 Dn與■■的關(guān)系:Dn= ■■ (5)

        定理2.4 Dn與■的關(guān)系:Dn= ■+■■ (6)

        定理2.5 Qn與Rn的關(guān)系:Qn+1 =Rn+ Rn+1 (7)

        定理2.6 Qn與■■的關(guān)系:Qn=■■+■■ (8)

        定理2.7 Qn與■的關(guān)系:

        ■■+■■=nQn (9)

        定理2.8 Rn與■■的關(guān)系:Rn=n■■ (10)

        ■■=Rn+(-1)n (11)

        定理2.9 Rn與■的關(guān)系:Rn+1 =(n+1)(■+■■) (12)

        注:以上定理2.2~2.9的證明均容易通過相應(yīng)的定義式,利用定理2.1的證明方法證得結(jié)論,此處不再累贅.

        三、Dn,Qn,Rn,■■,■的一些遞推關(guān)系

        引理3.1 Dn的遞推關(guān)系:

        Dn+1 =(n+1)Dn+(-1)n+1(13)

        Dn+2 =(n+1)(Dn+1+Dn)(14)

        定理3.1 Qn的遞推關(guān)系:

        Qn+2 +(n+1)Qn+1+nQn(15)

        n(n+2)Qn=(n+1)Qn+1+(-1)n+1(16)

        證明:(2)式代入(1)式即證得(16)式.

        定理3.2 Rn的遞推關(guān)系:

        Rn+1=(n+1)·R■+(-1)■(17)

        Rn+2=(n+1)(Rn+Rn+1)+(-1)(n+1)(18)

        (n+1)(n+2)Rn+n(n+2)Rn+1=(n+1)Rn+2

        (19)

        證明:根據(jù)Rn的定義式,

        Rn+1=(n+1)!·■■=

        (n+1)n!·■■+(-1)■

        =(n+1)R■+(-1)■

        證得(17)式.

        同理,根據(jù)定義式可以證得(18)(19)式.

        定理3.3 ■■的遞推關(guān)系:

        ■■=n■■+(-1)n (20)

        ■■=n(■■+ ■■)(21)

        證明:(10)式代入(11)式即可證得(20)式.

        (8)式代入(3)式得Dn+1=n·(■■+ ■■),(5)式代入上式即證得(21)式.

        定理3.4 ■的遞推關(guān)系:

        ■■+■■=(n+1)(■+■■)(22)

        (n+1)■+n■■+(-1)n+1=■■(23)

        ■■+(-1)n=■(24)

        證明:由(5)代入(6),可得■■=■+■■,再代入(9)式,可得■■+■■=(n+1)(■+■■),得證(22)式.

        由(4)式代入(6),得Rn+(-1)n=■+■■,再由(12)式代入上式得證(23)式.

        由(10)式代入Rn=+(-1)n=■+■■,得n■■+(-1)n=■+■■,再代入(9)式整理可得(24)式.

        責(zé)任編輯 羅 峰endprint

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