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        起重機(jī)吊重系統(tǒng)魯棒滑模觀測器設(shè)計(jì)

        2014-03-27 06:34:26鐘斌趙曉青
        關(guān)鍵詞:吊重狀態(tài)變量觀測器

        鐘斌, 趙曉青

        (中國人民武裝警察部隊(duì)工程大學(xué) 裝備工程學(xué)院特種裝備研究所,陜西 西安 710086)

        橋式起重機(jī)或門式起重機(jī)(以下簡稱起重機(jī))的吊重與小車之間采用鋼絲繩柔性聯(lián)接,在小車運(yùn)行中控制吊重?fù)u擺一直是控制學(xué)科學(xué)者研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)[1-4]。對吊重?cái)[角控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)往往需要小車位置與速度、吊重?cái)[角與擺角角速度等狀態(tài)變量信息[5-9],但由于吊重與小車之間柔性聯(lián)接結(jié)構(gòu)特點(diǎn),往往不便于在現(xiàn)場安裝傳感器以測量吊重?cái)[角與擺角角速度信息[10-11]。所以,文獻(xiàn)[1] 利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能對任意函數(shù)逼近的原理,采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),針對標(biāo)準(zhǔn)單輸入、單輸出的二階系統(tǒng),在基本狀態(tài)觀測器的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)觀測器,將可測的起重機(jī)吊重?cái)[角變量作為輸入量,實(shí)現(xiàn)了對吊重?cái)[角速度的觀測,減少了對吊重?cái)[角速度的現(xiàn)場測量成本,但是,這種方法仍須現(xiàn)場測量吊重?cái)[角,測量成本仍然較高,并且無法觀測出小車位移與小車速度,但往往小車位移和小車速度在吊重?cái)[角控制系統(tǒng)中也是必需的反饋?zhàn)兞縖11]。文獻(xiàn)[2] 設(shè)計(jì)了Luenberger觀測器,利用測量的小車位置信息對小車速度、吊重?cái)[角及其角速度進(jìn)行觀測(估計(jì)),在該文獻(xiàn)中,采用對觀測器極點(diǎn)配置的方法研究了觀測器對各變量觀測速度與觀測器極點(diǎn)在復(fù)平面中的位置之間的關(guān)系,理論研究和實(shí)際應(yīng)用均表明所設(shè)計(jì)的Luenberger觀測器對變化的吊重質(zhì)量和起升繩長均具有一定的魯棒性,并降低了測量成本。但實(shí)際應(yīng)用中發(fā)現(xiàn),當(dāng)存在諸如外界較強(qiáng)風(fēng)阻、實(shí)驗(yàn)臺較強(qiáng)振動等外界影響時(shí),對這些狀態(tài)變量信息的狀態(tài)觀測結(jié)果與由系統(tǒng)建模得到的狀態(tài)變量動態(tài)響應(yīng)之間就會存在較大誤差。實(shí)際上這些外界影響即是外界干擾,即系統(tǒng)建模中的未知不確定性項(xiàng),如何設(shè)計(jì)對這些外界干擾也具有更強(qiáng)魯棒性的狀態(tài)觀測器更具有廣泛的工程實(shí)際意義。

        為此,本文針對起重機(jī)吊重四階系統(tǒng)設(shè)計(jì)了魯棒滑模狀態(tài)觀測器,通過合理設(shè)計(jì)滑模面和滑模控制策略,使觀測器對外界干擾引起的非線性不確定部分具有魯棒性,從而漸近估計(jì)出系統(tǒng)狀態(tài)變量,有效地改進(jìn)了文獻(xiàn)[1] 和[2] 所設(shè)計(jì)的觀測器,實(shí)驗(yàn)表明本文所設(shè)計(jì)的魯棒滑模觀測器更具有工程實(shí)際意義。

        1 起重機(jī)吊重不確定非線性系統(tǒng)及其可觀性

        起重機(jī)吊重系統(tǒng)幾何描述如圖1所示,小車質(zhì)量為M,吊重質(zhì)量為m,吊重?cái)[角為θ,O點(diǎn)為小車參考位置原點(diǎn),F(xiàn)為小車驅(qū)動力(N),l為起升繩長(m)。

        圖1 起重機(jī)吊重系統(tǒng)幾何模型

        由文獻(xiàn)[1]的研究方法和步驟得到起重機(jī)吊重不確定非線性動力系統(tǒng):

        (1)

        式中,D為輪軌摩擦阻尼系數(shù)。

        f(t,X,u)=Bξ(t,X,u)

        (2)

        式中,ξ(t,X,u)是由于系統(tǒng)建模誤差、噪聲干擾等不確定狀態(tài)造成的不確定函數(shù),且ξ的上界已知,即:

        (3)

        式中,r1為已知正實(shí)數(shù),α為已知函數(shù)。

        (4)

        (5)

        由式(4)和式(5)可知Q1和Q2的秩均為4,所以(A,C)能觀,即可以利用惟一變量x1(t)(即觀測器的輸入變量為x1(t))或同時(shí)利用x1(t)和x2(t)(即觀測器的輸入變量為x1(t)和x2(t))觀測系統(tǒng)(1)的其余狀態(tài)變量,獲取所有狀態(tài)變量信息。

        2 魯棒滑模觀測器設(shè)計(jì)

        對系統(tǒng)(1)設(shè)計(jì)魯棒滑模狀態(tài)觀測器的目的是快速、準(zhǔn)確地估計(jì)(觀測)出系統(tǒng)的狀態(tài)變量X(t),且設(shè)計(jì)的觀測器對系統(tǒng)(1)中的非線性不確定性項(xiàng)f(t,X,u)具有魯棒性。設(shè)計(jì)如下形式的魯棒滑模觀測器:

        (6)

        定義狀態(tài)觀測偏差(簡稱偏差)為:

        (7)

        則偏差系統(tǒng)微分方程為:

        (8)

        式中,A0=A-GC為觀測器的動力學(xué)矩陣。

        由式(8)可見,如果偏差系統(tǒng)的狀態(tài)變量e(t)漸近地或在有限時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn),則實(shí)現(xiàn)了觀測器的設(shè)計(jì)目的。為此,設(shè)計(jì)線性滑模函數(shù):

        s=Me(t)

        (9)

        式中,M∈R1×4,并令M=KC,且滑模參數(shù)矩陣K∈R1×2。于是:

        (10)

        由式(6)和式(10)可知,魯棒滑模觀測器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。所以,魯棒滑模觀測器的設(shè)計(jì)問題可歸結(jié)為觀測器增益矩陣G、滑模參數(shù)矩陣K和控制輸入v的設(shè)計(jì)問題。

        圖2 魯棒滑模觀測器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

        設(shè)計(jì)滑??刂撇呗?

        (11)

        為了確定觀測器增益矩陣G,考慮觀測器的特征方程:

        det[λI-A0]=0

        (12)

        式中,λ為觀測器的特征值,對應(yīng)觀測器的4個(gè)極點(diǎn)λ1~λ4;I為4×4單位矩陣。

        設(shè)觀測器的極點(diǎn)分別配置在復(fù)平面的負(fù)實(shí)軸上,即-λi處(λi為實(shí)數(shù),且λi>0,i=1,2,3,4);同時(shí),為敘述方便,稱λi為極點(diǎn)。則觀測器的特征方程又可表示為:

        (13)

        由式(12)和式(13)中對應(yīng)λ項(xiàng)的系數(shù)相等可知方程(14)成立。

        HkGk=Rk(λi) (k=1,2;i=1,2,3,4)

        (14)

        其中:

        r1=λ1+λ2+λ3+λ4

        r2=λ1λ2+λ1λ3+λ1λ4+λ2λ3+λ2λ4+λ3λ4

        r3=λ1λ2λ3+λ1λ2λ4+λ1λ3λ4+λ2λ3λ4

        r4=λ1λ2λ3λ4

        從而解得:

        (15)

        (16)

        由式(15)可以看出,觀測器增益參數(shù)g1~g4分別是極點(diǎn)λi的函數(shù),由極點(diǎn)可以確定G1;由式(16)可以看出,通過合理選擇g12(g12≠1)、g22、g32、g42和極點(diǎn)可以確定G2,從而保證A0為Hurwitz矩陣。

        3 偏差系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

        為了驗(yàn)證狀態(tài)觀測偏差系統(tǒng)的穩(wěn)定性,證明定理1,選取Lyapunov函數(shù):

        (17)

        沿偏差系統(tǒng)(8),V(s)對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)為:

        eTMTM(A0e-Bξ+Bv)=

        sTMBξ+sTMBv≤

        (18)

        (19)

        由式(19)知,偏差系統(tǒng)(8)到達(dá)滑模面s=0, 以后將漸近收斂到平衡點(diǎn)e=0。

        4 數(shù)值仿真

        起重機(jī)吊重系統(tǒng)參數(shù):m=5 000 kg,M=2 000 kg,l=5 m,D=0.2,g=9.81 m/s2。

        魯棒滑模觀測器設(shè)計(jì)參數(shù):η=0.4,β=4,ρ=0.05,λ1=λ2=λ3=λ4=6。

        若利用x1(t)變量,則:

        K=[0.05]

        G=[16.00 93.25 -8.65 0.01]T

        若利用x1(t)和x2(t)變量,則:

        系統(tǒng)和觀測器的初值分別為:

        小車驅(qū)動力u(t)=2000sint,不確定性未知函數(shù)ξ(t,X,u)=0.06sin(2πt)。

        圖3 狀態(tài)變量及其觀測信息

        圖4 狀態(tài)變量觀測偏差

        從圖3和圖4可以看出,當(dāng)選擇小車位置信息作為觀測器的輸入時(shí),各狀態(tài)變量的觀測值在約1.5 s時(shí)與其動態(tài)響應(yīng)幾乎完全重合,即各狀態(tài)變量的觀測偏差在約1.5 s時(shí)漸近地趨于零;當(dāng)選擇小車位置和速度信息作為觀測器的輸入時(shí),各狀態(tài)變量的觀測值在約3.5 s時(shí)與其動態(tài)響應(yīng)幾乎完全重合,即各狀態(tài)變量的觀測偏差在約3.5 s時(shí)漸近地趨于零。

        實(shí)驗(yàn)還表明,所設(shè)計(jì)的魯棒滑模觀測器對存在不確定因素導(dǎo)致的非線性不確定性部分具有魯棒性(如圖5所示),并且對不同形式的小車驅(qū)動力具有良好的適應(yīng)性。

        圖5 存在不確定因素時(shí)狀態(tài)變量的觀測誤差

        5 結(jié) 論

        起重機(jī)吊重系統(tǒng)魯棒滑模狀態(tài)觀測器通過所測量的小車位置信息或小車位置與速度信息實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)狀態(tài)變量的觀測。

        仿真實(shí)驗(yàn)表明:當(dāng)選擇小車位置信息作為觀測器的輸入時(shí),各狀態(tài)變量的觀測偏差在約1.5 s時(shí)漸近地趨于零;當(dāng)選擇小車位置和速度信息作為觀測器的輸入時(shí),各狀態(tài)變量的觀測偏差在約3.5 s時(shí)漸近地趨于零;觀測器對系統(tǒng)中的非線性不確定項(xiàng)具有較強(qiáng)的魯棒性,同時(shí)對不同形式的小車驅(qū)動力具有良好的適應(yīng)性。

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