宋巨龍，錢富才，梁錦錦

(1.西安石油大學 理學院,陜西 西安 710065；2.西安理工大學 自動化與信息工程學院，陜西 西安 710048)

在非線性控制領域中，二次型最優(yōu)控制方法是一個值得研究的方向，文獻[1] 提出了非齊次雙線性二次型最優(yōu)控制迭代算法、文獻[2] 基于二次型性能指標對簡單自適應控制系統進行了研究，文獻[3] 給出了一個二次型控制方法在風量空調箱優(yōu)化方面的應用。文獻[4] ～[6] 則對廣義二次型和類二次型以及矩陣的性質及應用進行了研究，文獻[7] 所論及的二次型設計方法則涉及二次型在軍事領域的應用，此外二次型還在航空、自動化、化工[7-9]等諸多領域中有著廣泛的應用。在最優(yōu)化方法中，人們也常常將非線性函數展開為二次函數進行近似求解[10]，這里也涉及二次型。受上述文獻的啟發(fā)我們考慮如果能將非線性函數的三階泰勒多項式加以應用，用三次型替代二次型應該能夠得到更為精確的結果。但是目前較為一般的方法是把非線性函數利用其二次函數替代，這是因為多元函數三次以上的泰勒展開式的形式比較復雜，從幾何意義上看不很明確，利用起來比較困難。比如文獻[11] 對多元函數的泰勒公式進行了研究，但所使用的就是傳統的多元函數泰勒展開式，顯得較為繁瑣而不易理解。此外注意到函數逼近論中很多情況下也是將一個函數用多項式來替代從而達到近似計算的目的[12]，如果我們能給出更高階的、幾何特征正直觀的多項式，也會使這種問題得到更精確的結果。

本文根據目前的研究現狀，從二次型這一概念及其重要的應用性出發(fā)，對二次型進行一個數學意義上的擴展，提出了一個新的概念——三次型。對二次型的運算方式進行稍稍改變，并由此出發(fā)給出三次型的定義和運算方法。從向量、矩陣引申出體陣的概念；從二次型擴展到三次型。還將傳統的二次型和新提出來的三次型在形式上、運算方式上進行了統一，給出了三次型的各階導數。

1 二次型

二次型的定義[4]：

眾所周知，二次型由于其形式特殊、性質特殊、應用范圍廣泛，因而極具研究價值。

推而廣之，不難寫出n元k次齊次多項式。

相信很多人也想過這個問題，只不過對其理論意義和應用價值無法確定，另外由于其表現形式已經比較復雜了，失去了二次型通過矩陣運算相對簡單的特性，因而如何使其運算簡單化，也是需要考慮的一個問題。下面對這些問題逐一進行探討。

2 三次型的定義

為了使得后面所討論的問題能夠有一個比較簡單的形式，先給出一些定義。

定義2稱由n個數a1,a2,…,an組成的n維數組為一個1度n維體陣，記為：

即為通常意義上的n維向量，因而1度n維體陣也和向量看作是相同的。

定義3稱由n2個數aij(i,j=1,2,…,n)組成的正方形數表為一個2度n維體陣，記為：

其中aij=aji(i≠j,i,j=1,2,…,n)。即通常意義上的n階方陣。

定義4稱由n3個數aijk(i,j,k=1,2,…,n)組成的立方體數陣為一個3度n維體陣，記為：

其中:

aijk=aikj=akji=akij=ajik=ajki

(i≠j, 或j≠k, 或k≠i;i,j,k=1,2,…,n)

定義6設有2度n維體陣:

圖1 2度n維體陣與x2的乘積法則

如圖2所示。

圖2 3度n維體陣與x3的乘積法則

3度n維體陣與向量x的冪的乘積方法為：

簡單地說，分三步進行，每次都是將體陣中的每一列和與該列平行的x1,x2,…,xn作內積，最終形成一個數字。由于體陣的對稱性，這種做法可以按可能的任意一種順序進行，其結果都是一樣的。

3 三次型的導數

根據上述定義，從導數的定義出發(fā)，不難推出以下關于三次型的各階導數的結論。

對于上面的結論，因為都非常簡單，所以這里只對3)中的?進行證明。

證明：由于函數的表達式是由n3個項的和構成的，所以我們只需證明任意一項的三階導數都等于其系數即可。設任意一項為akijxkxixj, 分3種情形討論。

綜合以上，可知命題3)的?是成立的。

當我們給出上述表示方法，并且有了相應函數的導數記法，原來已有的多元函數的一些表示方法可以寫成和人們熟悉的一元函數一樣。

例3 此外還可以定義三次多項式函數：

其一階導數為：

二階導數為:

三階導數為:

例4 三階偏導數連續(xù)的多元函數的泰勒公式可以寫為：

f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+

4 結 論

提出了體陣的概念，并通過體陣的定義推導出體陣的導數的形式和導數，給出了一些數學結果及其記法，給出了幾個體陣的運算方法，使得復雜問題得以簡化規(guī)范，并且將多元函數的符號記法及運算結果與一元函數的符號記法及運算結果進行了統一，使得多元函數的表示更加簡潔、更易于理解，該結果有一定的實用價值。

另外，當筆者給出三次型之后，很可能有類似于二次型的應用結果。例如是否存在三次型的特征值和特征向量，其意義如何？再如，動態(tài)系統的穩(wěn)定性一直是理論界和工程界關注的熱點問題之一，因為不穩(wěn)定的系統無法付諸實際應用，而Lyapunov方法是解決這類問題的有力工具。

對于線性系統，判斷平衡點穩(wěn)定性的基本思想為：首先構造一個具有二次型的Lyapunov函數，然后求解Lyapunov方程，就可給出所需的結果。

對于多元多項式非線性系統，用類似的思想也可以對平衡點的穩(wěn)定性進行判斷，只不過需要把二次型的Lyapunov函數推廣到三次正定型，這方面的潛在應用還有待于進一步研究。

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