李 雷， 魏連鑫

（上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海 200093）

指紋識(shí)別技術(shù)被廣泛應(yīng)用于公安刑偵和產(chǎn)品安全驗(yàn)證中，然而由于設(shè)備和環(huán)境等因素的影響，使得采集到的指紋圖像質(zhì)量比較差，給指紋的快速識(shí)別對(duì)比帶來了一定的麻煩.傳統(tǒng)的圖像去噪［1］是在空間域?qū)崿F(xiàn)的，主要方法有均值濾波法、中值濾波法和維納濾波法.小波以其良好的時(shí)頻特性和多分辨率特性，使其在去噪領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用［2－10］.最早的小波閾值去噪方法是由Donoho提出的VisuShrink方法［7－9］，該方法在減少噪聲的同時(shí)能保持圖像的局部奇異性，但仍然會(huì)過度“扼殺”小波系數(shù)，造成一定程度的細(xì)節(jié)丟失.Chang［11］，Kaur［12］等改進(jìn)了閾值的選取方法.本文針對(duì)指紋圖像在采集過程中由于儀器或者傳輸通道而產(chǎn)生的高斯白噪聲，改進(jìn)了VisuShrink方法，提出了一種基于噪聲強(qiáng)度和小波分解層數(shù)的自適應(yīng)指紋去噪方法.

1 VisuShrink方法基本原理

原始圖像和噪聲在小波變換后有不同的統(tǒng)計(jì)特性，圖像本身的能量對(duì)應(yīng)著較大的小波系數(shù)，主要集中在低頻部分，而噪聲的能量對(duì)應(yīng)著較小的小波系數(shù)，分布于整個(gè)小波域中.根據(jù)這一特性，可以找到一個(gè)合適的實(shí)數(shù)作為閾值，當(dāng)小波系數(shù)的幅值大于該閾值時(shí)，予以保留；當(dāng)小波系數(shù)的幅值小于該閾值時(shí)，將小波系數(shù)置零.

小波閾值圖像去噪的主要步驟：a.選擇合適的小波基函數(shù)和分解層數(shù)對(duì)噪聲圖像進(jìn)行小波分解；b.在小波域?qū)Ψ纸夂蟮母鲗酉禂?shù)進(jìn)行閾值處理；c.根據(jù)小波分解的低頻系數(shù)和處理后的高頻系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，得到去噪圖像.

2 改進(jìn)的閾值函數(shù)

2.1 改進(jìn)的閾值函數(shù)

小波閾值去噪方法的關(guān)鍵是小波閾值的量化和閾值函數(shù)的選取.傳統(tǒng)的閾值函數(shù)有軟閾值和硬閾值，其函數(shù)表達(dá)式分別為

式中，sgn（wjk）表示wjk的符號(hào)；wjk為噪聲圖像的小波變換系數(shù)；w′jk為經(jīng)過閾值函數(shù)處理后的小波系數(shù)；δ為閾值.

軟閾值函數(shù)連續(xù)，處理結(jié)果相對(duì)平滑，但處理后的小波系數(shù)會(huì)發(fā)生一定的收縮，造成一定程度的邊緣模糊等失真現(xiàn)象.硬閾值函數(shù)雖然可以很好地保留圖像的邊緣等局部特征，但由于其在閾值點(diǎn)處不連續(xù)，處理后的圖像會(huì)出現(xiàn)震蕩、偽吉布斯效應(yīng).另外，軟、硬閾值函數(shù)都有過度“扼殺”小波系數(shù)的缺點(diǎn)，會(huì)使指紋圖像中很多重要的細(xì)節(jié)信息丟失，對(duì)此，本文提出了一種改進(jìn)的閾值函數(shù)

式中，α（0≤α≤1）為控制參數(shù)，其圖像如圖1所示.

圖1 3種閾值函數(shù)的對(duì)比（δ＝30，α＝0.2）Fig.1 Comparison of three kinds of threshold functions（δ＝30，α＝0.2）

2.2 風(fēng)險(xiǎn)性分析

Donoho等［7－9］利用極小化極大估計(jì)建立了軟、硬閾值理論基礎(chǔ)，并對(duì)這些閾值估計(jì)方法進(jìn)行了詳細(xì)討論.假設(shè)噪聲圖像Y＝（yn）n∈［1，n］為原圖像X＝（xn）n∈［1，n］的觀測(cè)值，即Y＝X＋ζb.其中，ζ為噪聲的方差，b＝（bn）n∈［1，n］為獨(dú)立同分布的高斯白噪聲.該觀察模型經(jīng)小波變換后在小波域中可表示為，wi＝fi＋ζbi，i∈［1，n］.wi，fi分別為含噪圖像與原圖像的小波系數(shù)，白噪聲bi變換后在小波域中仍為白噪聲bi.

對(duì)于小波模型wi＝fi＋ζbi，其Oracle投影子風(fēng)險(xiǎn)［13］為

式中，f為原圖像小波系數(shù)；w為去噪后小波系數(shù).

當(dāng)采用硬閾值估計(jì)方法時(shí)，其風(fēng)險(xiǎn)為

硬閾值估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)大于Oracle投影子的風(fēng)險(xiǎn).對(duì)于軟閾值估計(jì)，適當(dāng)選取δ，其Oracle投影風(fēng)險(xiǎn)接近于Oracle投影子的風(fēng)險(xiǎn).

對(duì)于改進(jìn)的閾值函數(shù)估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)rn（f）：

當(dāng)0＜wi＜δ時(shí)，

當(dāng)－δ＜wi＜0時(shí)，

因此，改進(jìn)的閾值函數(shù)估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)小于硬閾值函數(shù)的.雖然改進(jìn)的閾值函數(shù)的小波系數(shù)幅值收縮程度比軟閾值函數(shù)的小，其投影風(fēng)險(xiǎn)大于軟閾值函數(shù)的，但通過調(diào)節(jié)參數(shù)α和δ的大小，可使其接近于軟閾值函數(shù)估計(jì)的風(fēng)險(xiǎn).

2.3 仿真實(shí)驗(yàn)

選取FVC2004指紋數(shù)據(jù)庫中的102＿3.tif，103＿7.tif，104＿5.tif這3幅圖像，分別利用軟、硬閾值函數(shù)和改進(jìn)的閾值函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn).采用Chang等［11］提出的自適應(yīng)閾值（j＋1），其中，M，N為圖像的尺寸，σ為標(biāo)準(zhǔn)差，j為當(dāng)前分解層數(shù).噪聲圖像經(jīng)過小波分解后，噪聲系數(shù)主要集中在高頻部分，可以用分解尺度為1時(shí)的對(duì)角細(xì)節(jié)高頻系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差來估計(jì)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差.對(duì)圖像加入標(biāo)準(zhǔn)差為18的高斯白噪聲，采用db3小波作3層分解，α分別取0.1與0.2.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示.只列舉圖像104＿5.tif的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，“圖2（e）”為α＝0.1時(shí)的去噪圖像.

圖2 不同閾值函數(shù)的去噪效果對(duì)比（α＝0.1和α＝0.2）Fig.2 The denoising effect comparison between various threshold functions（α＝0.1andα＝0.2）

由圖2看出，經(jīng)硬閾值函數(shù)和改進(jìn)的閾值函數(shù)處理后的圖像，比軟閾值函數(shù)處理后的圖像更加清晰，且細(xì)節(jié)特征更加明顯.表1列出了采用不同閾值函數(shù)去噪后的峰值信噪比PSNR.當(dāng)α＝0.1時(shí)，改進(jìn)的閾值函數(shù)去噪法比軟、硬閾值函數(shù)去噪法獲得了更高的PSNR.當(dāng)α＝0.2時(shí)，只有圖像102＿3.tif的PSNR值略低于硬閾值函數(shù)的.因此，通過適當(dāng)?shù)剡x取α值，改進(jìn)的閾值函數(shù)可以獲得比傳統(tǒng)的閾值函數(shù)更好的去噪效果.

表1 3種閾值去噪方法的PSNR比較Tab.1 Comparison of PSNR between three kinds of denoising methods dB

3 自適應(yīng)模型的建立與檢驗(yàn)

3.1 最優(yōu)參數(shù)α的自適應(yīng)選取

由以上實(shí)驗(yàn)可知，控制參數(shù)α的取值決定了去噪效果的好壞.現(xiàn)通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步研究α對(duì)去噪效果的影響.

對(duì)圖像102＿3.tif分別加入標(biāo)準(zhǔn)差為18，21，24，27，30，33的高斯白噪聲，利用改進(jìn)的閾值函數(shù)進(jìn)行去噪.在區(qū)間［0，1］內(nèi)，利用二分法逐層確定α的最優(yōu)值.規(guī)定：當(dāng)二分次數(shù)s＝8或PSNR之差ε＜10－4時(shí)，終止二分，獲得α最優(yōu)值.計(jì)算結(jié)果如表2所示，保留兩位有效數(shù)字.j代表分解層數(shù).

表2 不同噪聲強(qiáng)度和分解層數(shù)下的控制參數(shù)α最優(yōu)值Tab.2 The bestαunder different noise intensity and different decomposition layers

分析表2的數(shù)據(jù)可知，參數(shù)α在小波分解的第一層取值對(duì)去噪結(jié)果有著相對(duì)較大的影響.隨著噪聲強(qiáng)度的增大和分解層數(shù)的增加，α的取值呈變小趨勢(shì).當(dāng)j＝1時(shí)，噪聲的大小與α的取值呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，采用多項(xiàng)式擬合將更符合模型的走勢(shì).對(duì)表2數(shù)據(jù)分別進(jìn)行1～5次多項(xiàng)式擬合，對(duì)比模型的復(fù)相關(guān)系數(shù)（R－square）和誤差平方和（SSE），在α的取值范圍內(nèi)，結(jié)合模型圖像，本文選取經(jīng)3次多項(xiàng)式擬合得出的σ－α模型，該模型復(fù)相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.998 3，誤差平方和為1.349×10－5.當(dāng)j＝2時(shí)，α＝0.005 0；當(dāng)j≥3時(shí)，α＝0.得到參數(shù)α關(guān)于噪聲強(qiáng)度和分解層數(shù)的σ－j－α模型為

圖3 不同α取值方法的去噪效果對(duì)比Fig.3 The denoising effect comparison between processing methods with different values ofα

當(dāng)σ足夠大，使得α＜0時(shí)，取α＝0.

3.2 模型驗(yàn)證

分別選取軟、硬閾值函數(shù)、模型（1）的α值和最優(yōu)α值對(duì)分別加入標(biāo)準(zhǔn)差為14，25，36的高斯白噪聲的指紋圖像103＿7.tif進(jìn)行去噪.其中，噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為25的噪聲圖像的去噪效果如圖3所示.

不同去噪方法的均方根誤差峰值信噪比如表3所示.

其中，均方根誤差

表3 不同α取值的峰值信噪比對(duì)比Tab.3 Comparison of PSNR with different values ofα

αj代表j層參數(shù)α的取值，j＝1，2，3.3個(gè)噪聲圖像的峰值信噪比分別為25.186 4，19.809 5，16.982 9dB.

由圖3和表3可以看出，自適應(yīng)模型和最優(yōu)參數(shù)去噪效果接近，與軟、硬閾值去噪相比，在更徹底去除噪聲的同時(shí)，也保留了更多的圖像細(xì)節(jié)信息，獲得了更高的峰值信噪比和更小的均方根誤差.由自適應(yīng)模型得出的α值與最優(yōu)值去噪后圖像的PSNR值相對(duì)誤差在1%以內(nèi).當(dāng)σ分別為14，25，36時(shí)，其PSNR相比軟、硬閾值法分別提高了3.5%～7.9%，4.2%～9.5%，4.5%～15.3%.

4 結(jié) 論

指紋圖像去噪是指紋識(shí)別系統(tǒng)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，對(duì)于指紋圖像的讀取、特征提取等具有重要的意義.本文針對(duì)傳統(tǒng)的軟、硬閾值去噪法在指紋圖像去噪中的不足，提出了一種自適應(yīng)選取參數(shù)的閾值函數(shù)，在一定程度上彌補(bǔ)了軟、硬閾值函數(shù)的缺陷.仿真實(shí)驗(yàn)表明，該方法在有效去除噪聲的同時(shí)，保留了指紋圖像中重要的細(xì)節(jié)特征，與軟、硬閾值法相比，去噪后的指紋圖像有更好的視覺效果和客觀評(píng)價(jià).

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