朱佳兵，王秋庭

(武漢科技大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢，430065)

模糊性是普遍存在的，而信息的模糊性對(duì)人類的選擇行為具有重要影響。為了更好地對(duì)信息模糊性進(jìn)行分析，基于模糊性的模型相繼被提出，其中，比較著名的有Choquet期望效用模型[1]、α-極大極小期望效用模型[2]、光滑模糊厭惡模型(KMM Model)[3]等。

將信息模糊性引入保險(xiǎn)市場(chǎng)研究則相對(duì)較晚，國(guó)外的研究主要集中在兩個(gè)方面。第一，考查模糊性對(duì)市場(chǎng)和市場(chǎng)參與者行為的影響。例如，Hogarth等[4]通過實(shí)驗(yàn)觀察了保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人對(duì)模糊性的行為反應(yīng)，結(jié)果表明投保人和保險(xiǎn)人對(duì)模糊性是厭惡的，即在模糊性下，保險(xiǎn)人向投保人收取的保費(fèi)和投保人愿意支付的保費(fèi)都要比 “純風(fēng)險(xiǎn)”情形下的保費(fèi)高；Kunreuther等[5]對(duì)保險(xiǎn)人的模糊性偏好與市場(chǎng)失效之間的關(guān)系進(jìn)行了研究；Alary等[6]研究了模糊性厭惡對(duì)市場(chǎng)需求的影響，認(rèn)為模糊性厭惡會(huì)導(dǎo)致對(duì)自我保險(xiǎn)需求的增加和自我保護(hù)需求的減少；Etner等[7]研究了模糊性厭惡對(duì)醫(yī)療保險(xiǎn)市場(chǎng)的影響，發(fā)現(xiàn)投保人對(duì)醫(yī)療保險(xiǎn)的需求程度與其模糊性程度正相關(guān)。第二，研究模糊性下的最優(yōu)保險(xiǎn)設(shè)計(jì)問題。例如，Gollier[8]在假定投保人為模糊厭惡的情況下，運(yùn)用KMM模型得到最優(yōu)保險(xiǎn)合同與模糊性結(jié)構(gòu)有關(guān)和模糊厭惡的投保人對(duì)最優(yōu)保險(xiǎn)的承保范圍要比其他人低的結(jié)論；Huang等[9]研究發(fā)現(xiàn)，在模糊性條件下，競(jìng)爭(zhēng)性保險(xiǎn)均衡是逆向選擇還是正向選擇，取決于保險(xiǎn)人對(duì)模糊性的厭惡程度。在我國(guó)，由于保險(xiǎn)業(yè)起步較晚，目前的研究大部分還停留在基礎(chǔ)層面，國(guó)內(nèi)幾乎沒有關(guān)于模糊性下保險(xiǎn)市場(chǎng)以及保險(xiǎn)定價(jià)等問題的研究。

通過對(duì)大量文獻(xiàn)的分析發(fā)現(xiàn)，對(duì)于信息模糊性下的保險(xiǎn)市場(chǎng)研究，大部分局限在對(duì)模糊性存在的實(shí)驗(yàn)或?qū)嵶C研究，或者只考慮單邊模糊性或單個(gè)壟斷性保險(xiǎn)人等方面，而對(duì)于雙邊模糊性條件下的保險(xiǎn)市場(chǎng)研究相對(duì)較少。

本文將保險(xiǎn)決策研究拓展到雙邊模糊性范疇，即保險(xiǎn)人與投保人均面臨一定程度的模糊性情況。在假定投保人為風(fēng)險(xiǎn)厭惡、保險(xiǎn)人為風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，探討兩者面臨相同的模糊性程度時(shí)的市場(chǎng)均衡問題，給出模糊性均衡保險(xiǎn)市場(chǎng)中投保人的決策模型，通過對(duì)模型的求解，得到投保人的最優(yōu)保險(xiǎn)決策。

1 模糊性理論概述

令Ω={ω1,…,ωn}為給定的自然狀態(tài)集，Σ為Ω上一代數(shù)，行為(隨機(jī)變量)ξ:Ω→為Ω中每一個(gè)狀態(tài)指定了一個(gè)結(jié)果，v(ω)為基本事件ω發(fā)生的概率。不存在模糊性時(shí)，就是指定給Ω的確定的先驗(yàn)概率，依據(jù)主觀期望效用理論(SEU)，可以得到?jīng)Q策者對(duì)于行為的偏好關(guān)系集，從而得到?jīng)Q策者的最優(yōu)選擇。然而在實(shí)際中，決策者往往得不到相關(guān)事件的準(zhǔn)確信息，獲取的信息多半具有模糊性，這樣就導(dǎo)致了決策者的行為無法用期望效用函數(shù)來描述。為了考慮信息的模糊性，Gilboa等[10]采取了如下方法：用已經(jīng)存在的不同專家意見或多個(gè)先驗(yàn)概率表示信息的模糊性，用一不可加概率測(cè)度表示決策者的信任函數(shù)，用Choquet積分表示其偏好。 一不可加概率測(cè)度或容量v就是一集函數(shù)v∶Σ→，滿足v(?)=0；v(Ω)=1；?A,B∈Σ∶A?B，有v(A)≤v(B)。稱v是凸的，如果滿足v(A∪B)+v(A∩B)≥v(A)+v(B)。

給定凸的容量v，定義其核為：

Core(v)={p|①p為Ω上一測(cè)度；②?A?Ω,p(A)≥v(A)；③p(Ω)=v(Ω)}。

關(guān)于Core(v)，Huber等[11]給出如下性質(zhì)：

v=min{p|p∈Core(v)}

(1)

由上述定義和性質(zhì)可知，Core(v)實(shí)際上可以看成是決策者指定給Ω的可選概率分布，或者說是決策者對(duì)未知信息(模糊性程度)的估算(測(cè)度)，而v則是其核Core(v)中“最糟糕”情況下的概率分布。由此給出模糊性程度的定義。

定義1設(shè)決策者1和決策者2可選的先驗(yàn)概率集分別為A和B，若A?B，則稱決策者2比決策者1面臨更多的模糊性。

若A=B，即決策者1和決策者2面臨相同的模糊性，由式(1)可知，他們指定在原狀態(tài)空間Ω上各狀態(tài)的先驗(yàn)概率是相等的。

當(dāng)模糊性存在時(shí)，關(guān)于決策者對(duì)行為ξ的評(píng)價(jià)U(ξ)，文獻(xiàn)[10]給出了如下定理。

(2)

和

(3)

同時(shí)隨機(jī)變量ξ對(duì)相應(yīng)的不可加概率測(cè)度v的Choquet積分可以表示為:

(4)

式中：Ti=T{ωi},T={ω1,…,ωn}。所有不可加概率測(cè)度組成的集合V為對(duì)自然數(shù)運(yùn)算的一個(gè)線性空間。

2 模糊性下的保險(xiǎn)市場(chǎng)模型

保險(xiǎn)實(shí)際上是一種風(fēng)險(xiǎn)管理方式，而風(fēng)險(xiǎn)最終只可能有兩種狀態(tài)：發(fā)生或不發(fā)生，投保人根據(jù)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的評(píng)估來決定買何種保險(xiǎn)。故本文對(duì)所研究的保險(xiǎn)市場(chǎng)作如下假定：

(1)保險(xiǎn)市場(chǎng)中有足夠多的保險(xiǎn)人和投保人，同時(shí)市場(chǎng)是均衡的，也就是說市場(chǎng)上提供了多種保險(xiǎn)產(chǎn)品供投保人選擇。

(2)市場(chǎng)只有兩種可能的狀態(tài)，或者說Ω={Accident, No-accident}，簡(jiǎn)寫為Ω={A, N}。

(3)保險(xiǎn)人與投保人關(guān)于“風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生幾率”的信息是模糊的，即無法知道風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的客觀概率。

對(duì)保險(xiǎn)人來說，通過風(fēng)險(xiǎn)的匯聚，可以對(duì)同質(zhì)的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行識(shí)別。所以，一般來說被保險(xiǎn)人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度更強(qiáng)。本文假定，保險(xiǎn)人為風(fēng)險(xiǎn)中性的，投保人為風(fēng)險(xiǎn)厭惡的。

m({A})=v({A}),m({N})=v({N})

(5)

m({A,N})=v(Ω)-v({A})-v({N})=

1-v({A})-v({N})

(6)

設(shè)投保人和保險(xiǎn)人的初始財(cái)富值分別為w0和w1，投保標(biāo)的價(jià)值為d。投保人提供的保險(xiǎn)合同為(P,I)，表示保險(xiǎn)人向投保人收取保費(fèi)P，當(dāng)損失d發(fā)生時(shí)，對(duì)投保人給予賠付Ι，Ι為非負(fù)數(shù)。記(ξ(A),ξ(N)) 和(ξ′(A),ξ′(N))分別為保險(xiǎn)人和投保人在風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生或者不發(fā)生后的財(cái)富值，u(w)為期望效用函數(shù)。購買保險(xiǎn)(P,I)后，投保人的財(cái)富值

ξ(A)=w0-d+I-P,ξ(N)=w0-P

(7)

由式(4)知：

=u(ξ(A))m({A})+u(ξ(N))m({N})+

m({A,N})min[u(ξ(A)),u(ξ(N))]

(8)

對(duì)保險(xiǎn)人來說，他希望通過出售保險(xiǎn)來使收益最大化。出售保險(xiǎn)(P,I)的Choquet期望效用為

=u(ξ′(A))m({A})+u(ξ′(N))m({N})+

m({A,N})min[u(ξ′(A)),u(ξ′(N))]

(9)

式中：ξ′(A)=w1-I+P,ξ′(N)=w1+P。

由保險(xiǎn)人為風(fēng)險(xiǎn)中性可知u(w)=w，代入式(9)，化簡(jiǎn)得 ：

U′=w1+P-(1-vN)I

(10)

對(duì)于均衡市場(chǎng)，通常是零期望賠付的，即U′-w1=0，所以有

(11)

均衡市場(chǎng)下，投保人選擇最優(yōu)保險(xiǎn)的問題實(shí)際上就是最大化其Choquet期望效用問題，即求解如下最優(yōu)化問題：

(12)

3 模型求解

因投保人為風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，可知其效用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)u″<0和u′>0，故效用函數(shù)u是單增的。

易知，當(dāng)I>d時(shí)，u(ξ(A))>u(ξ(N))；當(dāng)I

最優(yōu)化問題(12)可化為

(13)

將式(7)和式(11)代入上式，有

(14)

對(duì)P求導(dǎo)，有

(15)

由于模糊性的存在，故

m({A,N})=1-vA-vN>0

(16)

所以

(17)

又因?yàn)楫?dāng)P>(1-vN)d時(shí)，

(18)

(19)

隨著模糊性程度的增加，即m({A,N})的增加，保險(xiǎn)人和被保險(xiǎn)人認(rèn)為損失發(fā)生的概率m({A})和不發(fā)生的概率m({N})會(huì)相應(yīng)地減少。由前面的分析知道，保險(xiǎn)公司向投保人收取的保費(fèi)P將會(huì)增加，而所支付的賠付I則會(huì)減少。盡管如此，當(dāng)損失發(fā)生時(shí)，投保人依然會(huì)得到全額賠付，只不過隨著投保人模糊性程度的增加，其凈收益會(huì)相應(yīng)地減少而已。

4 結(jié)語

本文在引入模糊性的基礎(chǔ)上討論了一個(gè)簡(jiǎn)單均衡保險(xiǎn)市場(chǎng)模型下的投保人最優(yōu)決策問題。通過分析得出，在保險(xiǎn)人與投保人面臨模糊性程度相同的情況下，足額保險(xiǎn)為投保人的最優(yōu)選擇，同時(shí)隨著模糊性程度的增加，投保人需要繳納的保費(fèi)會(huì)相應(yīng)地增加，而凈收益會(huì)相應(yīng)地減少。

本文考慮了保險(xiǎn)人與投保人模糊性程度相同的情況，但并未對(duì)兩者模糊性程度不同的情況進(jìn)行分析，這一點(diǎn)還有待于拓展。再者，保險(xiǎn)市場(chǎng)與再保險(xiǎn)市場(chǎng)都涉及到風(fēng)險(xiǎn)管理問題，但不同于保險(xiǎn)市場(chǎng)的是，再保險(xiǎn)市場(chǎng)要解決的主要是對(duì)已知風(fēng)險(xiǎn)的再轉(zhuǎn)移情況，能否以及怎樣將模糊性理論應(yīng)用到再保險(xiǎn)市場(chǎng)也是值得進(jìn)一步研究的。

[1] Gilboa I, Schmeidler D. Maximin expected utility with non-unique prior[J].Journal of Mathematical Economics, 1989, 18:141-153.

[2] Ghirardato P, Maccheroni F, Marinacci M. Differentiating ambiguity and ambiguity attitude[J]. Journal of Economic Theory, 2004, 118:133-173.

[3] Klibanoff P, Marinacci M, Mukerji S. A smooth model of decision making under ambiguity[J]. Econometrica, 2005, 73(6):1849-1892.

[4] Hogarth R, Kunreuther H. Risk, ambiguity, and insurance[J]. Journal of Risk and Uncertainty, 1989, 2(1):5-35.

[5] Kunreuther H, Hogarth R, Meszaros J. Insurer ambiguity and market failure[J]. Journal of Risk and Uncertainty, 1993, 7(1):71-87.

[6] Alary D, Gollier C，Treich N. The effect of ambiguity aversion on insurance and self-protection[J]. The Economic Journal，2013，123:1188-1208.

[7] Etner J, Spaeter S. The impact of ambiguity on health prevention and insurance[EB/OL]. (2010-04-11)[2013-08-01].http://www.beta-umr7522.fr/productions/publications/2010/2010-08.pdf.

[8] Gollier C. Optimal insurance design of ambiguous risks[EB/OL].(2012-05-29)[2013-01-12].http://idei.fr/doc/by/gollier/optimalAA3.pdf.

[9] Huang R J, Snow A, Tzeng L Y. Competitive insurance contracting with ambiguity and asymmetric information[EB/OL].[2014-01-15].http://www.smeal.psu.edu/rm/law-and-business-conference/competitive-insurance-contracting-with-ambiquity-and-asymmetric-information.

[10]Gilboa I, Schmeidler D. Additive representations of non-additive measures and Choquet integral[J]. Annals of Operations Research, 1994, 52:43-65.

[11]Huber P J, Strassen V. Minimax tests and the Neyman-Pearson Lemma for capacities[J]. The Annals of Statistics, 1973, 2:251-263.