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        聯(lián)合生存概率準(zhǔn)則下最優(yōu)變損再保險(xiǎn)研究

        2019-09-17 08:31:16王淑敏
        關(guān)鍵詞:保險(xiǎn)人最大化損失

        王淑敏 房 瑩

        ( 山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,250358,濟(jì)南 )

        1 引 言

        從二十世紀(jì)六十年代開始,最優(yōu)再保險(xiǎn)的研究已經(jīng)經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì)的歷史,最優(yōu)再保險(xiǎn)也成為近年來越來越流行的課題之一.在精算文獻(xiàn)中,關(guān)于最優(yōu)再保險(xiǎn)研究的文獻(xiàn)已有許多,例如Centeno(1991)[1],Sung(2011)[2],Chi和Weng(2013)[3],Kaluszka(2005)[4],Promislow和Young(2005)[5]以及Cai和Tan(2007)[6]等人的文獻(xiàn).這些文獻(xiàn)的一個(gè)共同特征是最優(yōu)性考慮的是一方的利益,即保險(xiǎn)人的利益.通過采取再保險(xiǎn)策略,保險(xiǎn)人能控制他們的全部風(fēng)險(xiǎn).出于不同的目的,保險(xiǎn)人可以通過不同的方式來設(shè)計(jì)再保險(xiǎn)策略.例如Sung等人(2011)通過最大化保險(xiǎn)人財(cái)富的期望效用函數(shù)來研究最優(yōu)再保險(xiǎn)策略,而Chi和Weng(2013)則是通過最小化保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)損失(VaR)來研究最優(yōu)再保險(xiǎn)策略.從風(fēng)險(xiǎn)管理的角度來看,最小化保險(xiǎn)人損失的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(VaR)是一種流行的再保險(xiǎn)模式,例如Kaluszka (2005),Promislow和Young(2005)以及Cai和Tan(2007)等人的文獻(xiàn)中都采取了這種模式.

        一份再保險(xiǎn)合同涉及保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人兩方,并且雙方有利益沖突.因此,如果我們只考慮保險(xiǎn)人的利益,對(duì)于再保險(xiǎn)人來說可能并不公平.Borch(1969)[7]指出對(duì)于保險(xiǎn)人的最優(yōu)再保險(xiǎn)合同對(duì)于再保險(xiǎn)人來說可能不是最優(yōu)的,也可能是不可接受的.關(guān)于最優(yōu)再保險(xiǎn),一個(gè)有趣的問題是設(shè)計(jì)一種再保險(xiǎn),使其兼顧保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人兩方的利益.Borch(1960)[8]首先考慮了這個(gè)問題,他研究了使雙方財(cái)富的期望效用函數(shù)的乘積最大化的最優(yōu)比例保留額和最優(yōu)止損自留額.Cai等人(2013)[9]研究了比例再保險(xiǎn)和止損再保險(xiǎn)在期望值保費(fèi)原則下,保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的聯(lián)合生存概率函數(shù)以及聯(lián)合盈利概率函數(shù)的最大化問題.

        本文是在Cai等人(2013)最優(yōu)準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上,研究了最優(yōu)的變損再保險(xiǎn)策略.通過研究他們的聯(lián)合生存概率函數(shù),給出了最優(yōu)變損再保險(xiǎn)策略存在的充分必要條件,并且得到了最優(yōu)的自留額與比率.

        2 變損再保險(xiǎn)

        假設(shè)X是保險(xiǎn)人總的風(fēng)險(xiǎn)損失,我們假定X是一個(gè)非負(fù)隨機(jī)變量,并且有分布函數(shù)F(x)=Pr{X≤x},生存函數(shù)S(x)=1-F(x)以及均值EX=μ>0.

        變損再保險(xiǎn)是一種簡單的分保形式,是指當(dāng)損失X0的情況.

        因再保險(xiǎn)人分擔(dān)保險(xiǎn)人的部分風(fēng)險(xiǎn),故保險(xiǎn)人應(yīng)以保費(fèi)的形式向再保險(xiǎn)人支付費(fèi)用.我們假設(shè)保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的保費(fèi)按照期望值原則計(jì)算,那么再保險(xiǎn)人和保險(xiǎn)人的保費(fèi)收入分別為

        (1)

        (2)

        其中θI,θR分別為保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的安全負(fù)荷因子,uI>0,uR>0分別為保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的初始財(cái)富.

        在實(shí)務(wù)中,保險(xiǎn)人會(huì)將風(fēng)險(xiǎn)更大的損失轉(zhuǎn)移給再保險(xiǎn)人,不失一般性,我們假定θI<θR,另外,從收益角度來看,保險(xiǎn)人獲得的保費(fèi)收入PI(c,d)必須是正的,因此有

        (3)

        3 保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的聯(lián)合生存概率

        在變損再保險(xiǎn)中,比率c與自留額d組成參數(shù)組合(c,d),設(shè)D為可行的比率與自留額區(qū)域,故有

        在變損再保險(xiǎn)中,保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的聯(lián)合生存概率函數(shù)為

        Js(c,d)=Pr{XR≤uR+PR(c,d),XI≤uI+PI(c,d)}

        (4)

        定理1在D區(qū)域內(nèi),以下集合均是非空的:

        (5)

        又因?yàn)镚1(c,d)關(guān)于c,d是連續(xù)的,所以集合(5)均是非空的.定理即證.

        (6)

        (7)

        (8)

        又因?yàn)?1,dR)∈D,所以,當(dāng)c→1,d→dR時(shí),由(7)和(8)得

        (9)

        (10)

        (ii) 如果uI>(θR-θI)μ,那么以下集合均是非空的:

        (11)

        證明同定理2,故在此省略.

        最后,我們得出保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的聯(lián)合生存概率函數(shù).

        (12)

        (13)

        其中

        (14)

        4 最優(yōu)再保險(xiǎn)參數(shù)

        證由定理4(i)知保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的聯(lián)合生存概率函數(shù)為(12),如果d≤uI+PI,那么

        證由定理4(ii)知保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的聯(lián)合生存概率函數(shù)為(13),當(dāng)d≤uI+PI時(shí),

        例1令θI=0.2,θR=0.4,uR=50,uI=20,假設(shè)X有指數(shù)型分布的生存函數(shù)S(x)=e-0.01x,μ=100,

        圖1 例1的最優(yōu)參數(shù)組合

        圖2 例2的最優(yōu)參數(shù)組合

        例2令θI=0.2,θR=0.3,uR=10,uI=8,X有帕累托型分布的生存函數(shù)

        5 結(jié) 語

        在本文中,我們研究了聯(lián)合生存概率準(zhǔn)則下變損再保險(xiǎn)的最優(yōu)策略.首先,給出了在變損再保險(xiǎn)下保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人的聯(lián)合生存概率;其次,在期望值保費(fèi)原則下,最大化雙方的聯(lián)合生存概率函數(shù),得到了變損再保險(xiǎn)最優(yōu)的自留額與比例;最后,給出了變損再保險(xiǎn)最優(yōu)自留額與比例的數(shù)值分析.我們還指出了需要做進(jìn)一步研究的問題.首先,多重最優(yōu)條件的存在通常成立,因此,需要第二個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來選擇唯一的最優(yōu)再保險(xiǎn)參數(shù)(c,d);其次變損再保險(xiǎn)可以推廣到其他形式的再保險(xiǎn).對(duì)于這兩個(gè)問題,我們希望在未來能做更進(jìn)一步地研究.

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