呂會(huì)茹， 王永茂， 管 巍， 王 紅

(燕山大學(xué)理學(xué)院 河北秦皇島066004)

0 引言

提到保險(xiǎn)欺詐，人們往往會(huì)聯(lián)想到投保人或被保險(xiǎn)人的保險(xiǎn)欺詐行為.然而，近年來保險(xiǎn)公司的欺詐行為也屢見不鮮［1］.其最主要的原因是保險(xiǎn)市場中的信息不對稱.在保險(xiǎn)交易中，可以依據(jù)保險(xiǎn)合同雙方將信息不對稱分為兩類:一類是因?yàn)楸ｋU(xiǎn)標(biāo)的通常被投保人與被保險(xiǎn)人所控制，而保險(xiǎn)人不容易了解保險(xiǎn)標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)狀況的信息不對稱;另一類是由于投保人以及被保險(xiǎn)人不了解保險(xiǎn)人的償付能力的信息不對稱［2］.本文主要在第2種情況下進(jìn)行分析.

絕大部分保險(xiǎn)人自身財(cái)富水平和承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)能力有限，會(huì)通過購買再保險(xiǎn)分散風(fēng)險(xiǎn)［3-4］，因此再保險(xiǎn)人為了自身的利益會(huì)對保險(xiǎn)人的監(jiān)管水平進(jìn)行監(jiān)督，避免因保險(xiǎn)人道德水平不高，給自身帶來經(jīng)濟(jì)損失.本文提到的道德水平有兩層含義:一是保險(xiǎn)人的償付能力是否充足;二是保險(xiǎn)人在承保期間，對投保人的監(jiān)管水平.

1 模型的假設(shè)條件

本文中，假設(shè)只有一位保險(xiǎn)人和再保險(xiǎn)人，且投保人為同質(zhì)的，僅要求賠付一次保險(xiǎn)金.其他具體假設(shè)條件為:

1)假設(shè)保險(xiǎn)人為風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，財(cái)富水平s，且s＞0，也可視為償付水平為s，效用函數(shù)的形式為u(s)=-γe-γs，γ ＞0，則有u'(s)=γ2e-γs＞0，u″(x)=-γ3e-γs＜0，絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為 γ［5］．令再保險(xiǎn)人是風(fēng)險(xiǎn)中性的，且其期望利潤為零．

2)假設(shè)保險(xiǎn)人對投保人進(jìn)行監(jiān)管的成本為c，且c≥0．因?yàn)楸ｋU(xiǎn)人對投保人的監(jiān)管水平?jīng)Q定著其賠付率，所以可以假設(shè)保險(xiǎn)人對投保人的賠付率為p(c)．一般來說，監(jiān)管成本越多，則監(jiān)管水平越高，賠付事件發(fā)生的概率越小，即p'(c)＜0，p″(c)＞0．若賠付事件發(fā)生，賠付額為定值α，賠付率為p(c)，那么賠付事件未發(fā)生(賠付額為零)的概率為h=p(0)=1-p(c)．同時(shí)，令

應(yīng)注意到這里的參數(shù)λ＞γ．

3)若保險(xiǎn)人進(jìn)行再保險(xiǎn)，則令保險(xiǎn)人交付給再保險(xiǎn)人的保費(fèi)為π．當(dāng)賠付事件發(fā)生時(shí)，保險(xiǎn)人賠付給投保人的保險(xiǎn)金為α，從再保險(xiǎn)人處得到的保險(xiǎn)金額為β(β≤α)．且假設(shè)保費(fèi)的形式為π=p(c)·β，可知再保險(xiǎn)的保費(fèi)π是保險(xiǎn)人監(jiān)管成本c和再保險(xiǎn)金β的函數(shù)，亦可記為π=π(c，β)．

定義1 設(shè)使保險(xiǎn)人對投保人賠付最小，期望效用最大的最優(yōu)監(jiān)管成本為c*，稱c*為有效監(jiān)管成本，其表達(dá)式為 c*=(ln(λhα))/λ．

2 保險(xiǎn)人償付能力不足時(shí)保險(xiǎn)人的監(jiān)管水平

當(dāng)保險(xiǎn)人的償付能力不足時(shí)，由于受到自身財(cái)富水平的限制，不能承擔(dān)投保人損失發(fā)生時(shí)應(yīng)賠付的保險(xiǎn)金額，此時(shí)有s＜α．有時(shí)雖然保險(xiǎn)人進(jìn)行了再保險(xiǎn)，但因受到簽訂合同中再保險(xiǎn)金的限制，也不能完全賠付投保人的保險(xiǎn)金．一旦投保人發(fā)生損失且要求賠償，保險(xiǎn)人只能賠付s．

當(dāng)保險(xiǎn)人的償付水平s=α?xí)r，因?yàn)楸ｋU(xiǎn)人是厭惡風(fēng)險(xiǎn)的，所以只要其進(jìn)行再保險(xiǎn)一定能提高自身的效用水平;當(dāng)保險(xiǎn)人的償付水平s≤c+p(c)·α?xí)r，進(jìn)行再保險(xiǎn)會(huì)使自身效用水平降低，故存在某一償付水平s0(c+p(c)·α＜s0＜α)為是否進(jìn)行再保險(xiǎn)的臨界點(diǎn)，使(2)式成立，

p(c)·u(-c)+［1-p(c)］·u(s0-c)=p(c)·u(s0-α-c-π+β)+［1-p(c)］·u(s0-c-π)．(2)

2．1 不進(jìn)行再保險(xiǎn)時(shí)的監(jiān)管成本

從自身效用出發(fā)，保險(xiǎn)人不進(jìn)行再保險(xiǎn)需要滿足的條件是

當(dāng)保險(xiǎn)人償付能力不足時(shí)，無法對投保人進(jìn)行足額的賠付，投保人不能得到的保險(xiǎn)金額為α-s．由此可得，保險(xiǎn)人能夠賠付的保險(xiǎn)金的期望為p(c)s，投保人自行承擔(dān)的賠償為p(c)·(α-s)．此種情形下，保險(xiǎn)人為了自身效用的最大化，需要做的是選擇合適的監(jiān)管水平，即

定理1 當(dāng)保險(xiǎn)人償付能力不足且不進(jìn)行再保險(xiǎn)時(shí)，存在臨界財(cái)富水平s*使其選擇是否對投保人進(jìn)行監(jiān)管，且時(shí)，則保險(xiǎn)人不會(huì)對投保人進(jìn)行監(jiān)管，即 c=0;當(dāng)s∈(s*，α)時(shí)，則保險(xiǎn)人會(huì)對投保人進(jìn)行監(jiān)管，且監(jiān)管成本，可知保險(xiǎn)人財(cái)富足夠少時(shí)，其會(huì)選擇不監(jiān)管，即c=0;保險(xiǎn)人的財(cái)富很少時(shí)，期望賠付的保險(xiǎn)金也很少，想通過提高監(jiān)管程度來降低賠付的保險(xiǎn)金幅度也很小，為了自身效用最大化，其會(huì)不進(jìn)行監(jiān)管，即c=0．因此，可以認(rèn)為有一臨界財(cái)富水平s*使其選擇是否監(jiān)管．可以通過模型(6)求得

證明 對式(4)兩邊求c的一階導(dǎo)數(shù)，可得

從上式的結(jié)果可知，當(dāng)保險(xiǎn)人的償付能力不足時(shí)，如果其對投保人進(jìn)行一定的監(jiān)管，那么監(jiān)管水平與不監(jiān)管時(shí)的賠付概率h以及自身償付水平s成正相關(guān)．并且賠付概率h越大，對投保人賠付的期望降低幅度就越大，保險(xiǎn)人就會(huì)愿意進(jìn)行高水平的監(jiān)管工作;保險(xiǎn)人的償付水平越高，其承擔(dān)的賠付責(zé)任比重越大，其所逃脫的責(zé)任越少，這種情況下提高監(jiān)管水平就會(huì)大幅地減少自己的賠付金額．因此，保險(xiǎn)人是很愿意進(jìn)行高水平的監(jiān)管的．

2．2 進(jìn)行再保險(xiǎn)時(shí)的監(jiān)管成本

若保險(xiǎn)人進(jìn)行了再保險(xiǎn)，再保險(xiǎn)人就會(huì)在投保人發(fā)生損失且要求賠償時(shí)，承擔(dān)部分賠償責(zé)任，這樣就會(huì)

若s∈(s*，α)時(shí)，則償付水平為s的保險(xiǎn)人會(huì)對投保人進(jìn)行一定的監(jiān)管，即監(jiān)管成本c＞0．此時(shí)可求出使保險(xiǎn)人效用最大化的監(jiān)管成本滿足一階最優(yōu)條件，由式(7)有

把式(1)和保險(xiǎn)人的效用函數(shù)u(s)=-γe-γs代入式(8)，可得c

把式(1)和保險(xiǎn)人的效用函數(shù)u(s)=-γe-γs代入式(6)，從而臨界財(cái)富水平(即臨界償付水平)s*為有效地解決保險(xiǎn)人因財(cái)富水平有限導(dǎo)致的償還能力不足的問題．若其進(jìn)行再保險(xiǎn)，為使自身效用最大化需滿足(9)式，

從2．1節(jié)的分析可知，不等式(9)與s0＜s＜α等價(jià)．當(dāng)投保人不要求賠付時(shí)，保險(xiǎn)人的財(cái)富水平為s-π;當(dāng)投保人要求保險(xiǎn)人理賠時(shí)，保險(xiǎn)人的財(cái)富水平變?yōu)閟-π-α+β．那么，保險(xiǎn)人此種情況下的期望效用模型為 E［u(c)］=p(c)·u(s-α-c-π +β)+［1-p(c)］·u(s-c-π)．

與保險(xiǎn)人對投保人的行為進(jìn)行監(jiān)管一樣，再保險(xiǎn)人也會(huì)對保險(xiǎn)人的行為進(jìn)行監(jiān)督．假設(shè)存在一個(gè)隨機(jī)變量θ，表示再保險(xiǎn)人能夠監(jiān)督到的保險(xiǎn)人對投保人監(jiān)管水平，因?yàn)樽兞喀扰c再保險(xiǎn)人實(shí)施監(jiān)督的時(shí)間有關(guān)，所以再保險(xiǎn)人監(jiān)督到的保險(xiǎn)人的監(jiān)管水平與保險(xiǎn)人真實(shí)情況的監(jiān)管水平是存在差異的，即為θ-c．

定義2 設(shè)θ=c+ε，其中ε為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，其分布依賴于c．若ε=0，則稱再保險(xiǎn)人對保險(xiǎn)人是完全監(jiān)督的，即再保險(xiǎn)人的監(jiān)督水平與保險(xiǎn)人的監(jiān)管水平無差異;若ε特別大，則稱再保險(xiǎn)人對保險(xiǎn)人是完全不能監(jiān)督的，即再保險(xiǎn)人的監(jiān)督水平與保險(xiǎn)人的監(jiān)管水平無關(guān)．

定理2 當(dāng)保險(xiǎn)人償付水平不足且滿足條件s∈(s0，α)和θ=c時(shí)，則有 β=α，c=(ln(λhα))/λ．證明 當(dāng)θ=c時(shí)，有π=π(c，β)=p(c)·β．保險(xiǎn)人為使自身效用最大化，滿足的數(shù)學(xué)模型為

對式(10)兩端分別求c和β的一階偏導(dǎo)數(shù)且令偏導(dǎo)數(shù)為0，有

把式(1)和保險(xiǎn)人的效用函數(shù)代入式(11)和式(12)，可得β=α，c=(ln(λhα))/λ．

由此可知，若再保險(xiǎn)人能完全監(jiān)督到保險(xiǎn)人的監(jiān)管水平，那么保險(xiǎn)人會(huì)轉(zhuǎn)移全部的風(fēng)險(xiǎn)，投全額的再保險(xiǎn)，同時(shí)對投保人進(jìn)行有效地監(jiān)督．

定理3 當(dāng)保險(xiǎn)人償付水平不足且滿足條件s∈(s0，α)及θ與c無關(guān)時(shí)，則有

證明 當(dāng)θ與c無關(guān)時(shí)，有π=π(β)=p(c)·β．即在再保險(xiǎn)人完全不能監(jiān)督時(shí)，保險(xiǎn)人支付的再保險(xiǎn)費(fèi)僅與再保險(xiǎn)合同上規(guī)定的再保險(xiǎn)金β有關(guān)．保險(xiǎn)人為使自身效用最大化，滿足的模型為

同理，對式(13)兩端分別求c和β的一階偏導(dǎo)數(shù)且令偏導(dǎo)數(shù)為0，有

把式(1)和保險(xiǎn)人的效用函數(shù)代入式(14)和式(15)，解方程組可得

由此可知，若再保險(xiǎn)人完全不能監(jiān)督到保險(xiǎn)人的監(jiān)管水平，那么保險(xiǎn)人僅會(huì)進(jìn)行部分的再保險(xiǎn)．

3 保險(xiǎn)人償付能力充足時(shí)保險(xiǎn)人的監(jiān)管水平

第2節(jié)分析了保險(xiǎn)人償付能力不足時(shí)存在道德風(fēng)險(xiǎn)，這是一種保險(xiǎn)人的欺詐方式．然而，當(dāng)保險(xiǎn)人償付能力充足時(shí)，由于其道德水平低下，為了自身利益，也會(huì)有欺詐行為發(fā)生．

3．1 不進(jìn)行再保險(xiǎn)時(shí)的監(jiān)管成本

利用效用理論可知，保險(xiǎn)人不進(jìn)行再保險(xiǎn)時(shí)應(yīng)滿足條件是

因保險(xiǎn)人是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，且再保險(xiǎn)的保費(fèi)為π=p(c)·β，不滿足(5)式．可知，保險(xiǎn)人一定會(huì)進(jìn)行再保險(xiǎn)來提升其自身的效用．因此，本文不再對此種情形進(jìn)行討論．

3．2 進(jìn)行再保險(xiǎn)時(shí)的監(jiān)管成本

眾所周知，保險(xiǎn)人進(jìn)行再保險(xiǎn)的目的是為了通過再保險(xiǎn)來提高自己的效用，用效用函數(shù)描述為

當(dāng)投保人不要求賠付時(shí)，保險(xiǎn)人的財(cái)富水平為s-π;當(dāng)投保人要求保險(xiǎn)人理賠時(shí)，保險(xiǎn)人的財(cái)富水平變?yōu)閟-π-α+β．那么，保險(xiǎn)人此種情況下的期望效用模型為

與2．2節(jié)對比可知，保險(xiǎn)人償付水平充足時(shí)進(jìn)行再保險(xiǎn)的期望效用模型與其償付水平不足時(shí)進(jìn)行再保險(xiǎn)的期望效用模型是一樣的．因此，本文不再對此種情形進(jìn)行分析．

4 建議

從上面的分析中可以得知，當(dāng)保險(xiǎn)人償付能力不足時(shí)，若進(jìn)行再保險(xiǎn)且再保險(xiǎn)人對其監(jiān)督水平越高，越可以促進(jìn)保險(xiǎn)人的監(jiān)管水平.這說明再保險(xiǎn)人對保險(xiǎn)人的行為有著約束作用.但是，保險(xiǎn)人不進(jìn)行再保險(xiǎn)時(shí)，這種約束就不起作用了.因此，也需要保監(jiān)會(huì)和社會(huì)大眾對其進(jìn)行監(jiān)督.

信息不對稱是保險(xiǎn)行業(yè)中出現(xiàn)欺詐的主要原因，而且保險(xiǎn)人償付能力不足是保險(xiǎn)欺詐的主要形式之一，就此我國需加強(qiáng)立法，要求保險(xiǎn)人增加信息透明度，定期向社會(huì)公眾發(fā)布自己的財(cái)政信息.同時(shí)，對于違反保險(xiǎn)法的公司，要加大處罰力度，對于表現(xiàn)好的保險(xiǎn)公司可給予一些獎(jiǎng)勵(lì)，例如可以通過減少稅收的方式.

［1］ 唐芳.保險(xiǎn)公司也欺詐［J］.經(jīng)營與管理，2006，22(5):20-21.

［2］ 陶存文.中國保險(xiǎn)交易制度成本研究［M］.上海:立信會(huì)計(jì)出版社，2005.

［3］ Sonderman D.Reinsurance in arbitrage-free markets［J］.Insurance:Mathematics and Economics，1999，10(2):191-202.

［4］ Kaluszka M.Optimal reinsurance under mean-variance premium principles［J］.Insurance:Mathematics and Economics，2001，28(1):61-67.

［5］ 吳嵐，王燕.風(fēng)險(xiǎn)理論［M］.北京:中國財(cái)政經(jīng)濟(jì)出版社，2006.