徐 剛, 于泳波

(1.東北石油大學(xué) 秦皇島分校 基礎(chǔ)部 河北 秦皇島 066004；2.秦皇島興榮海事中等職業(yè)學(xué)校 基礎(chǔ)部 河北 秦皇島 066100)

具有不耐煩顧客的M/M/1單重工作休假排隊系統(tǒng)

徐 剛1, 于泳波2

(1.東北石油大學(xué) 秦皇島分校 基礎(chǔ)部 河北 秦皇島 066004；2.秦皇島興榮海事中等職業(yè)學(xué)校 基礎(chǔ)部 河北 秦皇島 066100)

討論了一個具有不耐煩顧客的M/M/1單重工作休假排隊系統(tǒng).工作休假期到達(dá)的顧客變得不耐煩并激活一個服從負(fù)指數(shù)分布的計時器，如果在計時器到期之前顧客沒能完成服務(wù)，則該顧客離開系統(tǒng)，永不返回.通過平衡方程和母函數(shù)推導(dǎo)出正規(guī)忙期和工作休假期的平均隊長等性能指標(biāo)的解析表達(dá)式.通過數(shù)值算例考察了兩個服務(wù)率對系統(tǒng)性能指標(biāo)的影響.

不耐煩顧客； 工作休假； 排隊； 平衡方程； 母函數(shù)

0 引言

在過去的20年里，休假排隊模型得到了廣泛深入的研究，其研究成果已應(yīng)用到很多領(lǐng)域[1-3].近幾年，工作休假排隊和具有不耐煩顧客的排隊成為研究的熱點.文[4-9]引入工作休假并研究了不同工作休假的排隊問題，采用多種方法得到排隊模型并對數(shù)值結(jié)果進(jìn)行了分析.

本文在經(jīng)典M/M/1單重休假排隊系統(tǒng)中增加了顧客的不耐煩性和休假期并未完全停止工作兩個新的影響因素，利用平衡方程和母函數(shù)，推導(dǎo)出忙期和工作休假期的平均隊長等性能指標(biāo)的解析表達(dá)式.通過數(shù)值算例考察了兩個服務(wù)率對系統(tǒng)性能指標(biāo)的影響.

1 模型描述

考慮一個具有不耐煩顧客的M/M/1單重工作休假排隊系統(tǒng)，系統(tǒng)中只有一個服務(wù)臺，每次只能接待一位顧客，并假設(shè)：

1) 顧客按照參數(shù)為λ的Poisson流到達(dá).

2)每位顧客所需的服務(wù)時間服從負(fù)指數(shù)分布，在忙期服務(wù)員的服務(wù)率為μb.現(xiàn)加入單重工作休假規(guī)則：一旦系統(tǒng)中沒有顧客即正規(guī)忙期結(jié)束，服務(wù)員立即進(jìn)入一個隨機(jī)長度為V的工作休假中，休假時間V服從參數(shù)為θ的負(fù)指數(shù)分布.與通常的休假策略不同，服務(wù)員在假期內(nèi)并未完全停止工作，而是以較低的速率μv(≤μb)為顧客服務(wù).當(dāng)一次工作休假結(jié)束時，如果系統(tǒng)中已有顧客在等待，服務(wù)員立即停止工作休假，服務(wù)率由μv提高到μb，一個正規(guī)忙期開始；否則，服務(wù)員進(jìn)入閑期，直到有顧客到達(dá)，正規(guī)忙期才開始.

3)在工作休假期顧客變得不耐煩.即假期內(nèi)到達(dá)的顧客排隊等待時間T后仍未完成服務(wù)則離開系統(tǒng)，永不返回.假設(shè)顧客在進(jìn)入系統(tǒng)直到離開的這段等待時間T服從參數(shù)為ξ的負(fù)指數(shù)分布.

4)假設(shè)到達(dá)過程、服務(wù)過程以及休假過程相互獨立，服務(wù)規(guī)則為先到先服務(wù)(FCFS).

2 穩(wěn)態(tài)分析

下面將對所描述的模型進(jìn)行穩(wěn)態(tài)下的分析，首先給出服務(wù)員處于工作休假期和非工作休假期(正規(guī)忙期或閑期)的顧客數(shù)的母函數(shù)，然后推導(dǎo)忙期和工作休假期的平均隊長的表達(dá)式，最后還可得到平均等待隊長、平均離去率等性能指標(biāo).

2.1平衡方程和母函數(shù)

令L(t)表示時刻t系統(tǒng)中的顧客數(shù)，即系統(tǒng)的隊長，t≥0.令J(t)表示時刻t服務(wù)員的工作狀態(tài)，

則{J(t),L(t),t≥0}為二維馬爾科夫過程，其狀態(tài)空間為Ω={(0,n):n≥0}∪{(1,n):n≥0}.

系統(tǒng)中穩(wěn)態(tài)概率定義為：

平衡方程定義為：

(θ+λ)p00=μbp11+(μv+ξ)p01,n=0，

(1)

(λ+θ+μv+nξ)p0n=λp0,n-1+(μv+(n+1)ξ)p0,n+1,n≥1，

(2)

λp10=θp00,n=0，

(3)

(λ+μb)p1,n=θp0,n+λp1,n-1+μbp1,n+1,n≥1.

(4)

2.2平均隊長

下面利用平衡方程和母函數(shù)求解忙期平均隊長E[L1]和假期平均隊長E[L0].

將(3)，(4)對所有n相加得

θp0·=μbp11,

(5)

(6)

將(4)兩邊同乘以zn，然后加(3)并整理得

G1(z)((λz-μb)(1-z))=θzG0(z)-(μbp11-μbp10)z-μbp10.

(7)

(6)可改寫為

(8)

(8)兩邊同乘以exp(-λz/ξ)(1-z)θ/2ξz(μv+θ/2)/ξ,整理得

對兩邊求0到z的積分得

ξexp(-λz/ξ)(1-z)θ/ξzμv/ξG0(z)=μvp00k1(z)-μbp11k2(z)，

(9)

令z→1有

μbP11k2(1)=μvP00k1(1).

(10)

(7)式可改寫為

G1(z)=(θzG0(z)-(μbp11-μbp10)z-μbp10)/(λz-μb)(1-z).

(11)

(12)

(13)

由(13)解得

E[L0]=((λ-μv)p0·+μvp00)/(θ+ξ).

(14)

而且由(11)可得

(15)

由正規(guī)化條件及(3)，(5),(10),(12)，(14)解得:

p0·=(θ+ξ)(μb-λ)/θ(λ-μv+kθ+(θ+ξ)((μb-λ)/θ+μbk/μvλ)),

p00=(θ+ξ)(μb-λ)k/μv(λ-μv+kθ+(θ+ξ)((μb-λ)/θ+μbk/μvλ)),

p10=θ(θ+ξ)(μb-λ)k/λμv(λ-μv+kθ+(θ+ξ)((μb-λ)/θ+μbk/μvλ)),

其中k=k2(1)/k1(1).

2.3其他性能指標(biāo)

(a)系統(tǒng)的平均隊長E[L]=E[L0]+E[L1].

(e)服務(wù)員處在閑期的概率PI=p10.

只要λlt;μb,系統(tǒng)就能處于平穩(wěn)狀態(tài)[9].在本模型中，當(dāng)μv=0即為文獻(xiàn)[9]所討論的一個模型,且結(jié)果一致，從而驗證了本文的正確性.

3 數(shù)值算例

首先利用matlab軟件計算出兩個定積分k1(1)和k2(1)的值，然后利用第2節(jié)的有關(guān)公式給出系統(tǒng)性能指標(biāo)的數(shù)值結(jié)果，并考察忙期服務(wù)率和工作休假期的服務(wù)率對系統(tǒng)性能指標(biāo)的影響.

表1和表2分別給出了忙期服務(wù)率μb和工作休假期的服務(wù)率μv在不同的數(shù)值下系統(tǒng)性能指標(biāo)的數(shù)值計算結(jié)果.在表1中，取參數(shù)λ=4,ξ=1,θ=2,μv=5.在表2中，取參數(shù)λ=4,ξ=1,θ=2,μb=7.

表1 μb取不同值時系統(tǒng)的各項性能指標(biāo)Tab.1 Performance measures of the system with different μb values

表2 μv取不同值時系統(tǒng)的各項性能指標(biāo)Tab.2 Performance measures of the system with different μv values

從表1和表2中的結(jié)果，可以看出系統(tǒng)的平均隊長、平均等待隊長、服務(wù)員忙的概率隨著μb的增加而減少，而服務(wù)員休假的概率、顧客平均的中途離去率隨著μb的增加而增加；系統(tǒng)的平均隊長、平均等待隊長、服務(wù)員休假的概率隨著μv的增加而減少，而服務(wù)員忙的概率、顧客平均的中途離去率隨著μv的增加而增加.

4 結(jié)論

本文提出了具有不耐煩顧客和單重工作休假的M/M/1排隊系統(tǒng)模型，利用母函數(shù)的方法，求出了忙期和工作休假期的平均隊長等性能指標(biāo)的解析表達(dá)式，給出了數(shù)值結(jié)果并進(jìn)行分析.

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TheM/M/1QueuingSystemwiththeImpatientCustomersandSingleWorkingVacation

XU Gang1, YU Yong-bo2

(1.DepartmentofBasicCourses,NortheastPetroleumUniversityatQinhuangdao,Qinhuangdao066004,China; 2.DepartmentofBasicCourses,QinhuangdaoXingrongMaritimeVocationalSchool,Qinhuangdao066100,China)

AnM/M/1 queuing system with impatient customers and single working vacation was considered. When a customer arrived in the system and realized that the server was on vacation, he activated an independent ‘impatient timer’. If the custmer’s service had not been completed before the customer’s timer expired, the customer abandoned the queue, without returning. Some performance measures of the system were derived such as the mean queue sizes in the busy period and in the working vacation period by balance equations and generating functions. The effects of the two service rates on the system performance measures were investigated by numerical experiment.

impatient customers； working vacation； queuing； balance equations； generating functions

2012-08-07

徐剛(1978-)，男，講師，碩士，主要從事排隊論研究，E-mail:xg99228@163.com．

O 226

A

1671-6841(2013)01-0023-04

10.3969/j.issn/1671-6841.2013.01.006