趙晨皓， 宋向東

(燕山大學(xué)理學(xué)院 河北秦皇島066004)

0 引言

近年來，截尾壽命檢驗［1］得到了廣泛的研究，這種檢驗要求進行到投試樣品中有部分失效就停止檢驗．截尾壽命檢驗分為定數(shù)截尾壽命檢驗［2］和定時截尾壽命檢驗［3］．根據(jù)以往的經(jīng)驗，產(chǎn)品的壽命一般服從指數(shù)分布［4］和威布爾分布［5］，在這里，本文只討論指數(shù)分布下的定數(shù)截尾壽命檢驗［6］，稱

的壽命分布為指數(shù)分布，其中λ為常數(shù)．定數(shù)截尾壽命檢驗是指n個獨立同型產(chǎn)品從t=0開始進行壽命檢驗，試驗到第r個失效時刻終止，考慮無替換定數(shù)截尾情形，假設(shè)n個樣品受試，試驗到tr時停止，此時獲得前r個壽命數(shù)據(jù)，r個失效時間記錄為t1≤t2≤…≤tr(1＜r≤n)，則平均壽命θ的估計量為 θ^=Tr/r，式中

在定數(shù)截尾壽命檢驗一次抽樣［7］中，記生產(chǎn)方風(fēng)險質(zhì)量水平為θ0，也稱可接受平均壽命θ0，使用方風(fēng)險質(zhì)量水平為θ1，也稱極限平均壽命θ1，生產(chǎn)方風(fēng)險α，使用方風(fēng)險β．驗收規(guī)則為:當(dāng)θ^≥c時，接受該批;當(dāng)＜ c時，拒絕該批．將此方案記為方案(n，c，r)，其中 n 為樣本量，c為接收常數(shù)，r為截尾數(shù)．方案(n，c，r)的接受概率為 Pa(θ)=Pa≥c)．

本方案與n無關(guān)，為了確定產(chǎn)品檢驗的樣品量，規(guī)定樣本量n與截尾數(shù)r按4∶1進行計算來制定方案，下面的定數(shù)截尾壽命二次抽樣方案都按此比例進行．

1 定數(shù)截尾壽命二次抽樣方案簡介

2 接收概率

二次方案接收概率的一般表達式為

下面用圖2表示出需要求的第2項這個概率．

在圖2中，A1與B1所加的條形區(qū)域代表第1次抽樣不能做出判斷繼續(xù)抽樣的概率，即圖2中有圈的區(qū)域代表第1樣本不能做出接收與拒收的條件下，第2樣本判批接收的概率，即

因為要求的是有圈的區(qū)域代表的概率，從圖2中可以看出，可以用條形區(qū)域減去有斜線的區(qū)域的概率，所以接收概率可以寫為

下面介紹一下求有斜線區(qū)域代表的概率的方法．

可以采用數(shù)值計算的方法，即將這部分分割，等分為n份近似的矩形區(qū)域，計算在每一個小矩形的概率，然后進行累積求和即可．

取其中一個小矩形，橫坐標(biāo)的兩個端點值為X(i)和X(i+1)，中點值為，為了計算的精確，縱坐標(biāo)的值為A2－Xd，那么在這個小矩形中的概率為

從而在整個區(qū)域的概率為

因此，二次抽樣的接收概率為

由于(2r θ^/θ)～χ2(2r)，為了使二次抽樣方案和一次抽樣方案能夠?qū)?yīng)，使用相同的分布進行計算．二次抽樣一般習(xí)慣上抽取的n1，n2是相同的，即n1=n2，那么也就是規(guī)定截尾數(shù)r1=r2，以后統(tǒng)一使用r．因為θ^1與θ^2都是代表著平均壽命，所以它們服從同樣的分布，有

3 平均樣本量ASN

二次抽樣方案［8］的平均樣本量是

4 一次方案與二次方案的比較

制定的二次抽樣方案從結(jié)果上看是與相應(yīng)的一次方案等效的，也就是說具有相同的OC曲線，下面給出一個例題，制定一次抽樣方案和一個相應(yīng)的二次抽樣方案，在擬合等效的情況下進行平均樣本量的比較．

例 對某批產(chǎn)品進行定數(shù)截尾壽命試驗．設(shè)定:θ0=900 h，θ1=300 h，α =0．05，β =0．10．

在給定的條件下，通過計算得到定數(shù)截尾壽命一次抽樣方案是(32，8，448)，二次抽樣方案是(24，6，350，480，1 000)，下面給出2個方案接收概率曲線的擬合圖(見圖3)．

在等效的情況下，比較一下平均樣本量，見圖4．

從圖4上看出，在等效的抽樣效果下，二次抽樣的平均樣本量小于一次抽樣的樣本量，由此可以知道二次抽樣方案在節(jié)省樣本量上是很好的．

5 結(jié)論

本文根據(jù)定數(shù)截尾壽命一次抽樣方案，建立了定數(shù)截尾壽命二次抽樣方案，給出了二次抽樣方案的參數(shù)以及實施過程，給出在什么情況下做出如何判斷的規(guī)則．同時，本文重點給出了二次抽樣方案的接收概率，詳細介紹了接收概率的理論計算過程．通過介紹定數(shù)截尾壽命二次抽樣平均樣本量的理論，將一次抽樣與二次抽樣的平均樣本量進行比較，發(fā)現(xiàn)二次抽樣方案相對于一次抽樣方案確實節(jié)省樣本容量．

［1］ 袁建國，秦士嘉，周尊英，等．抽樣檢驗原理與應(yīng)用［M］．北京:中國計量出版社，2002:187－196．

［2］ 張丕一．定數(shù)截尾壽命試驗下指數(shù)分布平均壽命的置信限的優(yōu)良性［J］．青島大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，1999，12(4):14－19．

［3］ 吳啟光，呂建華．定時截尾下指數(shù)分布產(chǎn)品可靠性抽樣檢驗方案［J］．系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2003，23(2):145－154．

［4］ 茆詩松，王靜龍，濮曉龍．高等數(shù)理統(tǒng)計［M］．北京:高等教育出版社，1998:35－56．

［5］ 吳啟光，李國英，顧嵐，等．雙參數(shù)威布爾分布下可靠性抽樣檢驗［J］．應(yīng)用概率統(tǒng)計，2004，21(3):270－286．

［6］ 武東，湯銀才．指數(shù)分布逐次定數(shù)截尾試驗的多層貝葉斯估計［J］．上海第二工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2011，28(2):113－116．

［7］ 孫艷君，宋立新．有替換定數(shù)截尾壽命試驗中可靠性的經(jīng)驗Bayes估計［J］．長春師范學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版，2010，29(1):1－3．

［8］ 周玲玲，余春花．計量調(diào)整型抽樣檢驗系統(tǒng)的設(shè)計與實現(xiàn)［J］．統(tǒng)計與決策，2004，2(1):20－21．