沈京虎, 樸勇杰

( 延邊大學(xué)理學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 吉林 延吉 133002 )

1992年,B.Dhage[1]引進(jìn)了具有新的結(jié)構(gòu)的廣義度量空間——D-度量空間,并在該空間上得到收縮型映射的不動(dòng)點(diǎn)定理.之后,很多研究者給出了關(guān)于一個(gè)映射的不動(dòng)點(diǎn)定理和若干個(gè)映射的公共不動(dòng)點(diǎn)定理[2-6].特別是,Gajic[7]在D-度量空間上給出了一族收縮型映射的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)存在定理,這為進(jìn)一步研究D-度量空間上的無(wú)窮多個(gè)映射的公共不動(dòng)點(diǎn)的存在問(wèn)題提供了一種方法和思路.本文將試圖得到D-度量空間上滿足某種擬收縮條件的一族映射的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)存在定理,并證明唯一公共不動(dòng)點(diǎn)正是由給定映射族構(gòu)造的序列的唯一極限.同時(shí),根據(jù)新得到的定理,擬得出更一般形式的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)存在定理.

首先,給出D-度量空間上的一些基本概念和D-柯西原理.

定義1[7]設(shè)X是非空集合,R+是非負(fù)實(shí)數(shù)集合.稱(X,D) (其中D:X×X×X→R+)是D-度量空間,如果以下條件被滿足:

(i)D(x,y,z)=0 ?x=y=z(重疊性)；

(ii)D(x,y,z)=D(p(x,y,z)) (對(duì)稱性),其中p表示{x,y,z}的置換函數(shù)；

(iii) 對(duì)任何x,y,z,a∈X,D(x,y,z)≤D(x,y,a)+D(x,a,z)+D(a,y,z) (四面體不等式).

定義2[7]D-度量空間的一個(gè)序列{xn}n∈N被稱為D-收斂，并收斂于x∈X是指limm,n→+∞D(zhuǎn)(xm,xn,x)=0.序列{xn}n∈N被稱為D-柯西序列是指limm,n,p→+∞D(zhuǎn)(xm,xn,xp)=0.完備的D-度量空間(X,D)是指X中每個(gè)D-柯西序列都D-收斂于X中的點(diǎn).稱一個(gè)子集S?X是有界的是指存在一個(gè)常數(shù)M>0滿足D(x,y,z)

文獻(xiàn)[2,7]中已指出，在D-度量空間中,如果D關(guān)于兩個(gè)變?cè)沁B續(xù)的,則當(dāng)一個(gè)序列的極限存在時(shí)，其極限必是唯一的.本文假設(shè)D-度量關(guān)于兩個(gè)變?cè)沁B續(xù)的.

引理1[7-8](D-原理)設(shè){xn}n∈N是D-度量空間X中具有D-有界數(shù)M的有界序列.如果對(duì)任何n,m∈N且m>n, 成立D(xn,xn+1,xm)≤αn·M, 其中0≤α<1, 則{xn}n∈N是D-柯西序列.

下面給出本文的主要結(jié)果.

定理1設(shè)(X,D)是完備的D-度量空間且X具有D-有界數(shù)M, {fn}n∈N是X的一族滿自映射使得對(duì)任何x,y,z∈X及任何(i,j,k)∈N3Δ, 其中Δ={(n,n,n)|n∈N}, 成立如下擬收縮型不等式:

D(x,y,z)≤qD(fi(x),fj(y),fk(z)),

(1)

其中0≤q<1.{fn}n∈N有唯一公共不動(dòng)點(diǎn),如果下列條件之一成立:

(I)對(duì)任何x,y,z∈X及i,j∈N且i≠j,D(x,y,z)≤qD(fi(x),fj(y),z);

(II)對(duì)任何x,y,z∈X及i∈N,D(x,y,z)≤qD(fi(x),y,z);

(III)對(duì)任何i∈N及任何x∈X, 存在j∈N滿足(fj°fi)(x)=x.

證明任意選取x0∈X.由于每個(gè)fn(?n∈N)都是滿射,因此可構(gòu)造一個(gè)序列{xn}n∈N滿足xn-1=fn(xn),n=1,2,….如果M=0, 則D(x0,x1,fm(x0))=0,?m∈N, 因此必有x0=fm(x0), 這說(shuō)明x0是{fn}n∈N的一個(gè)公共不動(dòng)點(diǎn).于是,以下可假設(shè)M>0.

首先,證明{xn}n∈N是D-柯西序列.事實(shí)上,對(duì)任何n,p∈N, 根據(jù)條件(1)可得

D(xn,xn+1,xn+p)≤qD(fn(xn),fn+1(xn+1),fn+p(xn+p))=

qD(xn-1,xn,xn+p-1)≤q2D(fn-1(xn-1),fn(xn),fn+p-1(xn+p-1))=

q2D(xn-2,xn-1,xn+p-2)≤…≤qnD(x0,x1,xp)≤qn·M.

因此{(lán)xn}n∈N和M滿足引理的所有條件,于是{xn}n∈N是D-柯西序列.由于X是完備的且D關(guān)于兩個(gè)變?cè)沁B續(xù)的,因此存在唯一元素z∈X滿足limn→+∞xn=z.

其次,證明當(dāng)條件(I)—(III)之一成立時(shí)，z是{fn}n∈N的一個(gè)公共不動(dòng)點(diǎn).

情況1 對(duì)任何固定的k∈N及任何m∈N且滿足m>k+1, 根據(jù)(1)式得

D(xm+1,xm,fk(z))≤qD(fm+1(xm+1),fm(xm),fk(z))=qD(xm,xm-1,fk(z)).

令m→+∞, 則由D的連續(xù)性,上式變成D(z,z,fk(z))≤qD(z,z,fk(z)).因此由0≤q<1推出D(z,z,fk(z))=0, 于是z=fk(z).由k的任意性可知z是{fn}n∈N的一個(gè)公共不動(dòng)點(diǎn).

情況2 對(duì)任何固定的k∈N及任何m∈N且m>k+1, 根據(jù)(1)式得

D(xm+1,fk(z),fk(z))≤qD(fm+1(xm+1),fk(z),fk(z))=qD(xm,fk(z),fk(z)).

令m→+∞, 則由D關(guān)于兩變?cè)倪B續(xù)性,上式變成D(z,fk(z),fk(z))≤qD(z,fk(z),fk(z)).因此由0≤q<1推出D(z,fk(z),fk(z))=0, 于是z=fk(z).由k的任意性可知z是{fn}n∈N的一個(gè)公共不動(dòng)點(diǎn).

情況3 對(duì)任何固定的k∈N及極限z, 存在k′∈N滿足fk′°fk(z)=z.因此對(duì)任何m∈N且m>max{k,k′}, 根據(jù)(1)式得

D(xm+1,z,fk(z))≤qD(fm+1(xm+1),fk(z),fk′°fk(z))=qD(xm,fk(z),z).

令m→+∞, 則根據(jù)D關(guān)于兩變?cè)倪B續(xù)性,上式變成D(z,z,fk(z))≤qD(z,fk(z),z).因此由0≤q<1推出D(z,z,fk(z))=0, 于是z=fk(z).由k的任意性可知z是{fn}n∈N的一個(gè)公共不動(dòng)點(diǎn).

最后,證明z是{fn}n∈N的唯一公共不動(dòng)點(diǎn).事實(shí)上,如果y∈X也是{fn}n∈N的公共不動(dòng)點(diǎn),則根據(jù)(1)式得

D(z,z,y)≤qD(f1(z),f2(z),f3(y))=qD(z,z,y).

因此由0≤q<1可推出D(z,z,y)=0, 于是z=y.這說(shuō)明z就是{fn}n∈N的唯一公共不動(dòng)點(diǎn).

根據(jù)定理1,本文將給出更一般形式的唯一公共不動(dòng)點(diǎn)定理.

定理2設(shè)(X,D)是完備的有界D-度量空間, {Ti,j}i,j∈N是X的滿自映射族, {mi,j}i,j∈N是正整數(shù)族, {qj}j∈N是非負(fù)實(shí)數(shù)族且滿足qj<1,?j∈N.如果對(duì)任何x,y,z∈X及任何(i1,i2,i3)∈N3Δ, 其中Δ={(n,n,n)|n∈N}, 成立如下擬收縮條件

(2)

和如下所謂的局部交換性

Ti1,j1Ti2,j2=Ti2,j2Ti1,j1,?i1,i2,j1,j2∈N,j1≠j2.

(3)

如果下列條件之一成立:

①對(duì)任何x,y,z∈X及任何i1,i2∈N且i1≠i2及任何j∈N, 成立

首先,證明對(duì)任何固定的j∈N,xj是{Ti,j}i∈N的公共不動(dòng)點(diǎn).事實(shí)上,對(duì)任何固定的i∈N, 可選取i1,i2∈N滿足i≠i1,i≠i2.根據(jù)(2)式,可得

qjD(Si1,j(xj),Si2,j(xj),Ti,j(Si,j(xj)))=qjD(xj,xj,Ti,j(xj)).

因此由0≤qj<1可得到D(xj,xj,Ti,j(xj))=0，于是xj=Ti,j(xj),?i∈N. 這說(shuō)明xj是{Ti,j}i∈N的一個(gè)公共不動(dòng)點(diǎn).

假如yj也是{Ti,j}i∈N的公共不動(dòng)點(diǎn),則yj當(dāng)然也是{Si,j}i∈N的公共不動(dòng)點(diǎn).于是根據(jù)(2)式,對(duì)任何i1,i2,i3∈N且i1≠i2≠i3, 有

D(xj,xj,yj)≤qjD(Si1,j(xj),Si2,j(xj),Si3,j(yj))=qjD(xj,xj,yj).

由此得到D(xj,xj,yj)=0, 于是xj=yj.這說(shuō)明對(duì)任何固定的j∈N, {Ti,j}i∈N的公共不動(dòng)點(diǎn)是唯一的,即只有xj.

其次，證明對(duì)任何μ,υ∈N,xμ=xυ.事實(shí)上,對(duì)任何i1,i2,μ,υ∈N且υ≠μ, 因?yàn)門(mén)i1,μ(xμ)=xμ且Ti2,υ(xυ)=xυ, 因此Ti1,μ(Ti2,υ(xυ))=Ti1,μ(xυ).由(3)式得Ti2,υ(Ti1,μ(xυ))=Ti1,μ(xυ).這說(shuō)明Ti1,μ(xυ)是{Ti2,υ}i2∈N的公共不動(dòng)點(diǎn),?i1∈N.由于{Ti2,υ}i2∈N的公共不動(dòng)點(diǎn)只有一個(gè)xυ, 因此Ti1,μ(xυ)=xυ,?i1∈N.這表明xυ是{Ti1,μ}i1∈N的公共不動(dòng)點(diǎn),因此根據(jù){Ti1,μ}i1∈N的公共不動(dòng)點(diǎn)的唯一性得到xυ=xμ.令x*=xj, 則x*就是{Ti,j}i,j∈N的唯一公共不動(dòng)點(diǎn).另外,從證明過(guò)程可看出x*也是序列族{{xi,j}i∈N}j∈N的唯一公共極限.

參考文獻(xiàn)：

[1] Dhage B. Generalized metric spaces and mappings with fixed points[J]. Bull Cal Math Soc, 1992,84:329-336.

[2] Singh B, Jain S, Jain S. Semicompatibility and fixed point theorems in an unboundedD-metric space[J]. Internat J Math & Math Sci, 2005,5:789-801.

[3] Dhage B, Arya S, Ume J. A general lemma for fixed point theorems involving more than two maps inD-metric spaces with applications[J]. Internat J Math & Math Sci, 2003,11:661-672.

[4] Dhage B, Asha A, Kang S. On common fixed points of pairs of a single and a multivalued coincidentally commuting mappings inD-metric spaces[J]. Internat J Math & Math Sci, 2003,40:2519-2539.

[5] Singh B, Jain S. Common fixed points of weak-compatible maps onD-metric space[J]. J Chung Cheong Math Soc, 2004,17(2):111-124.

[6] Singh B, Sharma R. Common fixed points via compatible maps inD-metric spaces[J]. Rad Mat, 2002,11(2):145-153.

[7] Gajic L. On a common fixed point for sequence of selfmappings in generalized metric space[J]. Novi Sad J Math, 2006,36(2):153-156.

[8] Dhage B. Some results on common fixed points-I[J]. Indian J of Pure Appl Math, 1999,30:827-837.