王 ?，蓋明久，張金春

（海軍航空工程學(xué)院a.研究生管理大隊(duì)；b.基礎(chǔ)部，山東煙臺264001）

由于混沌時(shí)間序列具有非線性動力學(xué)特性，所以是長期不可預(yù)測的，但確定性結(jié)構(gòu)又使系統(tǒng)演化軌跡短期內(nèi)的發(fā)散較小，只滿足短期可預(yù)測性。混沌時(shí)序預(yù)測就是在重構(gòu)后的相空間中找到某種模型去最大程度地逼近系統(tǒng)的動力學(xué)特性，并用這個(gè)模型實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)未來趨勢的預(yù)測[1-2]?；煦鐣r(shí)間序列預(yù)測方法可分為3類：全域預(yù)測[3]、局域預(yù)測[4]和自適應(yīng)預(yù)測[5]。

在實(shí)際應(yīng)用中，評價(jià)一個(gè)算法優(yōu)劣的指標(biāo)一般包括可預(yù)測步數(shù)與算法速度。目前，在評價(jià)一個(gè)算法的性能時(shí)，只是將以上2個(gè)指標(biāo)單獨(dú)的進(jìn)行比較，不能全面地衡量算法的優(yōu)劣。

優(yōu)度評價(jià)方法是可拓學(xué)[6-8]中評價(jià)一個(gè)對象（事物、策略、方法等）優(yōu)劣的基本方法，能夠在合適的評價(jià)指標(biāo)體系下，對待評對象進(jìn)行綜合評價(jià)，確定其綜合優(yōu)度值。本文采用優(yōu)度評價(jià)法對混沌時(shí)間序列的4種局域預(yù)測算法進(jìn)行評價(jià)，獲得了較好的效果。

1 混沌時(shí)間序列的局域預(yù)測算法

對混沌時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測，首先要對混沌時(shí)間序列進(jìn)行相空間重構(gòu)。根據(jù)相空間重構(gòu)方法，混沌時(shí)間序列{x (t),t=1,2,…,N} 在延遲時(shí)間τ、嵌入維數(shù)m 條件下重構(gòu)后共有M個(gè)相點(diǎn)，M=N-(m-1) τ，各個(gè)相點(diǎn)依次是：

相點(diǎn)X(M)進(jìn)一步演化后的相點(diǎn)為

因此，如果知道X(M+1)，可用其最后一維元素x(M+1+(m-1) τ)來預(yù)測序列的下一點(diǎn)X(N+1)。

混沌時(shí)間序列的局域預(yù)測算法不對所有相點(diǎn)進(jìn)行擬合，只研究部分鄰近相點(diǎn)，認(rèn)為某一相點(diǎn)的未來演化趨勢與其鄰近相點(diǎn)的演化行為類似。由于擬合的相點(diǎn)數(shù)量少，因而在擬合方面具有計(jì)算復(fù)雜度低、速度快、擬合度高、適用于多數(shù)系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)，而且，由于擬合的相點(diǎn)少，并且是變化的，具有很強(qiáng)的適應(yīng)性，更符合混沌時(shí)間序列的變化性質(zhì)。因此，局域預(yù)測法得到了廣泛的研究和應(yīng)用。常用的局域預(yù)測法有以下4種[9]。

1.1 局域平均預(yù)測法

局域平均法認(rèn)為最后一個(gè)相點(diǎn)X(M)進(jìn)一步演化行為可由它的若干個(gè)鄰近點(diǎn)的平均進(jìn)一步演化行為來估計(jì)，因而先按一定的規(guī)則找出X(M)的k個(gè)鄰近點(diǎn)X(Mi)(i=1,2,…,k)，即由推出其中，表示序列下一點(diǎn)x(N+1)的預(yù)測值。該方法直觀易懂，計(jì)算簡單，但易受噪聲干擾。

1.2 加權(quán)零階局域預(yù)測法

為了更準(zhǔn)確地預(yù)測變化較大和含有噪聲的序列，加權(quán)零階局域預(yù)測法，對各個(gè)鄰近相點(diǎn)依據(jù)特定的規(guī)則賦予權(quán)重。其具體公式如下：

式中，pi(i=1,2,…,k)是權(quán)值。

1.3 加權(quán)一階局域預(yù)測法

加權(quán)一階局域預(yù)測法是用一階線性擬合的方式來逼近相點(diǎn)的演化趨勢，公式為

將每個(gè)相點(diǎn)分解為各維分量，則有：

使用加權(quán)最小二乘法來求取最佳的a 和b值，從而得到相點(diǎn)演化的預(yù)測公式，得到下一步演化相點(diǎn)的預(yù)測，提取最后一維分量即為時(shí)間序列的預(yù)測值。

1.4 基于SVM的局域預(yù)測法

基于SVM的局域預(yù)測法具有很好的泛化能力，并能克服維數(shù)災(zāi)問題及局部極小問題。選用sigmoid核函數(shù)進(jìn)行預(yù)測[10]，公式為

式中，p1、p2是2個(gè)待定參數(shù)。

基于SVM的局域預(yù)測法的基本思路為：首先，計(jì)算原始時(shí)間序列的延遲時(shí)間τ 和嵌入維數(shù)m，完成相空間重構(gòu)，選定合適的鄰近相點(diǎn)個(gè)數(shù)K。將以上得出的鄰近相點(diǎn)集合作為支持向量機(jī)的訓(xùn)練集輸入，將其下一步演化點(diǎn)的最后一維元素所組成的集合作為訓(xùn)練集輸出，設(shè)置支持向量機(jī)核參數(shù)p1、p2進(jìn)行訓(xùn)練。然后，將預(yù)測中心相點(diǎn)作為測試集輸入到訓(xùn)練好的支持向量機(jī)中，得到輸出，即為預(yù)測值。由此，預(yù)測值便能重構(gòu)得到新的預(yù)測中心點(diǎn)，同時(shí)將預(yù)測值作為已知序列點(diǎn)加入到原樣本集中，形成新樣本集。重復(fù)這一思路，直到完成所有預(yù)測。

2 混沌時(shí)間序列預(yù)測算法的優(yōu)度評價(jià)方法

混沌時(shí)間序列預(yù)測的優(yōu)度評價(jià)流程如圖1所示。

圖1 混沌時(shí)間序列預(yù)測算法優(yōu)度評價(jià)流程圖Fig.1 Flow chart of priority degree evaluation of chaotic time series prediction algorithm

2.1 評價(jià)指標(biāo)的選取

對一個(gè)混沌時(shí)間序列預(yù)測算法一般從算法的精度和運(yùn)算速度來進(jìn)行評價(jià)。評價(jià)預(yù)測算法的精度有多種指標(biāo)，一般采用平均絕對百分誤差（Mean Absolute Percentage Error，MAPE）來衡量，公式如下：

式（5）中：S為預(yù)測步數(shù)；y(t)為真實(shí)值；y′(t)為預(yù)測值。

但是，平均絕對百分誤差會將誤差“平攤”，在某些意義上有失客觀的缺點(diǎn)，因而本文使用一個(gè)新的衡量預(yù)測算法性能的指標(biāo)：單點(diǎn)預(yù)測準(zhǔn)確率與平均絕對百分誤差來綜合評價(jià)算法的精度。

單點(diǎn)預(yù)測準(zhǔn)確率的公式如下：

另外，在序列預(yù)測中，預(yù)測速度也是一項(xiàng)非常重要的指標(biāo)，直接決定該預(yù)測算法是否具有實(shí)用價(jià)值，我們希望預(yù)測算法越快越好，最好能實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)或近似實(shí)時(shí)的預(yù)測。特別對于實(shí)際應(yīng)用問題，如果預(yù)測算法耗時(shí)過長，往往失去應(yīng)用價(jià)值。因此，不同算法對混沌時(shí)間序列的預(yù)測時(shí)間也應(yīng)作為評價(jià)的指標(biāo)之一。具體混沌時(shí)間序列預(yù)測算法評價(jià)體系如圖2所示。

圖2 混沌時(shí)間序列預(yù)測算法評價(jià)體系Fig.2 Evaluation system of chaotic time series prediction algorithm

2.2 確定各評價(jià)指標(biāo)的權(quán)系數(shù)

對待評價(jià)算法Zj(j=1,2,…,m)各指標(biāo)的重要程度進(jìn)行評估，以權(quán)系數(shù)表示各評價(jià)指標(biāo)的重要程度。在實(shí)際混沌時(shí)間預(yù)測時(shí)進(jìn)行多步預(yù)測。因此，將待評價(jià)算法的平均絕對百分誤差、單點(diǎn)預(yù)測準(zhǔn)確率和預(yù)測時(shí)間看作第1層評價(jià)指標(biāo)，各指標(biāo)對應(yīng)的不同預(yù)測步數(shù)的值看作第2層評價(jià)指標(biāo)。以SI1,SI2,…,SIn為第1層系統(tǒng)的評價(jià)指標(biāo)，SI11,SI12,…,SI1p1；SI21,SI22,…,SI2p2；…；SIn1,SIn2,…,SInpn為各個(gè)第1層系統(tǒng)對應(yīng)的第2層系統(tǒng)的評價(jià)指標(biāo)[9-11]。然后，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)、專家打分法或?qū)哟畏治龇ǖ确謩e對各級指標(biāo)賦予[0,1]的值。一級系統(tǒng)權(quán)系數(shù)記為α=(α1,α2,…,αn)，二級系統(tǒng)權(quán)系數(shù)記為：β1=(β11,β12,…,β1p1)，β2=(β21,β22,…,β2p2),…，βn=(βn1,βn2,…,βnpn)，其中，i=1,2,…,n。

在確定各級各個(gè)指標(biāo)的權(quán)重之后需要先計(jì)算二級系統(tǒng)的優(yōu)度值，然后乘以對應(yīng)一級系統(tǒng)的權(quán)重得出對象的最終優(yōu)度值。

2.3 建立關(guān)聯(lián)函數(shù)，計(jì)算關(guān)聯(lián)度

在仿真所得數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，對所確定的指標(biāo)集中的指標(biāo)v 建立關(guān)聯(lián)函數(shù)Kv(x)。其正域?yàn)閄=(a,b)，當(dāng)x=a時(shí)，算法的精度最高或者速度最快，即量值越小算法的精度或者優(yōu)度越大。建立關(guān)聯(lián)函數(shù)為：

臨界值a、b可通過多次的仿真實(shí)驗(yàn)和專家的意見來確定。

把待評價(jià)算法Zl關(guān)于各二級評價(jià)指標(biāo)SIij的量值代入關(guān)聯(lián)函數(shù)式（7）中，求出關(guān)聯(lián)函數(shù)值，簡記為klij，則各評價(jià)對象Z1,Z2,…,Zm關(guān)于SIij的關(guān)聯(lián)度為：

2.4 計(jì)算各評價(jià)算法的優(yōu)度值

待評價(jià)算法Zl(l=1,2,…,m)關(guān)于各一級評價(jià)指標(biāo)下的二級指標(biāo)SI11,SI12,…,SI1p1，SI21,SI22,…,SI2p2，…，SIn1,SIn2,…,SInpn的關(guān) 聯(lián) 度 分 別為：k1(Zl)=(kl11,kl12,…,kl1p1)T，k2(Zl)=(kl21,kl22,…,kl2p2)T，…，kn(Zl)=(kln1,kln2,…,klnpn)T，則待評價(jià)算法的優(yōu)度值為：

3 對4種混沌時(shí)間序列的局域預(yù)測算法的優(yōu)度評價(jià)

以Lorenz 混沌時(shí)間序列為例子。設(shè)置參數(shù)a=16，b=4，c=45.92，初值 x(0)=-1y(0)=0，z(0)=1，積分區(qū)間[0,1 000]，積分時(shí)間步長0.01。用四階Runge-Kutta 法求解方程組，并以x分量的第10 001個(gè)到第13 000個(gè)總計(jì)3 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)為樣本。首先，用相空間重構(gòu)方法計(jì)算該樣本的延遲時(shí)間和嵌入維數(shù)，得到τ=11和m=6，以此參數(shù)組合進(jìn)行重構(gòu)；然后，以第1節(jié)中的4種不同局域預(yù)測算法分別進(jìn)行10步、50步、100步的預(yù)測，得到的結(jié)果及各指標(biāo)的權(quán)值如表1所示。局域平均法、加權(quán)零階法、加權(quán)一階法和基于SVM法分別用Z1、Z2、Z3、Z4表示。

表1 4種算法的仿真結(jié)果及各評價(jià)指標(biāo)權(quán)值Tab.1 Simulation results of four algorithmsand evaluation index weight %

表1中“（）”內(nèi)的值為各評價(jià)指標(biāo)與預(yù)測步數(shù)的權(quán)值。把Z1、Z2、Z3、Z4關(guān)于評價(jià)指標(biāo)的量值代入關(guān)聯(lián)函數(shù)，求出對應(yīng)于式（8）的關(guān)聯(lián)度，分別為：

計(jì)算出待評價(jià)算法的綜合優(yōu)度值，結(jié)果見表2。

表2 4種算法的優(yōu)度值Tab.2 Priority of four algorithms

4 結(jié)束語

利用優(yōu)度評價(jià)方法對混沌時(shí)間序列預(yù)測算法進(jìn)行評價(jià)，可以綜合算法的精度和速度兩方面評價(jià)算法的優(yōu)劣。實(shí)例證明：優(yōu)度評價(jià)方法實(shí)用性較高，可以有效評價(jià)算法綜合性能的高低，而且解算方便，為混沌時(shí)間序列預(yù)測算法的評價(jià)提供了一種定量化的方法和思路。

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