鐘敬武

（76327部隊(duì)，湖南郴州423026）

考慮售后服務(wù)與回收加工的復(fù)雜設(shè)備部件生產(chǎn)庫(kù)存控制模型

鐘敬武

（76327部隊(duì)，湖南郴州423026）

綜合考慮了大型復(fù)雜設(shè)備生產(chǎn)廠家各種類型的部件來(lái)源與需求，構(gòu)建了復(fù)雜設(shè)備部件生產(chǎn)庫(kù)存控制模型。模型以費(fèi)用作為目標(biāo)，通過(guò)權(quán)衡生產(chǎn)成本、庫(kù)存成本以及缺貨成本，從而確定合理的部件生產(chǎn)庫(kù)存控制策略。

復(fù)雜設(shè)備部件；生產(chǎn)庫(kù)存；售后服務(wù)；回收加工；控制模型

生產(chǎn)廠家與客戶需要確定穩(wěn)定的關(guān)系，這種關(guān)系不僅僅局限于設(shè)備的采購(gòu)，而且需要在設(shè)備的整個(gè)全壽命周期中密切地合作。當(dāng)今社會(huì)產(chǎn)品實(shí)現(xiàn)模塊化生產(chǎn)與裝配，產(chǎn)品基本上由若干部件組成，復(fù)雜設(shè)備各部件工藝復(fù)雜，生產(chǎn)周期相對(duì)較長(zhǎng)，所以生產(chǎn)廠家必須持有一些部件庫(kù)存，以快速響應(yīng)客戶設(shè)備整機(jī)訂貨裝配設(shè)備和設(shè)備部件單獨(dú)訂貨的需求。同時(shí)廠家需要承擔(dān)售后服務(wù)協(xié)議規(guī)定的設(shè)備維修保障的內(nèi)容，所以生產(chǎn)廠家的部件庫(kù)存也需要滿足設(shè)備售后服務(wù)的需求。復(fù)雜設(shè)備重要性程度高，停機(jī)會(huì)造成巨大的損失。設(shè)備發(fā)生故障時(shí)，一般進(jìn)行換件維修，以減少停機(jī)時(shí)間。更換下來(lái)的故障件仍有較大的利用價(jià)值，生產(chǎn)廠家往往將對(duì)替換下的故障件進(jìn)行回收與重加工，以節(jié)約資源，降低生產(chǎn)成本[1-2]。圖1給出了生產(chǎn)庫(kù)存系統(tǒng)的運(yùn)行框架結(jié)構(gòu)，不難發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)庫(kù)存需要滿足3個(gè)方面的部件需求：即設(shè)備訂貨、部件單獨(dú)訂貨與售后服務(wù)的部件需求。同時(shí)部件庫(kù)存不僅僅來(lái)源傳統(tǒng)意義的新部件生產(chǎn)，也來(lái)源于故障件的修復(fù)與重加工[3]。如何制定設(shè)備部件生產(chǎn)庫(kù)存控制計(jì)劃，滿足各方面的部件需求且不因?yàn)閹?kù)存積壓而造成經(jīng)濟(jì)損失，這是當(dāng)今復(fù)雜設(shè)備生產(chǎn)廠家面臨的一個(gè)難題。

圖1 生產(chǎn)庫(kù)存系統(tǒng)運(yùn)行框架Fig.1 Production inventory system operating framework

在生產(chǎn)庫(kù)存方面，Smith[4]較早地關(guān)注生產(chǎn)庫(kù)存，提出了帶有下降需求的物品最優(yōu)生產(chǎn)批量策略。Cheng[5]進(jìn)一步將Smith模型擴(kuò)展到生產(chǎn)變質(zhì)性物品的情形。Wee和Wang[6]提出了允許短缺的生產(chǎn)庫(kù)存控制模型，考慮帶有常數(shù)變質(zhì)率的物品以及一般時(shí)變需求。Yan和Cheng[7]通過(guò)假定生產(chǎn)以及變質(zhì)率可隨時(shí)間任意變化而進(jìn)一步研究了連續(xù)生產(chǎn)的生產(chǎn)庫(kù)存問(wèn)題。Pan[8]和Ouyang[9]等考慮了需求不確定且提前期可控下的生產(chǎn)庫(kù)存聯(lián)合決策。Zhou[10]等在假定時(shí)變需求與部分短缺量延期供給的前提下，提出了一種尋求易變質(zhì)物品在有限計(jì)劃期內(nèi)的最優(yōu)生產(chǎn)與訂購(gòu)策略的生產(chǎn)調(diào)整模型。Mondal B[11]和Mondal S[12]等研究了有缺陷的產(chǎn)品的生產(chǎn)庫(kù)存。從當(dāng)前的文獻(xiàn)來(lái)看，它們主要考慮生產(chǎn)成品整機(jī)訂貨的情況而沒(méi)有考慮部件訂貨的情況，僅僅將產(chǎn)品需求考慮為單一的客戶訂貨，而并沒(méi)有考慮設(shè)備保修消耗部件的情況，庫(kù)存來(lái)源僅僅考慮了新部件的生產(chǎn)，忽略了故障件的回收加工。本文將綜合考慮復(fù)雜設(shè)備各種類型的部件來(lái)源與需求，構(gòu)建復(fù)雜設(shè)備生產(chǎn)庫(kù)存控制模型。

1 問(wèn)題描述與基本假設(shè)

本文的研究對(duì)象為一個(gè)需要面對(duì)設(shè)備訂貨部件需求、部件獨(dú)立訂貨需求以及售后服務(wù)部件需求的生產(chǎn)庫(kù)存系統(tǒng)。目的在于建立一個(gè)部件生產(chǎn)庫(kù)存控制模型，確定部件生產(chǎn)庫(kù)存點(diǎn)以及生產(chǎn)時(shí)長(zhǎng)，在滿足設(shè)備訂貨、部件單獨(dú)訂貨與售后服務(wù)的部件需求前提盡量地降低生產(chǎn)成本與庫(kù)存成本，提高廠家效益。該生產(chǎn)庫(kù)存系統(tǒng)符號(hào)描述如下：系統(tǒng)運(yùn)行在有限的計(jì)劃期內(nèi)，H表示計(jì)劃期的長(zhǎng)度；設(shè)備訂單關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為f(t)；部件i訂單關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為si(t)；部件i維修需求函數(shù)為λi(t)；記Ii(t)為部件i在t時(shí)刻的庫(kù)存水平；Pi為部件i的常數(shù)生產(chǎn)率；di為部件i所需的生產(chǎn)提前期，即部件i開(kāi)始加工到成品入庫(kù)的時(shí)間；Ri為回收加工周期；ni為部件i的機(jī)用數(shù)；采用(Ii0,Di)對(duì)生產(chǎn)庫(kù)存進(jìn)行控制，Ii0為部件i的生產(chǎn)點(diǎn)庫(kù)存，Di為部件i的持續(xù)生產(chǎn)時(shí)長(zhǎng)，即當(dāng)庫(kù)存降為Ii0時(shí)，連續(xù)生產(chǎn)長(zhǎng)為Di的一段時(shí)間，Di包括生產(chǎn)提前期以及實(shí)際生產(chǎn)期；K為有限計(jì)劃期內(nèi)的生產(chǎn)庫(kù)存控制周期數(shù)；Tik為部件i第k個(gè)周期開(kāi)始時(shí)刻（i=1,2,…,I），Ti1=0；tik為部件i第k個(gè)生產(chǎn)庫(kù)存控制周期生產(chǎn)停止時(shí)刻；當(dāng)存在部件缺貨時(shí)為部件i第k個(gè)生產(chǎn)庫(kù)存控制周期內(nèi)缺貨的發(fā)生時(shí)刻為部件i第k個(gè)生產(chǎn)庫(kù)存控制周期內(nèi)缺貨的結(jié)束時(shí)刻；Ai為部件i的單個(gè)生產(chǎn)庫(kù)存控制周期的固定生產(chǎn)成本；w表示設(shè)備的銷售價(jià)格；wi表示部件i的單位銷售價(jià)格；hi表示單位時(shí)間內(nèi)部件i的單位庫(kù)存費(fèi)用；c表示設(shè)備的生產(chǎn)成本；ci表示部件i的單位生產(chǎn)成本；。

為了便于模型的建立，本文引入如下假定：

1）生產(chǎn)部件到達(dá)的時(shí)間段庫(kù)存函數(shù)為增函數(shù)，對(duì)于任意t∈[Tik+di,Tik+Di]，

生產(chǎn)部件未到達(dá)的時(shí)間段庫(kù)存函數(shù)為減函數(shù)，對(duì)于任意t∈[Tik,Tik+di]?(Tik+Di,Tik+1]，

2）故障件以一定比例報(bào)廢，其余部件可以進(jìn)行重加工，且重加工后與新產(chǎn)品完全一樣。θi表示部件i的回收加工利用概率。

3）系統(tǒng)允許缺貨，缺貨期間造成設(shè)備訂單數(shù)與部件訂單數(shù)的流失數(shù)量與當(dāng)前時(shí)刻訂單到來(lái)的數(shù)量和系統(tǒng)中等待的顧客數(shù)的乘積是正比關(guān)系損失分別表示部件i缺貨期間設(shè)備與部件的缺貨訂單損失比例系數(shù)。

4）第1類部件需求延誤損失、第2類部件需求延誤損失、第3類部件需求延誤損失與延誤的數(shù)量和時(shí)間成正比關(guān)系分別表示部件i的第1類部件需求、第2類部件需求、第3類部件需求單位產(chǎn)品單位時(shí)間的缺貨損失費(fèi)用。第1類部件需求、第2類部件需求、第3類部件需求分別表示設(shè)備訂貨、部件單獨(dú)訂貨與售后服務(wù)的部件需求。

2 模型與求解

系統(tǒng)呈周期運(yùn)行，每個(gè)周期有生產(chǎn)提前期，生產(chǎn)期以及生產(chǎn)間隙期3個(gè)階段，在生產(chǎn)提前期與生產(chǎn)間隙期均無(wú)部件到達(dá)，這2個(gè)階段庫(kù)存函數(shù)為減函數(shù)，所以部件i第k個(gè)生產(chǎn)周期的庫(kù)存最低點(diǎn)將在Tik+di時(shí)刻出現(xiàn)，記

式中，ui(η)=λi(η)-θiλi(η-Ri)+nif(η)+si(η)，為η時(shí)刻的部件i的需求率。如果，代表庫(kù)存控制策略下第k個(gè)生產(chǎn)庫(kù)存控制周期內(nèi)部件i將不會(huì)發(fā)生缺貨，即將不會(huì)出現(xiàn)，各類部件需求均能滿足。如果，代表該庫(kù)存控制策略下第k個(gè)生產(chǎn)庫(kù)存控制周期內(nèi)部件i將會(huì)發(fā)生缺貨?？紤]第k個(gè)生產(chǎn)庫(kù)存控制周期內(nèi)部件i將不會(huì)發(fā)生缺貨的情況，則部件i各時(shí)段的庫(kù)存Ii(t)有：

求解式（2）可以得出：

考慮第k個(gè)生產(chǎn)庫(kù)存控制周期內(nèi)部件i將發(fā)生缺貨的情況，則部件i各時(shí)段的庫(kù)存Ii(t)有：

記HCik為第k個(gè)生產(chǎn)庫(kù)存控制周期的庫(kù)存費(fèi)用，當(dāng)?shù)趉個(gè)生產(chǎn)庫(kù)存控制周期內(nèi)部件i不會(huì)發(fā)生缺貨時(shí)，則有：

當(dāng)?shù)趉個(gè)生產(chǎn)庫(kù)存控制周期內(nèi)部件i發(fā)生缺貨時(shí)，則有：

部件缺貨損失可以分為客戶延誤損失與客戶流失損失，客戶延誤損失是指生產(chǎn)廠家對(duì)客戶訂貨或者送修的延期反應(yīng)所付出的代價(jià)，客戶流失損失是指因?yàn)槿必浽斐煽蛻粲唵瘟魇У膿p失。記為第k個(gè)生產(chǎn)庫(kù)存控制周期的客戶延誤損失，則有：

記Q″ik第k個(gè)生產(chǎn)庫(kù)存控制周期因?yàn)椴考缺貨而流失的設(shè)備訂貨量，則有

記q″ik為第k個(gè)生產(chǎn)庫(kù)存控制周期流失的部件i單獨(dú)訂貨量，則有

記SCik為第k個(gè)生產(chǎn)庫(kù)存控制周期部件i缺貨損失，則有

將部件缺貨引起的設(shè)備或者部件訂單流失所造成的損失看作支付的費(fèi)用，記TCik為第k個(gè)生產(chǎn)庫(kù)存控制周期部件i的期望費(fèi)用，則有

生產(chǎn)廠家一段時(shí)間內(nèi)各類部件的需求是一定的，增加部件庫(kù)存可以減少缺貨損失的同時(shí)也增加了庫(kù)存費(fèi)用。部件非連續(xù)生產(chǎn)模式下要盡量減少生產(chǎn)次數(shù)，因?yàn)槊看紊a(chǎn)需要一定與生產(chǎn)數(shù)量無(wú)關(guān)的固定成本，每次生產(chǎn)數(shù)量越多，單件產(chǎn)品所承擔(dān)的固定成本將會(huì)越低，但是庫(kù)存成本將會(huì)增加，所以需要權(quán)衡庫(kù)存，生產(chǎn)批量之間的各種關(guān)系。記Q′k為第k個(gè)生產(chǎn)庫(kù)存控制周期的設(shè)備訂貨需求，則有

記q′ik為第k個(gè)生產(chǎn)庫(kù)存控制周期部件i的單獨(dú)訂貨需求，則有

記第k個(gè)生產(chǎn)庫(kù)存控制周期的設(shè)備與部件銷售量分別為Qk、qik，則有第k個(gè)生產(chǎn)庫(kù)存控制周期的利潤(rùn)為：

記TPK為K個(gè)生產(chǎn)庫(kù)存控制周期的總收益為

由于在不同的生產(chǎn)庫(kù)存控制策略下，計(jì)劃期H不可能正好是生產(chǎn)庫(kù)存控制周期的整數(shù)倍，如果存在TiK＜H≤TiK+1，則可以用[0,TiK+1]時(shí)間內(nèi)的平均生產(chǎn)庫(kù)存控制效果等價(jià)于H時(shí)間段內(nèi)的平均生產(chǎn)庫(kù)存控制效果。生產(chǎn)計(jì)劃期H時(shí)間段內(nèi)的總收益可以表示為

生產(chǎn)計(jì)劃期H內(nèi)部件i的期望費(fèi)用可以表示為

通過(guò)調(diào)整生產(chǎn)點(diǎn)庫(kù)存Ii0與周期生產(chǎn)時(shí)長(zhǎng)Di，可以調(diào)整生產(chǎn)計(jì)劃期H內(nèi)的庫(kù)存狀態(tài)；通過(guò)求解該非線性規(guī)劃問(wèn)題，可以得到最優(yōu)的Ii0與Di取值，從而得到最優(yōu)的生產(chǎn)庫(kù)存控制方案。該模型是一個(gè)兩變量非線性規(guī)劃模型。生產(chǎn)點(diǎn)庫(kù)存Ii0必須為整數(shù)，因而求解該模型可以先計(jì)算出Ii0的取值范圍，然后分別計(jì)算每個(gè)可行Ii0的最優(yōu)生產(chǎn)時(shí)長(zhǎng)Di，最后取期望費(fèi)用最小的一組(Ii0,Di)。記生產(chǎn)計(jì)劃期H內(nèi)部件i不出現(xiàn)部件缺貨所需要的最小庫(kù)存為，記表示不小于x的最小整數(shù)則有：

3 應(yīng)用實(shí)例

假設(shè)某復(fù)雜設(shè)備生產(chǎn)廠家需要制定該設(shè)備部件i的生產(chǎn)庫(kù)存控制策略，部件i的相關(guān)參數(shù)如下：H=800h，f(t)=0.1+0.000 1t件/h，λi(t)=0.5件/h，si(t)=0.8+0.0003t件/h，Pi=5件/h，ni=1，di=20 h，Ri=5 h，Ti1=0，Ai=10千元，w=300千元/臺(tái)，c=180千元/臺(tái)，wi=2千元/件，ci=1千元/件

利用上文的方法可以求得Ii0和Di取不同值時(shí)的期望費(fèi)用Ci，通過(guò)迭代優(yōu)化，Ii0=24件，Di=30.6h為最優(yōu)解，此時(shí)Ci=31.338千元，部件i生產(chǎn)計(jì)劃期內(nèi)的總費(fèi)用最少。Ii0=24件時(shí)部件i生產(chǎn)庫(kù)存控制周期生產(chǎn)時(shí)長(zhǎng)Di與期望費(fèi)用Ci關(guān)系如圖2所示，圖3給出了Ii0=24件、Di=30.6h時(shí)的生產(chǎn)庫(kù)存控制策略下部件的庫(kù)存變化情況。由圖3可見(jiàn)，Ii0=24件、Di=30.6h時(shí)的生產(chǎn)庫(kù)存控制策略可以取得較好的效益，有效地減少生產(chǎn)庫(kù)存系統(tǒng)費(fèi)用。

圖2 Ii0=24時(shí)部件i周期生產(chǎn)時(shí)長(zhǎng)與期望費(fèi)用的關(guān)系Fig.2 Relation between production period of parti and its expected cost whenIi0=24

圖3 (Ii0=24,Di=30.6)策略下部件i的庫(kù)存變化圖Fig.3 Inventory variation figure of parti when performing policy(Ii0=24,Di=30.6)

4 結(jié)束語(yǔ)

傳統(tǒng)的生產(chǎn)庫(kù)存控制理論僅僅考慮產(chǎn)品整機(jī)訂貨產(chǎn)生的部件需求，并沒(méi)有考慮到產(chǎn)品部件單獨(dú)訂貨需求；僅考慮客戶訂貨需求，并沒(méi)有考慮產(chǎn)品售后服務(wù)產(chǎn)生的部件需求。傳統(tǒng)的生產(chǎn)庫(kù)存理論將新產(chǎn)品生產(chǎn)作為庫(kù)存的唯一來(lái)源，并沒(méi)有考慮到產(chǎn)品的回收加工。本文通過(guò)分析復(fù)雜設(shè)備全壽命運(yùn)行的特點(diǎn)，綜合考慮部件庫(kù)存的各類來(lái)源與需求，提出了考慮售后服務(wù)與回收加工的復(fù)雜設(shè)備部件生產(chǎn)庫(kù)存控制模型，該模型通過(guò)控制生產(chǎn)點(diǎn)庫(kù)存與部件生產(chǎn)庫(kù)存控制周期生產(chǎn)時(shí)長(zhǎng)對(duì)部件庫(kù)存實(shí)施控制。該模型對(duì)復(fù)雜設(shè)備生產(chǎn)廠家的生產(chǎn)庫(kù)存控制決策有較大的參考價(jià)值。

[1]TEUNTER R H，VLACHOS D.On the necessity of a disposal option for returned items that can be remanufactured [J].International Journal of Production Economics，2002，75（3）：257-266.

[2]NENES G.，PANAGIOTIDOU S，DEKKER R.Inventory control policies for inspection and remanufacturing of returns：A case study[J].International Journal of Production Economics，2010，125（2）：300-312.

[3]KLEBER R，ZANONI S，ZAVANELLA L.On how buyback and remanufacturing strategies affect the profitability of spare parts supply chains[J].International Journal of Production Economics，2011，133（1）：135-142.

[4]SMITH P H.Optimal production policy for linear demand [J].European Journal of Operational Research，1976，1（6）：365-367.

[5]CHENG T C E.Optimal production policy for decaying items with decreasing demand[J].European Journal of Operational Research，1989，43（2）：168-173.

[6]WEE H M，WANG W T.A variable production scheduling policy for deteriorating items with time-varying demand[J].Computer and Operations Research，1999，26（3）：237-254.

[7]YAN H，CHENG T C E.Optimal production stopping and restarting times for an EOQ model with deteriorating items[J].Journal of the Operations Research Society，1998，49（12）：1288-1295.

[8]PAN J C，YANG J S.A study of an integrated inventory with controllable lead time[J].International Journal of Production Economics，2002，40（5）：1263-1273.

[9]OUYANG L Y，WU K S，HO C H.Integrated vendorbuyer cooperative models with stochastic demand in controllable lead time[J].International Journal of Production Economics，2004，92（3）：255-266.

[10]ZHOU Y W，LAU H S，YANG S L.A new variable production scheduling strategy for deteriorating items with time-varying demand and partial lost sale[J].Computer and Operations Research，2003，30（12）：1753-1776.

[11]MONDAL B，BHUNIA A K，MAITI M.Inventory models for defective items incorporating marketing decisions with variable production cost[J].Applied Mathematical Modelling，2009，33（6）：2845-2852.

[12]MANDAL S，MAITY K，MONDAL S，et al.Optimal production inventory policy for defective items with fuzzy time period[J].Applied Mathematical Modelling，2010，34（3）：810-822.

Production Inventory Control Model of Complex Equipments Parts Concerned with After Service and Recycle Machining

ZHONG Jing-wu
（The 76327thUnit of PLA,Chenzhou Hunan 423026,China）

In this paper with the comprehensive consideration of the parts sources and demands of all kinds,a production in?ventory model for complex equipments parts was put forward.This model aimed to determine a reasonable parts production inventory control plan through weighing production cost,the inventory cost and shortage cost.

complex equipment parts;production inventory;after service;recycle machining;control model

TP13；F253.4

A

1673-1522（2014）05-0481-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2014.05.017

2014-05-20；

2014-07-18

鐘敬武（1974-），男，工程師，碩士。