（海軍航空工程學院基礎部，山東煙臺264001）

圖像在形成、傳輸和存儲的過程中，由于受多種因素的影響，圖像的質量會有所下降，這一過程稱為圖像的退化或降質。如果想提取圖像中的有用信息，就需要對退化圖像進行復原。圖像復原是研究怎樣從退化的圖像中復原出原始的清晰圖像，也就是要根據(jù)已有的退化圖像和估計的退化因子反演推導出原始的圖像。退化因子即是需要估計退化過程的點擴展函數(shù)（Point Spread Function，PSF）。對于運動模糊退化，需要估計出運動模糊PSF 中的2個參數(shù)——模糊尺度和模糊方向。

運動模糊參數(shù)估計主要有2類方法：一類是基于空域的參數(shù)估計方法[1-5]；一類是基于頻域的參數(shù)估計方法[6-9]?；诳沼虻膮?shù)識別方法利用退化圖像中的點、線和邊緣等信息，當模糊尺度較大時，識別的誤差也很大[4]。而基于頻域的參數(shù)識別的方法受噪聲影響嚴重[8，10]。

本文分析了運動模糊PSF的倒譜特性，得到基于倒譜的參數(shù)估計方法。并通過數(shù)值實驗驗證該方法的有效性。

1 運動模糊退化的數(shù)學模型

圖像退化的一般模型可表示為[11]

式（1）中：g(x,y)、f(x,y)和h(x,y)分別為退化圖像、原始圖像和退化系統(tǒng)的PSF；n(x,y)表示噪聲。不同的退化系統(tǒng)對應著不同的h(x,y)。

用攝像機獲取景物圖像時，由于相機曝光時景物和攝像機之間有相對運動而形成圖像模糊現(xiàn)象稱為運動模糊。運動模糊的PSF可以表示為：

式中，θ為模糊方向與x軸夾角。

如式（2）所示，運動模糊PSF依賴于2個參數(shù)——模糊尺度L 和模糊方向θ，因而對運動模糊PSF的估計就是對這2個參數(shù)進行估計。其傅里葉變換結果H(u,v)為

式中，ω=u cos θ+v sin θ。

2 倒譜定義及性質

給定二維函數(shù)h(x,y)，其倒譜的計算公式為[6]

式中，?表示傅里葉變換。

倒譜可以看做從h(x,y)到C(p,q)的變換，如果用C{·}來表示倒譜變換，則

由于二維傅里葉變換?是可分的[11]（即對二維函數(shù)f(x,y)做?變換，可先對x（或y）做?變換，再對y（或x）做?變換）以及式（5）中絕對值的存在，算子C{·}為非線性可分算子。由?變換的性質很容易推導出倒譜變換的性質：

1）旋轉。如果C{h(r,θ)}=C(ρ,φ)，則

即函數(shù)旋轉，倒譜也隨之旋轉，且旋轉的角度值相同。

2）平移。因為

所以

即原函數(shù)經平移后的倒譜與原函數(shù)的倒譜相同。

3）可分函數(shù)的倒譜。倒譜算子C{·}的一個重要性質為它的分離特性（對可分函數(shù)），下面進行分析。假設h(x,y)為可分函數(shù)，即

則h(x,y)二維?變換可轉化為對h1(x)和h2(y)的一維?變換。記：

則

從而，

函數(shù)1(t)表示對所有的自變量t，函數(shù)值都為1。最后，做?-1變換得

即

倒譜算子C{·}的分離特性來自于?-1{1(t)}。由?變換可知?-1{1(u)}=δ(p)，?-1{1(v)}=δ(q)，因而等式可改寫為

這說明可分函數(shù)的倒譜只出現(xiàn)在倒譜域的坐標軸（p=0，q=0）上，與x相關部分出現(xiàn)在p軸上，與y相關部分出現(xiàn)在q軸上。

綜合以上3條性質可得：分析可分函數(shù)的倒譜時，只須通過函數(shù)在倒譜域坐標軸上的倒譜值和坐標軸的旋轉角度即可。

3 基于倒譜特性的參數(shù)估計

由式（2），運動模糊PSF為常值函數(shù)，顯然為變量可分離函數(shù)?？梢酝ㄟ^倒譜域的坐標軸上圖像可分析出運動運動模糊PSF中的參數(shù)信息。

在忽略噪聲的情況下，根據(jù)式（1），有

這樣，模糊圖像在時域為原圖像和模糊核的卷積，變換到倒譜域之后為原圖像的倒譜與PSF的倒譜之和?？臻g域的卷積在倒譜域變成了加法，可以比較容易地分離出模糊信息。為使H(u,v)=0時式（4）有意義，實際應用中圖像的倒譜通常用下式計算[12]：

圖1以lena圖像為例，給出了原始圖像的倒譜，運動模糊方向45°，模糊尺度為20個像素時的PSF的倒譜，以及運動模糊圖像的倒譜。從圖1b）中可以看出，原始圖像的倒譜比較復雜，除中心亮點外，其能量分布均勻；圖1c）中，PSF的倒譜在延模糊方向（45°）上出現(xiàn)周期性亮點；第一個亮點到中心的距離為20，意味著模糊尺度為20 像素，到中心的距離為40 像素處的第二個亮點為第一個諧波，諧波的產生是由于數(shù)值計算采用離散?變換（DFT）造成的；圖1d）中，模糊圖像的倒譜為原圖像倒譜與PSF的倒譜之和，由于原始圖像的倒譜值集中在中心點附近（低頻區(qū)域），故模糊圖像的倒譜特征與PSF的倒譜特征相似，在沿模糊方向（45°）上出現(xiàn)周期性亮點。所以，可利用模糊圖像的倒譜特征估計模糊參數(shù)。

圖1 PSF與模糊圖像的倒譜Fig.1 Cepstrem of PSF and blurred image

Radon變換[11]用來計算二維圖像矩陣在某個方向上的投影，定義如下：

該投影即是在某一方向的線積分，反映了圖像在不同方向上的投影性質。Radon變換一個重要的性質就是檢測圖像中的直線的方向，可以用Radon變換精確地檢測出亮條紋的方向。若Radon變換中沿某個方向上的積分很大，則表明在與該方向垂直的方向上存在直線。圖2給出了Radon變換檢測直線方向的結果。當直線與水平方向成45°時，Radon變換的最大值出現(xiàn)在135°方向，與直線方向垂直。

圖2 Radon變換結果Fig.2 Results of Radon transform

綜上，基于倒譜特性的參數(shù)估計方法如下：

1）運動模糊圖像的倒譜在其模糊方向上有不斷衰減的周期性亮點出現(xiàn)，其中離中心最近的亮點到中心的距離等于運動模糊尺度L[6]。

2）對于模糊方向θ的估計，可利用Radon變換。記α為找到變換結果最大值出現(xiàn)的方向，則運動模糊的方向θ=α-90°。

至此，PSF 中的運動模糊尺度L 和模糊方向θ 已全部估計出來。

4 數(shù)值實驗

下面通過數(shù)值實驗檢驗該方法的準確性和抗噪聲干擾能力。

圖3為基于倒譜的模糊方向檢測結果，圖3a）為原始lena圖像，對圖3a）施加方向為45°、尺度為20像素的運動模糊得到圖3b）。運動模糊圖像的倒譜如圖3c）所示，對圖3c）進行二值化處理得圖3d）。圖3e）是對圖3d）進行Radon變換的結果，圖3f）為圖3e）的極大值曲線，從圖3f）中可以看出Radon變換的最大值出現(xiàn)在135°方向，所以運動模糊方向為135°-90°=45°。

圖3 基于倒譜的模糊方向檢測Fig.3 Detection of blur direction

接下來估計模糊尺度。對于這種任意模糊方向的模糊，一般先將運動模糊方向旋轉至水平方向，然后在水平方向估計模糊尺度，這樣方便進行模糊尺度的估計。

圖4為基于倒譜的模糊尺度檢測的結果。將倒譜（圖3c））順時針旋45°，使其變成在水平方向上的運動模糊得到圖4a）。由于倒譜具有中心對稱性，可以只考慮右半部分，由中心到第一個亮點的距離為運動模糊距離L。提取出圖4a）中的亮條紋如圖4b），第一個亮點（坐標為204）到中心點（坐標為183）的距離為L=204-183=21個像素，與真實值的誤差為1個像素。

圖4 基于倒譜的模糊尺度檢測Fig.4 Detection of blur scale

當加入均值為0、方差為25的高斯噪聲時，模糊尺度固定為20個像素，模糊方向變化范圍在0°～180°，對于模糊方向的檢測結果如表1所示。相同的噪聲條件下，運動模糊方向固定為45°，模糊尺度變化范圍為5～20個像素，對于模糊尺度的檢測結果如表2所示。從表1、2中可以看出，模糊尺度的檢測誤差在1°內，模糊尺度的檢測誤差在2個像素內，精度很高，證明該方法具有較強的魯棒性。

表1 模糊方向檢測結果（L=20）Tab.1 Detection results of blur direction（L=20）

表2 模糊尺度檢測結果（θ=45°）Tab.2 Detection results of blur scale（θ=45°）

5 結論

本文提出了基于倒譜的運動模糊參數(shù)估計方法。首先，分析了運動模糊點擴展函數(shù)的倒譜性質，得出運動模糊圖像的倒譜會在模糊方向上出現(xiàn)峰值，實驗結果驗證了理論分析的準確性。接下來，提出基于倒譜的參數(shù)估計方法，利用Radon變換檢測出亮條紋的方向即是運動模糊的方向，第1個亮條紋與中心的距離即是模糊的長度。最后，通過數(shù)值實驗驗證了該方法的準確性和魯棒性。

在估計模糊尺度時，本文采用的方法是測量中心到右側第一個亮條紋的距離為模糊尺度。事實上，各個亮條紋之間的距離是相等的，都等于模糊尺度。下一步可以采取測量多個亮條紋之間的距離取平均的方法來進一步提高模糊尺度的估計精度。

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