劉立佳，李相民，李 亮

（1.海軍航空工程學(xué)院a.研究生管理大隊(duì)；b.兵器科學(xué)與技術(shù)系；c.訓(xùn)練部，山東煙臺(tái)264001；2.93246部隊(duì)，長(zhǎng)春130000）

研究防空系統(tǒng)與空襲武器的對(duì)抗過(guò)程，計(jì)算目標(biāo)對(duì)防空系統(tǒng)的突防概率是分析防空火力網(wǎng)攔截能力的重要方面。自20世紀(jì)60年代排隊(duì)論[1-2]成熟后，就應(yīng)用到了防空系統(tǒng)攔擊能力的分析領(lǐng)域。

隨著預(yù)警機(jī)、空地導(dǎo)彈、制導(dǎo)炸彈等高科技武器的應(yīng)用，現(xiàn)代防空作戰(zhàn)模式發(fā)生了重大變化，依靠一種類型的防空武器很難對(duì)多種空襲武器實(shí)施有效攔截，需構(gòu)筑多道防線對(duì)要地實(shí)施保護(hù)[3-5]。

實(shí)際應(yīng)用中，由于受多種因素限制，不同方向上，多個(gè)防空武器殺傷區(qū)縱深不同，因而其攔截能力必然是關(guān)于方向變化的函數(shù)。而當(dāng)前文獻(xiàn)研究，多應(yīng)用排隊(duì)論將整個(gè)防空體系當(dāng)做一個(gè)整體來(lái)計(jì)算其攔截能力[6-9]，假設(shè)目標(biāo)的來(lái)襲方向服從正態(tài)分布或以服從均勻分布的航路捷徑進(jìn)襲要地，而實(shí)際上，在某一方向內(nèi)，目標(biāo)從不同方位來(lái)襲的可能性不同，也不服從正態(tài)分布，以上假定同實(shí)際應(yīng)用存在一定偏差?；谶@一問(wèn)題，本文利用插值算法來(lái)確定突防概率關(guān)于敵機(jī)來(lái)襲方向的函數(shù)曲線，從而得出防空火力網(wǎng)攔截能力的數(shù)學(xué)描述，作為評(píng)估防控火力網(wǎng)攔截能力的指標(biāo)。仿真實(shí)驗(yàn)則說(shuō)明本文提出的方法能夠有效解決該問(wèn)題。

1 現(xiàn)代防空作戰(zhàn)多防線的劃分

由于空襲兵器種類、戰(zhàn)術(shù)多樣，防空部署對(duì)空視界受作戰(zhàn)環(huán)境的制約性，客觀要求防空作戰(zhàn)必須區(qū)分防御層次。

將遠(yuǎn)程防空武器防線部署至外圍，攔截入侵的敵轟炸機(jī)、遠(yuǎn)程對(duì)地導(dǎo)彈，甚至是預(yù)警指揮機(jī)等目標(biāo)，做到先發(fā)制人，這是至關(guān)重要的。

中程防空武器防線攔截突防遠(yuǎn)程防線的各類空中目標(biāo)，其作戰(zhàn)任務(wù)是將各類轟炸機(jī)攔截于投彈圈之外，使其不能完成投彈任務(wù)，而確保要地安全。

近程防線部署于要地周圍，用來(lái)攔截突防的各類遠(yuǎn)程對(duì)地導(dǎo)彈及轟炸機(jī)投放的各類制導(dǎo)炸彈、導(dǎo)彈等，由于此類目標(biāo)多低空突防目標(biāo)，因而采用近程、低空防空武器予以攔截，具體請(qǐng)參見(jiàn)圖1。由此可知，多防線防空武器部署攔截能力的評(píng)估問(wèn)題，是當(dāng)前防空武器作戰(zhàn)使用的重要內(nèi)容。

圖1 防空武器防線劃分示意圖Fig.1 Schematic diagram of multi-air defending line

2 攔截能力評(píng)估的基本假設(shè)

設(shè)防御系統(tǒng)有3道防線，同防線上武器類型相同，不同防線上武器可以不相同。對(duì)不同防線上武器不同的防空系統(tǒng)，稱為多防線異類防空系統(tǒng)[10]。

1）來(lái)襲目標(biāo)為泊松流。其分布函數(shù)為

式中，λ為單位時(shí)間內(nèi)來(lái)襲目標(biāo)數(shù)量即泊松流強(qiáng)度。來(lái)襲目標(biāo)流假設(shè)為泊松流是合理的，因?yàn)樵摿鳛樽詈?jiǎn)單流，最難被防御系統(tǒng)攔截，將系統(tǒng)放在最難的情況下評(píng)估其攔截能力，必然高于實(shí)際情況[11]。

2）每個(gè)防空武器射擊1次后，馬上判斷射擊效果，若敵機(jī)被摧毀，則射擊其他目標(biāo)，否則繼續(xù)對(duì)該敵機(jī)射擊，直至其被擊落或飛離防空武器殺傷區(qū)。這一時(shí)間間隔體現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)特性用平均服務(wù)時(shí)間Tsev描述。μ=1/Tsev為單位時(shí)間內(nèi)的服務(wù)率，防空系統(tǒng)（導(dǎo)彈，高炮）服務(wù)時(shí)間是由系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間、射擊次數(shù)以及每相鄰2次射擊之間的時(shí)間間隔決定，即

式（2）中：Tsev為服務(wù)時(shí)間；tr為系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間；nf為對(duì)1個(gè)目標(biāo)實(shí)施的射擊次數(shù)；tf,i為第i、i+1次射擊間隔時(shí)間，包括彈丸飛行時(shí)間、效果評(píng)估時(shí)間、決策時(shí)間。

由以上分析討論可知，服務(wù)時(shí)間是1個(gè)階梯函數(shù)，見(jiàn)圖2。

圖2 服務(wù)時(shí)間階梯函數(shù)Fig.2 Step function of service time

可見(jiàn)，服務(wù)時(shí)間是一離散分布的隨機(jī)變量。則

式中：P為單發(fā)毀傷概率；Tnf為射擊nf次需要的時(shí)間。

式（4）、（5）中：q=1-p；T2、T3為計(jì)算2次和3次射擊需要的服務(wù)時(shí)間。

系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間tr通常為10 s 左右時(shí)間，而對(duì)于中遠(yuǎn)程導(dǎo)彈系統(tǒng)而言，由于目標(biāo)距火力單元可達(dá)數(shù)十千米，因而tf,1近1 min時(shí)間。有且可證明是關(guān)于q的增函數(shù)。對(duì)于精確制導(dǎo)武器來(lái)說(shuō)q=1-p≤0.5，則有dμ是10-2數(shù)量級(jí)的。由以上推導(dǎo)可知，僅考慮2次射擊所消耗的時(shí)間作為平均服務(wù)時(shí)間所產(chǎn)生的誤差較小，因而當(dāng)武器系統(tǒng)能夠?qū)麉^(qū)的目標(biāo)完成2次以上射擊時(shí)，平均服務(wù)率為

僅能滿足1次射擊時(shí)的服務(wù)率為

以上就是μ的確定方法。

3）若防空武器存在空閑發(fā)射單元，則當(dāng)目標(biāo)進(jìn)入其殺傷區(qū)時(shí)，立即對(duì)其射擊。

4）假設(shè)空襲目標(biāo)直接進(jìn)攻要地，不考慮目標(biāo)同防空武器的對(duì)抗。

5）空襲目標(biāo)按次序依次通過(guò)遠(yuǎn)程、中程、近程防空防線。

3 多防線防空武器系統(tǒng)攔截能力評(píng)估

根據(jù)第2節(jié)假設(shè)，空襲目標(biāo)同防空武器系統(tǒng)之間具有典型的隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)特征，構(gòu)成了有限等待、多服務(wù)臺(tái)、先來(lái)先服務(wù)的服務(wù)系統(tǒng)（M/M/C系統(tǒng)），具體請(qǐng)見(jiàn)圖3。

圖3 多防線防空系統(tǒng)的排隊(duì)系統(tǒng)示意圖Fig.3 Queuing system schematic diagram of multi-air defending line

3.1 單防線突防概率計(jì)算

沿某方位φ 進(jìn)襲的目標(biāo)突防概率表達(dá)式如下：

式（9）～（12）中：λ為目標(biāo)的到達(dá)強(qiáng)度；μ為火力單元的服務(wù)率；（υ為逗留率為目標(biāo)飛行速度，d為目標(biāo)在防空武器殺傷區(qū)內(nèi)的飛行距離）；C為能夠?qū)δ繕?biāo)實(shí)施射擊的防空武器數(shù)量，在多部防空武器殺傷區(qū)的重疊區(qū)域C ＞1，否則C=1。

3.2 多防線突防概率計(jì)算

設(shè)P突防(φ)i表示空襲目標(biāo)以方位φ 突防第i 道防線的突防概率，突防該防線目標(biāo)流強(qiáng)度記為λi，則

將λi代入式（3）～（7），就可得到P突防(φ)i。則目標(biāo)突防多條防線后的突防概率為

3.3 突防概率關(guān)于來(lái)襲方位的函數(shù)

通過(guò)以上方法，可求得目標(biāo)沿某方位φ 突防多防線防空系統(tǒng)的解析表達(dá)式，但目標(biāo)可以在一個(gè)方位內(nèi)，沿任意方位角進(jìn)襲要地，當(dāng)前一些文獻(xiàn)假設(shè)φ 在可進(jìn)襲的方位內(nèi)服從均勻分布或正態(tài)分布，而求得空襲目標(biāo)突防概率表達(dá)式。但實(shí)際上，目標(biāo)沿某方位進(jìn)襲要考慮到該方位是否有利于隱蔽、有利于瞄準(zhǔn)、有利于逃逸等多方面因素，不一定服從正太分布或均勻分布。因此，本文采用拉格朗日插值來(lái)近似構(gòu)造P突防關(guān)于來(lái)襲方位φ的表達(dá)式。

假設(shè)，經(jīng)判斷，敵機(jī)可能在方位θ1、θ2內(nèi)進(jìn)襲要地，且方位θ1、θ2內(nèi)包含m個(gè)子方位，目標(biāo)沿第j個(gè)方位來(lái)襲的可能性為為該方位的起始和終止角度，且有

設(shè)給定了l個(gè)方位來(lái)襲目標(biāo)突防概率P突防(φk)，其中k=1,2,…,l。則由拉格朗日插值得出

則p=min(P突防(φ))可用來(lái)衡量該多防線防空系統(tǒng)攔截能力。若考慮目標(biāo)沿各方向來(lái)襲的可能性，也可用防線整體的突防概率均值作為衡量指標(biāo)：

4 仿真實(shí)驗(yàn)

設(shè)要地由3個(gè)獨(dú)立目標(biāo)組成，各目標(biāo)的重要性權(quán)重分別為0.6、0.1、0.3。根據(jù)各目標(biāo)建筑強(qiáng)度，敵典型空地導(dǎo)彈對(duì)各目標(biāo)的破壞半徑分別為1.03 m、2.01 m和1.55 m，圓概率誤差為2.05 m，導(dǎo)彈流為泊松流，強(qiáng)度4枚/min，持續(xù)時(shí)間10 min。防空武器采用扇形部署方式在要地外圍的陣地縱深上形成遠(yuǎn)、中、近程防空防線，敵軍可能從-60°～60°方向（以正北方向?yàn)闇?zhǔn)）來(lái)襲，具體請(qǐng)參見(jiàn)圖4所示。

圖4 防空陣地部署示意圖Fig.4 Deployment schematic diagram of the air defense battle field

防空武器性能參數(shù)見(jiàn)表1。在-60°～60°范圍內(nèi)等分取7個(gè)來(lái)襲方位，解得目標(biāo)通過(guò)3 條防線的突防概率見(jiàn)表2。應(yīng)用以上數(shù)據(jù)得到插值后的函數(shù)P突防(φ)函數(shù)曲線見(jiàn)圖5。

表1 各型防空武器性能參數(shù)Tab.1 Parameters of anti air weapons

表2 來(lái)襲方位及突防概率Tab.2 Attacking direction and penetration probability

圖5 突防概率關(guān)于來(lái)襲方位函數(shù)曲線Fig.5 Penetration probability function curve of attacking direction

以上是由本文方法解得的結(jié)果。驗(yàn)證方法選用編程模擬目標(biāo)流進(jìn)攻要地，防空武器進(jìn)行攔截的抗擊過(guò)程。假設(shè)敵空地導(dǎo)彈分別從方位-30°、-10°、15°、40°以泊松流進(jìn)襲要地，空襲時(shí)間持續(xù)10 min，以突防的目標(biāo)數(shù)除以總的來(lái)襲目標(biāo)數(shù)計(jì)算突防概率，最后結(jié)果為20次實(shí)驗(yàn)的平均值，見(jiàn)表3。

表3 模擬試驗(yàn)結(jié)果Tab.3 Test results

由此可以看出，模擬試驗(yàn)計(jì)算得到的突防概率平均值同來(lái)襲方向代入函數(shù)P突防(φ)的結(jié)果非常接近，這證明了本文提出的工程方法能夠較好地作為評(píng)估防空網(wǎng)攔截能力。

5 結(jié)論

本文分析了多防線防空體系特點(diǎn)，給出了某方向來(lái)襲目標(biāo)突防概率的解算，利用插值算法確定了突防概率同來(lái)襲方位的函數(shù)關(guān)系，來(lái)評(píng)估防控體系的攔截能力。仿真實(shí)驗(yàn)則進(jìn)一步證明了本文提出的方法具備一定有效性。

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