（海軍裝備研究院航空裝備論證研究所，上海200436）

非線性擴(kuò)散是圖像平滑的重要方法，而圖像平滑在圖像處理和計(jì)算機(jī)視覺(jué)中是一個(gè)基本問(wèn)題。這主要因?yàn)槠交梢云鸬?個(gè)重要作用：一是圖像鄰域信息的交互，因而可以擴(kuò)大局部數(shù)據(jù)的影響；二是平滑具有正則化的作用，可以將一個(gè)沒(méi)有唯一解的病態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為良態(tài)問(wèn)題。另外，非線性擴(kuò)散還可以應(yīng)用在光流分析和幾何活動(dòng)輪廓模型中。最普通的平滑方法是將數(shù)據(jù)與Gaussian 核進(jìn)行卷積[1]，也就是通常所說(shuō)的線性平滑。線性平滑實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，計(jì)算效率高，而且可擴(kuò)展到多維數(shù)據(jù)或矢量型、矩陣型數(shù)據(jù)。然而，近年來(lái)非線性擴(kuò)散越來(lái)越引起研究者的注意，并且在許多應(yīng)用領(lǐng)域替代了Gaussian 平滑。這主要因?yàn)榉蔷€性平滑具有保持?jǐn)?shù)據(jù)不連續(xù)性的能力，避免了Gaussian平滑的模糊效應(yīng)。

本文擬針對(duì)非線性擴(kuò)散方法進(jìn)行總結(jié)和分析：首先，介紹了非線性擴(kuò)散的物理基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)性質(zhì)；然后，介紹了非線性擴(kuò)散方法在圖像處理領(lǐng)域的分類(lèi)及相關(guān)研究成果；最后，指出非線性擴(kuò)散方法的研究趨勢(shì)。

1 非線性擴(kuò)散原理

非線性擴(kuò)散是以日常生活中都能觀察到的擴(kuò)散現(xiàn)象為物理背景的，例如熱量的擴(kuò)散、2種不同液體自然混合時(shí)發(fā)生的擴(kuò)散等等。

當(dāng)觀察大量粒子擴(kuò)散時(shí)，可把粒子的濃度c(r,t)作為位置r 和時(shí)間t的函數(shù)來(lái)描述；當(dāng)追蹤一個(gè)粒子的移動(dòng)時(shí)，作為隨機(jī)過(guò)程，可以考慮這個(gè)粒子在時(shí)刻t 出現(xiàn)于位置r的概率密度p(r,t)，這2種情況都遵守方程

式中，Δ代表散度。

方程（2）稱(chēng)為擴(kuò)散方程，D為擴(kuò)散系數(shù)，j是與濃度梯度成正比的粒子流或概率流，即Fick 定律，擴(kuò)散系數(shù)D 由擴(kuò)散粒子的性質(zhì)、擴(kuò)散粒子與介質(zhì)粒子的相互作用以及溫度等決定。

擴(kuò)散方程主要基于2個(gè)原則：濃度差異的平衡和質(zhì)量守恒定律。濃度差異的平衡由Fick定律來(lái)體現(xiàn)，而質(zhì)量守恒描述為

綜合式（2）、（3），就得到擴(kuò)散方程（1）。

連續(xù)情況下，擴(kuò)散方程（1）主要具有以下性質(zhì)[2]：

2）極值原理。令a:=infΩf，b:=supΩf，則在Ω×(0,∞)上，a≤u(x,t)≤b；

4）Lyapunov 函數(shù)。對(duì)任意凸性函數(shù)r ∈C2[a,b]，為L(zhǎng)yapunov函數(shù)且為以為下界的單調(diào)遞減函數(shù)；

5）收斂性。在Lp(Ω),1≤p＜∞范數(shù)意義下，為灰度均值。

2 非線性擴(kuò)散在圖像處理領(lǐng)域中的分類(lèi)

在圖像處理中，擴(kuò)散模型可用于圖像的平滑處理。在擴(kuò)散過(guò)程中，灰度值在圖像中傳播，當(dāng)所有像素的灰度值相等時(shí)達(dá)到平衡。與質(zhì)量守恒相對(duì)應(yīng)的是，圖像的灰度均值不變?；叶葦U(kuò)散的方式取決于擴(kuò)散系數(shù)矩陣D，根據(jù)D的不同，可以分為3種：①均勻擴(kuò)散。D為單位矩陣；②各向同性擴(kuò)散。D為一個(gè)帶有尺度因子的單位矩陣，其尺度因子由圖像的局部結(jié)構(gòu)決定；③各向異性擴(kuò)散。D為任意一個(gè)由圖像局部結(jié)構(gòu)決定的對(duì)稱(chēng)正定矩陣。

2.1 標(biāo)量的非線性擴(kuò)散

幾乎所有的非線性擴(kuò)散方法都以Perona-Malik[3]的研究工作為基礎(chǔ)。Perona-Malik首先提出了對(duì)灰度圖像進(jìn)行各向異性擴(kuò)散濾波的P-M模型，其主要思想是將非線性擴(kuò)散的程度同圖像內(nèi)容相聯(lián)系，把圖像平滑轉(zhuǎn)化為對(duì)偏微分方程的求解，對(duì)區(qū)域內(nèi)和區(qū)域間采取不同的濾波策略，減少對(duì)圖像特征的平滑。

Perona-Malik提出的擴(kuò)散方程為

式中：u代表恢復(fù)圖像；Δ代表散度；g為擴(kuò)散函數(shù)；?u為u的梯度，初始化條件為u(x,0)=f(x)，f(x)為原始圖像，定義域?yàn)棣?(0,∞)。

常用的擴(kuò)散函數(shù)有以下2種[3]。

Perona-Malik Ⅰ：

Perona-Malik Ⅱ：

Charbonnier的擴(kuò)散函數(shù)不同于其他的函數(shù)的是，它不允許后向擴(kuò)散，因而只保留邊緣而不能增強(qiáng)邊緣。Weickert的擴(kuò)散函數(shù)的特點(diǎn)是比Perona-Malik的擴(kuò)散函數(shù)下降的更快。

2.2 張量的非線性擴(kuò)散

每每談到圖像，首先想到具有二維結(jié)構(gòu)的數(shù)組，這種結(jié)構(gòu)在灰度圖像中非常普遍。但是二維結(jié)構(gòu)不是一定的，例如：視頻序列是三維結(jié)構(gòu)的，尤其在多媒體應(yīng)用領(lǐng)域，圖像數(shù)據(jù)都是多維的。圖像數(shù)據(jù)也不一定是標(biāo)量數(shù)據(jù)，例如：對(duì)于一幅彩色圖像，每一像素都由一個(gè)顏色矢量表示，因而是矢量數(shù)據(jù)；在醫(yī)學(xué)圖像處理領(lǐng)域，還有DT-MRI圖像，每一像素都由一個(gè)矩陣表示，因而是矩陣數(shù)據(jù)。除此以外，還有對(duì)由輸入圖像產(chǎn)生的矩陣類(lèi)型的數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理的實(shí)際需求，經(jīng)常使用的結(jié)構(gòu)張量[6]就是從圖像梯度得出的矩陣類(lèi)型的數(shù)據(jù)。在圖像處理中有時(shí)也需要對(duì)這種矩陣類(lèi)型的數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理。Tschumperlé和Deriche[7]將非線性擴(kuò)散濾波技術(shù)擴(kuò)展到對(duì)矩陣類(lèi)型數(shù)據(jù)的處理。

對(duì)矩陣類(lèi)型的數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)散的最直接方法就是分別平滑矩陣的各個(gè)分量。分別平滑各個(gè)分量的方法參見(jiàn)文獻(xiàn)[6，8]，其中，文獻(xiàn)[6]的擴(kuò)散是線性的，而文獻(xiàn)[8]的擴(kuò)散是非線性的。實(shí)際上，對(duì)于均勻擴(kuò)散（或高斯平滑）而言，這是一個(gè)比較合適的方法。但對(duì)于非線性擴(kuò)散（包括各向同性和各向異性），這種方法會(huì)產(chǎn)生問(wèn)題：如果分別對(duì)各分量進(jìn)行擴(kuò)散，可能會(huì)在不同的位置產(chǎn)生不同的結(jié)構(gòu)，例如，對(duì)于一幅彩色圖像，邊緣位置可能被不同的顏色值定位到不同的地方。

解決這一問(wèn)題的方法是使用共同的擴(kuò)散矩陣來(lái)耦合各個(gè)分量的信息，共同的擴(kuò)散矩陣由所有分量的數(shù)據(jù)信息決定，這一點(diǎn)通過(guò)對(duì)所有分量的梯度信息求和作為擴(kuò)散函數(shù)的自變量來(lái)實(shí)現(xiàn)。使用共同的擴(kuò)散矩陣來(lái)耦合各個(gè)分量的信息的方法始于文獻(xiàn)[7]的工作，其擴(kuò)散方程如下：

式中，ui,j(i=1,2,…,n;j=1,2,…,m)為張量的分量。

式（9）的擴(kuò)散是各向同性擴(kuò)散，其擴(kuò)散系數(shù)是一個(gè)標(biāo)量。各向異性的非線性濾波方程為

對(duì)矩陣數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擴(kuò)散的應(yīng)用之一就是對(duì)結(jié)構(gòu)張量進(jìn)行處理。傳統(tǒng)的線性濾波方法處理的結(jié)構(gòu)張量簡(jiǎn)稱(chēng)為線性張量，而非線性擴(kuò)散產(chǎn)生的張量簡(jiǎn)稱(chēng)為非線性張量。

由式（9）、（10）可以看出對(duì)張量數(shù)據(jù)的非線性擴(kuò)散濾波和對(duì)標(biāo)量數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性濾波的計(jì)算過(guò)程是一樣的，只是把張量的各分量看成不同的信息通道，然后綜合各通道的數(shù)據(jù)信息計(jì)算擴(kuò)散系數(shù)矩陣作為各信息通道共同的擴(kuò)散系數(shù)矩陣。

3 研究趨勢(shì)分析

1）如何解決平滑去噪和保留圖像特征點(diǎn)之間的矛盾。為增強(qiáng)邊緣，非線性擴(kuò)散在其最初的設(shè)計(jì)中保留了2個(gè)問(wèn)題：一是缺乏連續(xù)意義下一般的擴(kuò)散函數(shù)理論；二是沒(méi)有考慮噪聲和邊緣的區(qū)別。這些問(wèn)題可以通過(guò)平滑或者在計(jì)算梯度之前對(duì)u 進(jìn)行平滑處理來(lái)解決[9]。

改進(jìn)后的擴(kuò)散方程為

式中，?σu=?()

Kσ?u。須指出的是，這一預(yù)平滑處理對(duì)沒(méi)有后向擴(kuò)散的擴(kuò)散函數(shù)不是必要步驟，也并沒(méi)有完全解決平滑去噪和保留圖像特征點(diǎn)之間的矛盾。如何解決好這一矛盾，是非線性擴(kuò)散方法有待解決的主要問(wèn)題之一。

2）結(jié)構(gòu)的封閉性問(wèn)題。由于非線性擴(kuò)散方法可以促進(jìn)圖像鄰域信息的交互，因而這種方法還可在一定程度上修補(bǔ)一些缺失的結(jié)構(gòu)，使得沒(méi)有任何結(jié)構(gòu)特征的小塊圖像區(qū)域被其鄰域的結(jié)構(gòu)特征所填充，并且可用參數(shù)控制填充的尺度。如何更好地實(shí)現(xiàn)這一功能以及參數(shù)設(shè)置等問(wèn)題都是值得深入研究的。

3）不連續(xù)點(diǎn)的保留。非線性擴(kuò)散方法相對(duì)于線性擴(kuò)散方法的最大優(yōu)勢(shì)在于它能夠在一定程度上控制在不同區(qū)域的擴(kuò)散程度，以避免過(guò)度平滑而使一些特征點(diǎn)丟失。在非線性擴(kuò)散的過(guò)程中，圖像取向和灰度幅度等特征的不連續(xù)點(diǎn)都應(yīng)該被保存，最好是非線性擴(kuò)散的參數(shù)可同時(shí)控制某一特征不連續(xù)點(diǎn)是否應(yīng)該保持，這有可能需要多尺度分析，以達(dá)到在保留不連續(xù)點(diǎn)的目的。做到這點(diǎn)也有利于形成封閉的結(jié)構(gòu)。

4）簡(jiǎn)化參數(shù)設(shè)置，并提高其魯棒性。這點(diǎn)很容易理解，也是很多算法追求的目標(biāo)，即應(yīng)引入盡量少的參數(shù)，并使參數(shù)不會(huì)受輸入數(shù)據(jù)的微小變化的影響。

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