孫彥清，龍姝明，黃朝軍，婁本濁

（陜西理工學(xué)院物理與電信工程學(xué)院，漢中723000）

1 引 言

近年來，囚禁超冷玻色氣體、超冷費米氣體的理論和實驗研究取得了一系列成果，極大地激發(fā)了相關(guān)學(xué)者對超冷量子氣體的研究熱情.有學(xué)者對囚禁在諧振勢場中的玻色-愛因斯坦凝聚、微弱電場中理想費米體系的熱容量和化學(xué)勢、磁場中非廣延相對論理想費米體系的統(tǒng)計性質(zhì)、一般勢阱之中（T ≠0K）理想費米氣體的空間囚禁范圍、諧振勢中自旋極化理想費米氣體的熱力學(xué)性質(zhì)等進(jìn)行了大量的研究［1-6］.關(guān)于有弱相互作用的量子體系，有學(xué)者對于囚禁在諧振勢中的費米氣體熱力學(xué)性質(zhì)、簡并費米氣體坍塌條件、6Li原子激光的輸出、外勢中費米體系密度、簡并費米氣體的穩(wěn)定性以及s波和p波作用的影響、諧振勢和冪函數(shù)勢中費米氣體的熱力學(xué)性質(zhì)、強(qiáng)磁場中費米氣體的熱力學(xué)性質(zhì)和超冷費米氣體的相對論效應(yīng)、超流氦（HeⅡ）及弱相互作用費米氣體和玻色氣體的Joule-Thomson 系數(shù)等問題開展了的研究，取得了一系列重要的研究成果［7-19］.

關(guān)于量子體系的現(xiàn)有研究，主要討論的是量子系統(tǒng)在單外場中的熱力學(xué)性質(zhì)，關(guān)于雙外場中量子系統(tǒng)熱力學(xué)性質(zhì)的研究較少.文獻(xiàn)［20］研究均勻電場和諧振場共同約束下的帶電費米系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)在雙外場約束下的系統(tǒng)具有高溫弱簡并效應(yīng)和分?jǐn)?shù)維運動空間效應(yīng).為深入研究復(fù)雜時空分布的外場對物質(zhì)體系熱力學(xué)性質(zhì)的影響、實驗上選擇最佳外勢阱的形式及相關(guān)物理參數(shù)、探索新材料提供思路和理論參考，我們以處于均勻電場和諧振場中的帶電費米粒子系統(tǒng)（忽略粒子間的相互作用后，可視為理想費米氣體系統(tǒng)）為對象，研究雙外場對系統(tǒng)Joule-Thomson 系數(shù)的調(diào)控作用.在滿足Thomas-Fermi半經(jīng)典近似的條件下，給出勻強(qiáng)電場和三維諧振場中的帶電費米粒子系統(tǒng)的化學(xué)勢、狀態(tài)方程和Joule-Thomson系數(shù)的解析表達(dá)式，分析有限溫度范圍內(nèi)雙外場對系統(tǒng)Joule-Thomson系數(shù)的調(diào)控作用.

2 雙外場中費米氣體的化學(xué)勢和狀態(tài)方程

質(zhì)量為m、帶電量為q的N 個費米粒子在三維各向同性諧振場（振動頻率為ω）和沿x軸方向的均勻電場E 構(gòu)建的雙外場中運動.假定粒子數(shù)密度低，可以忽略粒子間相互作用，無相互作用的N 個費米粒子與外場組成的系統(tǒng)可以視為理想費米氣體，其體積為V，氣體內(nèi)能為U.單個費米粒子的能量可表示為

式中p2／（2m）為費米粒子的動能，u（r）為粒子在諧振場和均勻電場中的勢能.

在原子氣體的囚禁實驗中，通常滿足粒子數(shù)足夠多，粒子熱運動動能遠(yuǎn)大于能級間隔，所以Thomas-Fermi半徑典近似是適用的［21］，用相空間積分代替量子態(tài)求和，則受外電場和諧振場約束的費米氣體在等能量曲面ε≥0 內(nèi)的量子態(tài)數(shù)Ω（ε）及量子態(tài)密度D（ε）分別為

式（2）中?=h／（2π）是約化普朗克常量，g 為系統(tǒng)中粒子的自旋簡并度，與其內(nèi)部結(jié)構(gòu)有關(guān).自由理想 費 米 粒 子 系 統(tǒng) 的 態(tài) 密 度 D（ε）= 2πg(shù)V（2m／h2）3／2ε1／2依賴于能量的1／2 次冪，與自由理想費米粒子系統(tǒng)不同，雙外場中的理想費米粒子系統(tǒng)的量子態(tài)密度依賴于能量的2次冪，而且與電場強(qiáng)度和諧振場頻率都密切相關(guān).

據(jù)統(tǒng)計力學(xué)原理，在均勻電場和諧振場中運動的費米粒子的平均占有數(shù)為

式中z=eβμ=eμ／kT為理想費米氣體的逸度，β=1／（kT），k 為玻耳茲曼常數(shù)，T 為熱力學(xué)溫度.為計算費米粒子系統(tǒng)的熱力學(xué)量需要定義費米積分

可以證明費米積分有下面的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)

z很大時（對應(yīng)低溫區(qū)），l＜5的費米積分近似為

其中［l／2］表示對l／2取整.取l=1～4得到費米積分大z值近似

據(jù)式（6）和式（8）并用迭代算法證明，如果費米粒子取為電子，則粒子數(shù)不變的帶電費米粒子系統(tǒng)在外場中的費米能量μF和化學(xué)勢μ（大z 值近似）分別為（sF=α／μF）

取q=1.602×10-19C，w=2π×107Hz，N=6.02×1023，g=1，分別畫出費米能量μF隨外電場E 變化和隨粒子質(zhì)量變化的曲線（見圖1）.

圖1 費米能量隨外電場和粒子質(zhì)量的變化曲線（a）m=me=9.11×10-28 g，外電場E 對費米能量的調(diào)控；（b）E=500V／m，費米能量隨粒子質(zhì)量的變化Fig.1 The curves of the Fermi energy with the external electric field and particle mass changes

式（10）和圖1表明雙外場對費米能量有明顯的調(diào)控作用.外電場越強(qiáng)，系統(tǒng)費米能量越低.因α 隨質(zhì)量增加而減小，圖1（b）表明，外場中費米粒子氣體的費米能量μF隨粒子質(zhì)量的增加而快速增加.

若取m=9.11×10-28g，N=6.02×1023，ω=2π×107Hz，α=5.569eV，μF=1.969eV，畫出帶電費米子系統(tǒng)化學(xué)勢隨溫度變化的曲線（見圖2）.由圖2顯見，外場對帶電費米子系統(tǒng)的化學(xué)勢有調(diào)控作用.外電場越強(qiáng)，帶電費米子系統(tǒng)的化學(xué)勢和費米能量值越小，并且系統(tǒng)的化學(xué)勢由正變負(fù)的臨界溫度越低.

圖2 雙外場中的帶電費米粒子系統(tǒng)化學(xué)勢隨溫度變化曲線（a）E=500V／m，μF=1.969eV，化學(xué)勢由正變負(fù)的臨界溫度Tμ=24800K；（b）E=1000V／m，μF=0.1704eV，化學(xué)勢由正變負(fù)的臨界溫度Tμ=12200KFig.2 The curves of the chemical potential with the temperature changes

外電場E=500V／m 時，由圖2（a）結(jié)合計算可知，T＜600K 時，外場中的帶電費米子系統(tǒng)的化學(xué)勢μ／（kT）≈μF／（kT）＞38，即化學(xué)勢μ 在很大溫度范圍內(nèi)能近似等于系統(tǒng)的費米能量μF=1.969eV，考慮這一結(jié)果，我們可以導(dǎo)出外場中的帶電費米子系統(tǒng)內(nèi)能隨溫度變化的顯函數(shù)關(guān)系是（其中，α／μF是由外場決定的常數(shù)）

據(jù)熱力學(xué)理論P(yáng)V=2U／3，結(jié)合式（11）得到雙外場中費米氣體的狀態(tài)方程（即氣體的壓強(qiáng)P 與體積V 之積）為

3 雙外場中費米氣體的Joule-Thomson系數(shù)

由式（12）得到

保持P 不變對式（13）關(guān)于T 求導(dǎo)可得

根據(jù)H =U+PV，得費米氣體的焓

保持P 不變對式（15）關(guān)于T 求導(dǎo)，可得

對式（8）保持氣體系統(tǒng)粒子數(shù)N 和壓強(qiáng)P 不變關(guān)于T 求導(dǎo)，得到

引用費米積分大z值近似，上式簡化為

由統(tǒng)計力學(xué)理論可知費米子氣體的Joule-Thomson系數(shù)為

式中，μJT、CP、H 分別是費米氣體系統(tǒng)的焦耳-湯姆遜系數(shù)、定壓熱容量、狀態(tài)函數(shù)焓.聯(lián)立式（13）～（18）得到均勻電場和諧振場中帶電費米粒子系統(tǒng)的Joule-Thomson系數(shù)

4 雙外場對焦湯系數(shù)的調(diào)控作用

引用式（7）、（17）、（19）得到帶電費米粒子系統(tǒng)的焦湯系數(shù)μJT（大z值近似）為

若取P=20dn／cm2，m=9.11×10-28g，N=6.02×1023，ω=2π×107Hz，α=5.569eV，μF=1.969eV，依據(jù)式（20），可以畫出如圖3所示的帶電費米粒子系統(tǒng)的焦湯系數(shù)隨溫度變化的曲線.注意式（20）有效的溫度范圍由μ／（kT）＞＞1 決定.T=8000K 時，μ／（kT）=2.56已經(jīng)不能滿足遠(yuǎn)大于一的條件了.

圖3 外場中的帶電費米粒子系統(tǒng)的焦湯系數(shù)隨溫度變化曲線（a）E=500V／m，臨界溫度TC=8000K；（b）E=1000V／m，臨界溫度TC=1200KFig.3 The curves of the Joule-Thomson coefficient with the temperature changes

圖3表明，低溫情況下均勻電場和諧振場中帶電費米粒子系統(tǒng)的Joule-Thomson效應(yīng)為負(fù)效應(yīng).隨著溫度的升高，系統(tǒng)的焦湯效應(yīng)將由負(fù)變正，其臨界溫度受外加電場調(diào)控，外電場越強(qiáng)，臨界溫度越低.計算表明，粒子質(zhì)量增加時，系統(tǒng)的費米能量增加，系統(tǒng)的焦湯系數(shù)臨界溫度也將增加.

5 結(jié) 語

（1）勻強(qiáng)電場和諧振場構(gòu)成的雙外場對帶電費米粒子系統(tǒng)的焦耳-湯姆遜系數(shù)及所有熱力學(xué)量有十分明顯的調(diào)控作用.這表明，可以用加雙外場的方法改變帶電費米粒子系統(tǒng)的溫度、壓強(qiáng)、體積等.

（2）外電場的存在會使帶電費米粒子系統(tǒng)產(chǎn)生焦耳-湯姆遜正效應(yīng).隨著溫度的升高，帶電費米粒子系統(tǒng)的焦耳-湯姆遜系數(shù)的值逐漸由負(fù)變正，而且臨界溫度TC隨外電場增強(qiáng)而降低.

（3）費米粒子系統(tǒng)的焦耳-湯姆遜系數(shù)由負(fù)變正的臨界溫度TC隨粒子質(zhì)量μ 增加而明顯增加，這說明，大質(zhì)量帶電費米粒子系統(tǒng)要取得正焦耳-湯姆遜效應(yīng)很困難.（4）費米粒子系統(tǒng)的化學(xué)勢μ 隨溫度的升高，由正變負(fù)的臨界溫度Tμ隨外電場的增加而明顯降低.

［1］ Anderson M H，Ensher J R，Matthews M R，et al.Observation of Bose-Einstein condensation in a dilute atomic vapor［J］.Science，1995，269（5221）：198.

［2］ Bradley C C，Sackett C A，Tollett J J，et al.Evidence of Bose-Einstein condensation in an atomic gas with attractive interaction ［J］.Phys.Rev.Lett.，1995，75（9）：1687.

［3］ Davis K B，Mewes M O，Andrew M R，et al.Bose-Einstein condensation in a gas of sodium atoms［J］.Phys.Rev.Lett.，1995，75（22）：3969.

［4］ Li X P，Liu W S，Zhang G F.Bose-Einstein Condensation in External Potential［J］.Acta Sinica Quantum Optica，2003，9（1）：27（in Chinese）［李秀平，劉文森，張國鋒.外勢場中玻色-愛因斯坦凝聚性質(zhì)的研究［J］.量子光學(xué)學(xué)報，2003，9（1）：27］

［5］ Sun Y Q，Long S M ，Huang C J，et al.Influence of homogeneous weak electric field on the heat capacity and chemical potential of charged fermion system［J］.J.At.Mol.Phys.，2010，27（6）：1200（in Chinese）［孫彥清，龍姝明，黃朝軍，等.均勻微弱電場對帶電費米子體系熱容量和化學(xué)勢的影響［J］.原子與分子物理學(xué)報，2010，27（6）：1200］

［6］ Men F D，Wang H T，He X G，et al.Statistical Properties of non-extensive relativistic Fermi system in a magnetic field［J］.J.At.Mol.Phys.，2011，28（6）：1143（in Chinese）［門福殿，王海堂，何曉剛，等.磁場中非廣延相對論費米系統(tǒng)的統(tǒng)計性質(zhì)［J］.原子與分子物理學(xué)報，2011，28（6）：1143］

［7］ Modugno G，Roati G，Riboli F，et al.Collapse of a degenerate Fermi gas［J］.Science，2002，297（5590）：2240.

［8］ Yin J P，Wang Z L.Experiment of Bose-Einstein Condensation and its recent progress［J］.Prog.Phys.，2005，25（3）：235（in Chinese）［印建平，王正嶺.玻色—愛因斯坦凝聚（BEC）實驗及其最新進(jìn)展［J］.物理學(xué)進(jìn)展，2005，25（3）：235］

［9］ Yuan D Q.Maximum trap range and equation of state for Fermi gas in potential trap［J］.Acta Phys.Sin.，2011，60（6）：060509 （in Chinese）［袁 都 奇.Fermi氣體在勢阱中的最大囚禁范圍與狀態(tài)方程［J］.物理學(xué)報，2011，60（6）：060509］

［10］ Noronha J M B，Toms D J.The specific heat of a trapped Fermi gas：an analytical approach［J］.Phys.Lett.A，2000，267（4）：276.

［11］ Butts D A，Rokhsar D S.Trapped Fermi gas［J］.Phys.Rev.A，1997，55（6）：4346.

［12］ Bruun G M，Burnett K.Interacting Fermi gas in a harmonic trap［J］.Phys.Rev.A，1998，58（3）：2427.

［13］ Oliva J.Density profile of the weakly interacting Fermi gas confined in a potential well：Nonzero temperature［J］.Phys.Rev.B，1989，39（7）：4204.

［14］ Roth R，F(xiàn)eldmeie H.Effective s-and p-wave contact interactions in trapped degenerate Fermi gases［J］.Phys.Rev.A，2001，64（4）：043603.

［15］ Men F D，He X G，Liu H，et al.Relativistic paramagnetism of a weakly interacting Fermi gas［J］.J.At.Mol.Phys.，2011，28（4）：760（in Chinese）［門福殿，何曉剛，劉慧，等.弱相互作用費米氣體的相對論順磁性［J］.原子與分子物理學(xué)報，2011，28（4）：760］

［16］ Men F D，Wang B F，He X G，et al.Thermodynamic properties of a weakly interacting Fermi gas in a strong magnetic field［J］.Acta Phys.Sin，2011，60（8）：080501（in Chinese）［門福殿，王炳福，何曉剛，等.強(qiáng)磁場中弱相互作用費米氣體的熱力學(xué)性質(zhì)［J］.物理學(xué)報，2011，60（8）：080501］

［17］ Men F D，He X G，Zhou Y，et al.Relativistic effect of ultracold Fermi gas in a strong magnetic field［J］.Acta Phys.Sin.，2011，60（10）：100502（in Chinese）［門福殿，何曉剛，周勇，等.強(qiáng)磁場中超冷費米氣體的相對論效應(yīng)［J］.物理學(xué)報，2011，60（10）：100502］

［18］ Chen Y，Lu X S，Gu A Z.Study on the Joule-Thomson Coefficients of Superfluid Helium［J］.Cryogenics ＆Superconductivity，2004，32（4）：19（in Chinese）［陳煜，魯雪生，顧安忠.超 流氦的Joule-Thomson系數(shù)研究［J］.低溫與超導(dǎo)，2004，32（4）：19］

［19］ Yuan D Q，Wang C J.Joule– Thomson coefficients of weakly interacting Fermi gases and Bose gases［J］.Phys.Lett.A.2007，363：487.

［20］ Sun Y Q，Hang C J，Long S M，et al.The high temperature weak degeneration effect of charged particle system in two external field［J］.Acta Phys.Sin.，2009，58（11）：7502（in Chinese）［孫彥清，黃朝軍，龍姝明，等.帶電粒子系統(tǒng)在雙外場中的高溫弱簡并效應(yīng)［J］.物理學(xué)報，2009，58（11）：7502］

［21］ Chou T T，Yang C N，Yu L H.Bose-Einstein condensation of atoms in a trap［J］.Phys.Rev.A，1996，53：4257.