肖斗玉, 顏 駿, 李寶霖, 田紅金

(四川師范大學(xué) 物理與電子工程學(xué)院, 四川 成都 610066)

20世紀(jì)30年代,天文學(xué)家F. Zwicky發(fā)現(xiàn),在星系團(tuán)中可能存在著大部分看不見的物質(zhì),這一發(fā)現(xiàn)首先預(yù)言了暗物質(zhì)的存在[1-10].文獻(xiàn)[11-14]測量了圍繞某個極高溫恒星的氣體云所發(fā)出的光的紅移,由于譜線的紅移正比于發(fā)光物體的速度,所以通過紅移能得出星體圍繞星系旋轉(zhuǎn)的速度,結(jié)果發(fā)現(xiàn)隨著星云到星系中心距離的增加,星云的旋轉(zhuǎn)速度變得越來越平緩,并且趨于一個與距離幾乎無關(guān)的定值,這一結(jié)果與牛頓引力理論相矛盾,因為從牛頓引力理論中可知物體的旋轉(zhuǎn)速度是與旋轉(zhuǎn)半徑成反比的.文獻(xiàn)[11-14]的觀測結(jié)果說明,在星系中可見物質(zhì)的引力不能產(chǎn)生這么大的旋轉(zhuǎn)速度.為了解釋這一現(xiàn)象,人們認(rèn)為星系團(tuán)中可能存在暗物質(zhì),而且暗物質(zhì)的質(zhì)量必須比可見物質(zhì)大很多才能解釋實際觀測的結(jié)果.目前暗物質(zhì)存在的證據(jù)都是通過引力效應(yīng)而得到的,例如星系轉(zhuǎn)動曲線、引力透鏡效應(yīng)、宇宙微波背景輻射、宇宙大尺度的結(jié)構(gòu)等.根據(jù)這些觀測證據(jù),可以推測出暗物質(zhì)粒子的主要特點是：不發(fā)光也不會反射光、電中性、長壽命、相互作用較弱.暗物質(zhì)的主要候選者有：原初黑洞、鏡物質(zhì)、軸子、WIMP等.觀測證據(jù)還表明：宇宙中可見物質(zhì)的質(zhì)量約占宇宙總質(zhì)量的4%,暗物質(zhì)約占宇宙總質(zhì)量的23%,而其余73%的物質(zhì)稱為暗能量.

本文以軸子暗物質(zhì)作為研究對象[15-17].首先,找出描寫軸子的宏觀波函數(shù),從而計算出星系暈中軸子的質(zhì)量,再根據(jù)牛頓引力理論得出星系的旋轉(zhuǎn)速度和距離的關(guān)系,并作出速度距離關(guān)系圖,然后將其與實際觀測的結(jié)果和其它理論比較.

量子色動力學(xué)雖然能很好地解釋強(qiáng)相互作用中的一些實驗現(xiàn)象,但也存在一些疑難問題,為了解釋QCD中的CP破缺問題,R. Peccei和H. Quinn等假設(shè)存在一種輕的長壽命的中性玻色子,這種粒子稱為軸子.

1 Robertson-Walker度規(guī)下的Gross-Pitaevski方程

設(shè)彎曲時空下軸子的拉氏量為

(1)

彎曲時空下的歐拉方程為

(2)

將(1)式代入(2)式得彎曲時空下的Gross-Pitaevski(GP)方程為

(3)

均勻各向同性膨脹宇宙可以由Robertson-Walker(RW)度規(guī)描寫

gμv=

(4)

其中,R(t)是標(biāo)度因子,k是空間曲率常數(shù),目前天文觀測表明宇宙整體趨于平坦,即k≈0.將(4)式代入(3)式得到膨脹宇宙背景下的GP方程為[19]

(5)

(6)

對GP方程(6)中波函數(shù)ψ進(jìn)行分離變量,即

ψ(t,r,θ,φ)=ψ(t)ψ(r,θ,φ),

(7)

這時方程(6)化為如下2個方程

(8)

(9)

式中,λ是常數(shù),ψ(t)是時間波函數(shù),ψ(r,θ,φ)是空間波函數(shù),對方程(9)中空間波函數(shù)進(jìn)一步分離變量

ψ(r,θ,φ)=ψ(r)Y(θ,φ),

(10)

于是方程(9)化成2個方程

(11)

式中,β是常數(shù),ψ(r)是徑向波函數(shù),方程(11)中Y(θ,φ)為球諧函數(shù),當(dāng)β=l(l+1)時,存在有限解

l=0,±1,±2,…;m=0,±1,±2…

2 軸子波函數(shù)與星系中的暗物質(zhì)分布

2.1 膨脹宇宙中的軸子密度 根據(jù)徑向方程(12)式有

(13)

(14)

方程(14)為標(biāo)準(zhǔn)的球貝塞爾方程,所以徑向方程(14)的解可表示為

(15)

因此軸子總波函數(shù)應(yīng)為

(16)

(17)

經(jīng)計算后得到含時波函數(shù)的解為

(18)

于是軸子的總波函數(shù)為

ψ=ψ(t)ψ(r,θ,φ)=Ct-3α/2×

而軸子暗物質(zhì)密度為

ρ(r,t)～ψψ*=|ψ|2.

(20)

根據(jù)(19)和(20)式可得軸子密度表達(dá)式為

(21)

這時背景宇宙呈現(xiàn)冪律膨脹,比暴脹狀態(tài)的膨脹速度慢,此時軸子密度隨時間t按t-3α衰減

(22)

2.2 無作用軸子暗物質(zhì)的分布 在軸子凝聚中可形成量子化環(huán)流[20],這種環(huán)流可用如下表達(dá)式描述

(23)

C代表環(huán)繞一個漩渦的任一環(huán),u代表環(huán)流速度,l=0,對應(yīng)無漩渦狀態(tài),環(huán)流為零,在轉(zhuǎn)動環(huán)境下凝聚物中漩渦將形成.在凝聚中l(wèi)>1的漩渦不穩(wěn)定,將衰變?yōu)榱孔訑?shù)l=1的漩渦,因此本文僅研究基態(tài)l=0和穩(wěn)定激發(fā)態(tài)l=1的情況.

對于l=0,m=0的基態(tài)情況,無漩渦形成,在(21)式中

所以軸子密度變?yōu)?/p>

(24)

(25)

其中,R(t)為宇宙標(biāo)度因子,某一固定時刻的軸子密度為

(26)

(27)

所以星體速度為

(28)

這時星系中軸子暗物質(zhì)的質(zhì)量為

(29)

(30)

將(30)式代入(28)式得到

(31)

對于l=1,m=0的是激發(fā)態(tài),可形成穩(wěn)定漩渦態(tài).這時軸子密度為

(32)

所以球坐標(biāo)系中軸子的暗物質(zhì)質(zhì)量為

2cos(2aR)+aRsin(2aR)),

(33)

v(R)={(-2+2a2R2+2cos(2aR)+

(34)

這時星云約化速度v和到星系中心的距離R的關(guān)系如圖2所示.

由圖1和圖2比較后可以看出,星系的旋轉(zhuǎn)速度隨著距離的增大而增大,并振蕩趨于一個定值.當(dāng)軸子暗物質(zhì)處于基態(tài)時,星系的旋轉(zhuǎn)速度較大,軸子處于激發(fā)態(tài)時,星系的旋轉(zhuǎn)速度較小,這定性解釋了天文觀測中的暗物質(zhì)分布規(guī)律.

2.3 化學(xué)勢μ≠0時,軸子暗物質(zhì)的分布 當(dāng)即軸子的相互作用很弱,可忽略,當(dāng)V(r)=0,即軸子與其它物質(zhì)無相互作用.如果μ≠0,那么軸子與外界有能量交換.這時方程(6)變?yōu)?/h3>

(35)

如果μ=μ0/R(t)為隨時間變化的化學(xué)勢,那么(35)式將無法分離變量,而標(biāo)度因子取R=1的特殊情況,即宇宙標(biāo)度因子不隨時間變化時,則GP方程(35)變?yōu)?/p>

(36)

其中,α=8π2mμ0/h2(μ0>0或μ0<0).

對于l=0的基態(tài)無漩渦情況,當(dāng)α>0,則方程(36)的解為

(37)

其中,C1和C2為積分常數(shù).當(dāng)α<0,則方程(36)的解為

(38)

令

則軸子密度有如下可能的組合形式

(39)

(40)

當(dāng)軸子密度取ρ1時,軸子暗物質(zhì)的質(zhì)量為

(41)

此時v(R)和R的關(guān)系為

(42)

當(dāng)軸子密度取ρ2時,軸子暗物質(zhì)的質(zhì)量為

(43)

此時v(R)和R的關(guān)系為

(44)

當(dāng)軸子密度取ρ3時,軸子暗物質(zhì)的質(zhì)量為

(45)

此時v(R)和R的關(guān)系為

(46)

當(dāng)軸子密度取ρ4時,軸子暗物質(zhì)的質(zhì)量為

(47)

此時v(R)和R的關(guān)系為

(48)

所以,μ≠0,l=0時,上述4種情況得出的星云速度和到星系中心的距離的關(guān)系與實際觀測不相符,因此基態(tài)情況下得不到與觀測相吻合的軸子分布規(guī)律.

對于l=1的激發(fā)態(tài)有漩渦形成的情況,方程(36)變?yōu)?/p>

(49)

這時方程(49)的解為

(50)

所以軸子密度為

(51)

此時軸子暗物質(zhì)的質(zhì)量應(yīng)為

(52)

將(52)式代入(28)式,得到星云約化速度v和到星系中心的距離R的關(guān)系如圖3所示.

當(dāng)μ≠0時,這時軸子暗物質(zhì)與外界有能量交換,從圖3可看出,星云速度v和到星系中心的距

離R的關(guān)系也比較符合實際觀測結(jié)果.

在銀河系中暗物質(zhì)的質(zhì)量大約為太陽質(zhì)量的12.2×1011倍,而太陽質(zhì)量M⊙=1.989×1030kg,因此暗物質(zhì)的質(zhì)量不超過Md=2.426 58×1042kg,由牛頓萬有引力定律得星云旋轉(zhuǎn)速度為

(53)

其中,牛頓引力常數(shù)G=6.67×10-20km3/(kg·s2),取星體離星系中心的距離約為10 kpc,由(53)式得星云旋轉(zhuǎn)速度的上限為vd≈734 km/s.由于地球到太陽的距離為Re≈1.496×108km,根據(jù)(53)式可得出地球繞太陽的旋轉(zhuǎn)速度為ve≈29.8 km/s,所以vd?ve,由此可知引入暗物質(zhì)才能解釋星云較大的旋轉(zhuǎn)速度.

在本文計算作圖時,橫坐標(biāo)表示星體離星系中心的距離,縱坐標(biāo)表示約化速度v,其定義為

(54)

3 結(jié)論與討論

在本文中研究了4種情況,即:l=0,μ=0;l=1,μ=0;l=0,μ≠0;l=1,μ≠0.前面2種情況沒有考慮化學(xué)勢,是比較理想的物理狀況,結(jié)果表明無論是基態(tài)還是激發(fā)態(tài),所得到的v(R)～R關(guān)系圖與實際觀測的都比較吻合.后2種情況中化學(xué)勢不為零,對應(yīng)于比較真實的物理狀況,這時l=0,μ≠0的情況下所得到的v(R)～R關(guān)系圖與實際觀測的不相符,而l=1,μ≠0的情況下所得到的v(R)～R關(guān)系圖與實際觀測比較符合,這說明基態(tài)并不描述真實的物理狀況,當(dāng)化學(xué)勢存在時,也就是軸子暗物質(zhì)與外界有能量交換的時候,處于激發(fā)態(tài)的軸子暗物質(zhì)的分布更符合真實的物理觀測結(jié)果.

T. D. Lee等[21-22]提出在弱相互作用情況下宇稱不守恒的觀點,在此基礎(chǔ)上,L. B. Okun等[23-25]提出鏡子粒子的概念,隨后文獻(xiàn)[26-33]將鏡子粒子跟暗物質(zhì)聯(lián)系起來.Z. Berezhiani等[34]同時考慮鏡子暗物質(zhì)和修改牛頓引力定律的情況,由此擬合出了星云旋轉(zhuǎn)速度和到星系中心距離的關(guān)系曲線.

首先,本文不需要修改引力理論,目前在大尺度上修改引力理論的物理根源并不清楚；其次,本文中擬合出來的曲線有一定的波動性,與文獻(xiàn)[11-14]的觀測結(jié)果比較符合.而N. Rossi等[34]擬合出來的曲線并沒有波動性；另外,本文考慮了物質(zhì)與外界交換的情況,對應(yīng)于比較真實的物理狀況.

在前面的工作中,曾經(jīng)研究了Q泡和Q球暗物質(zhì)的能量穩(wěn)定性和激發(fā)性質(zhì)[35-36],本文進(jìn)一步研究了軸子暗物質(zhì)的分布規(guī)律,這些研究為暗物質(zhì)的實驗觀測提供了理論依據(jù)和可能的物理解釋.

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