付桐林

(隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 慶陽 745000)

Lotka-Volterra模型由Lotka和Volterra提出,最初用于描述生態(tài)學(xué)中種群的動(dòng)態(tài)關(guān)系.近年來在經(jīng)濟(jì)研究中開始有所應(yīng)用，但大部分結(jié)果都僅僅局限于經(jīng)濟(jì)增長和社會(huì)人口控制等宏觀問題.J. Brandera等[1]在一個(gè)簡單的一般均衡體系下采用Lotka-Volterra模型討論了社會(huì)文明的動(dòng)態(tài)過程,付桐林等[2-3]研究了隨機(jī)Lotka-Volterra競爭系統(tǒng)下的市場結(jié)構(gòu),證明了市場結(jié)構(gòu)的依分布穩(wěn)定性和隨機(jī)持久性.S. Slobodyan[4]利用Lotka-Volterra模型證明了在局部不確定的穩(wěn)態(tài)下,連續(xù)時(shí)間的經(jīng)濟(jì)增長模型不可能存在周期性軌道.C. Zhu等[5-6]先后研究了隨機(jī)環(huán)境下的Lotka-Volterra模型,給出了系統(tǒng)解的存在唯一性定理.X. Li等[7]研究了隨機(jī)干擾下的Lotka-Volterra人口模型.

市場產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的確立,傳統(tǒng)上是在市場處于均衡態(tài)的假設(shè)下以邊際成本與邊際收益相等作為廠商決策的依據(jù),并以此來確定市場結(jié)構(gòu).孔東民[8]避開市場處于均衡態(tài)的假設(shè)和邊際成本等于邊際收益的條件,研究了Lotka-Volterra系統(tǒng)下市場結(jié)構(gòu)的演進(jìn).這些研究都是借用確定性Lotka-Volterra系統(tǒng)對經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的問題加以討論.事實(shí)上,當(dāng)多種同類的競爭性產(chǎn)品投放市場后,會(huì)受到各種微小的隨機(jī)因素的干擾.而生產(chǎn)產(chǎn)品有時(shí)也會(huì)受到干擾強(qiáng)度很大的隨機(jī)因素如停電、維修、事故等的影響轉(zhuǎn)入停產(chǎn)狀態(tài),而這些隨機(jī)因素的來到時(shí)刻也具有很強(qiáng)的隨機(jī)性.文中用Markov鏈來描述這種突然地強(qiáng)度很大的隨機(jī)干擾[9-11],采用具有Markov轉(zhuǎn)換的Lotka-Volterra系統(tǒng)描述市場結(jié)構(gòu),這樣更加貼近現(xiàn)實(shí).

1 主要結(jié)果

事實(shí)上,上述n種同類的競爭性產(chǎn)品投放市場后,會(huì)受到各種微小的隨機(jī)因素的干擾.而生產(chǎn)產(chǎn)品有時(shí)也會(huì)受到干擾強(qiáng)度很大的隨機(jī)因素如停電、維修、事故等的影響轉(zhuǎn)入停產(chǎn)狀態(tài),而這些隨機(jī)因素的來到時(shí)刻也具有很強(qiáng)的隨機(jī)性.文中用Markov鏈來描述這種突然地強(qiáng)度很大的隨機(jī)干擾.考慮帶有Markov轉(zhuǎn)換和白噪聲干擾的如下形式的Lotka-Volterra方程

[b(α(t))+A(α(t))x(t)]dt+

σ(α(t))x(t)dB(t),

(1)

其中,B(t)是標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)[12],α(t)是取值在S=1,2,…,M的右連續(xù)Markov鏈,滿足對每個(gè)α∈S有σii>0,σij≥0，i≠j,i,j=1,2,…,M.

這里

σ(α(t))=(σij(α(t)))n×n.

≤K,

其中K是常數(shù).

dV(x(t))=LV(x(t))dt+

xT(t)σ(α(t))x(t)dB(t),

其中

LV(x(t))=xT(t)b(α(t))+xT(t)A(α(t))x(t).

d(etV(x(t)))=etV(x(t))dt+

etdV(x(t))=et[V(x(t))+LV(x(t))]dt+

etxT(t)σ(α(t))x(t)dB(t).

對每個(gè)整數(shù)k≥|x0|,停時(shí)ρk=inf{t∈R+:|xt|≥k}.于是

+V(x(s))]ds=et[V(x(t))+

LV(x(t))]dt+etxT(t)σ(α(t))x(t)dB(t), (2)

LV(x(t))+V(x(t))=xT(t)b(α(t))+

基于引理和Chebyshev不等式[13],有如下定理.

定理1說明方程(1)的解為隨機(jī)最終有界的,這說明在各種隨機(jī)因素的干擾之下,構(gòu)成系統(tǒng)的各種產(chǎn)品的數(shù)目終將隨機(jī)的維持在各自的均衡點(diǎn)附近.下面的定理給出了方程(1)的漸近行為.

即

|xT(s)A(α(s))x(s)|≤

因此

令

則

因而

對1≤t≤k,?ω∈Ω′,?k≥k0(w)成立.若k-1≤t≤k且k≥k0(w),則有

于是

即

致謝隴東學(xué)院青年科技創(chuàng)新項(xiàng)目(XYZK1208)對本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.

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