譚雨 李春明 王金鳳

作者簡介：譚雨、李春明、王金鳳，玉溪師范學(xué)院理學(xué)院，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)。

摘要：本文主要針對幾種商品的價格與包裝大小之間的關(guān)系進行研究，首先對影響商品包裝大小與價格的因素進行分析，然后對商品質(zhì)量的大小與價格之間的關(guān)系給出具體的數(shù)學(xué)模型，但由于商品包裝樣式不同，數(shù)據(jù)之間缺乏聯(lián)系。因此，我們以一組商品數(shù)據(jù)為基準，對模型合理性假設(shè)，最終用MATLAB軟件進行線性擬合和通過已建立的模型來解決相關(guān)問題，從而就能找到最佳的包裝方法，明確地劃分商品的包裝檔次，制定利益最大化的營銷策略。同時解決消費者對大包裝商品實惠還是小包裝商品便宜的困惑，使消費者認清事實，理性消費。

關(guān)鍵詞：商品包裝大小；價格；模型

1.問題的陳述

1.1背景資料

在實際生活中，我們所用的同種商品總會碰到有包裝類似但價格不同的情況，比如，在超市中的“黑人牙膏”有90g、175g、225g三種規(guī)格，它們的價格分別為6.8元、10.9元和13.2元。三者單位重量的價格比是22：18：16；食用油有0.9L、1.8L、2.5L、5L四種規(guī)格，它們的單位重量的價格比為10：8：7：6。那么，這些商品的包裝大小與價格之間到底有什么樣的關(guān)系？

1.2問題提出

問題1.在平時，我們會遇到包裝大小的問題，同種商品的包裝大小與價格之間有什么關(guān)系？對于同一類的不同品牌的商品，它們之間是否也能找到一種關(guān)系？

問題2.對于一些不規(guī)則商品的包裝是否也類似于規(guī)則商品的包裝模型，能否針對不同類型的包裝做出合理假設(shè)，并對最優(yōu)模型加于闡述？

問題3.商店中的物品，是不是大包裝就一定比小包裝更便宜呢？

1.3需要解決的問題

1.3.1調(diào)查包裝類似但質(zhì)量不同的幾種同一商品各幾組，建立模型描述包裝大小和價格的關(guān)系。

1.3.2驗證所建立模型的合理性和準確性。

1.3.3對模型做出相應(yīng)的預(yù)測分析，以及提出相應(yīng)的對策和建議。

2.模型的假設(shè)

2.1定價一般是和以下幾個方面是密切聯(lián)系的：生產(chǎn)成本、包裝成本、其他成本。

2.2一般地說，生產(chǎn)成本主要與重量w成正比，包裝成本主要與表面積s成正比，其它成本也包含著與w和s成正比的部分，上述三種成本中也有與w，s均無關(guān)的成分。

2.3不考慮商品的生產(chǎn)效率和包裝效率，包裝材料、形狀不因包裝大小而有較大區(qū)別。商品是一樣的產(chǎn)品，不包含不同成分。

2.4商品的價格與商品的重量呈線性關(guān)系，不考慮個別商品微小的影響。

3.問題分析

3.1問題1的分析

首先根據(jù)客觀規(guī)律，初步確定了影響商品價格的因素。通過分析了解到商品自身的成本是由生產(chǎn)該商品的單位成本和所裝數(shù)量多少決定的，商品包裝成本是由包材料的單位成本和包裝材料的用量決定的。然后建立了商品包裝面積和產(chǎn)品重量的關(guān)系，并將各個因素有機的結(jié)合。通過分析產(chǎn)品重量成本因子和包裝材料成本因子關(guān)系，從而初步地建立了商品包裝大小與價格關(guān)系的模型。下面我們選取與我們生活息息相關(guān)的生活用品，牙膏作為問題1的研究對象。

其次，我們通過查閱資料和分析后得知，當(dāng)所裝袋的產(chǎn)品越多時，所需的包裝袋越大，得到他們之間的關(guān)系

s=kw2/3（3.1）

鑒于商品間存在空隙等因素，k在針對不同的商品時為不同的常量。為了驗證這里的材料面積是否與質(zhì)量的三分之二次方成正比。我們對牙膏的包裝面積與質(zhì)量的關(guān)系做出了以下猜想

s=kw（3.2）

其中，k和為它們之間的相關(guān)系數(shù)。通過MATLAB軟件擬合后確實接近2/3，本文就取2/3為標(biāo)準。

基于對問題1的分析和相關(guān)資料，商品的價格是由商品自身的成本，包裝成本和其他成本決定的。而商品自身的成本是由生產(chǎn)該商品的單位成本和所裝數(shù)量多少決定的，商品包裝成本是由包材料的單位成本和包裝材料的用量決定的，因此我們建立了以下模型

C（w）=aw+βw2/3+γ（3.3）

3.2問題2的分析

針對問題，我們對一些不規(guī)則包裝的商品（食用油桶裝和瓜子紙質(zhì)包裝）進行了有關(guān)調(diào)查，同時進行了合理性猜想。對于這類商品我們可以把它們規(guī)范化，當(dāng)作一般的模型來研究，觀察它的系數(shù)誤差，如果不理想再采用特殊的模型來分析。

3.3問題3的分析

這個結(jié)果不一定，雖然說相對大的包裝相對便宜，但是買東西根據(jù)我們的需求而定，不是每次都要買大包裝的商品。

4.符號說明

C：商品售價（元）w：商品重量（g）

γ：其他因素引起的成本cp：包裝材料的成本因子

s：商品的面積（m2）：λ重量的成本因子

α：與質(zhì)量有關(guān)的因數(shù)β：與質(zhì)量的三分之二次方有關(guān)的因數(shù)

5.模型的建立與求解

5.1問題1模型的建立：

C（w）=αw+βw2/3+γ（3.3）

2014-2015年黑人、佳潔士、高露潔牙膏的商品調(diào)查數(shù)據(jù)：

雙重薄荷黑人牙膏：90g，175g，225g價格分別為6.8元，10.9元，13.2元；

茉莉茶爽佳潔士牙膏：100g，120g，240g的價格分別為8.8元，9.8元，16.8元；

炭黑高露潔牙膏：140g，180g，200g的價格分別為12.3元，15.9元，17.7元

資料來源：2014年8月玉溪市紅塔大道沃爾瑪超市

首先，將表5-1的數(shù)據(jù)進行逐步回歸：只選取其中的一種作為基準，其余類似可以求出。我們以黑人牙膏為基準，帶入模型

C=aw+βw2/3+γ（5.1）

把它轉(zhuǎn)化為線性的模型，令w=w1，w2/3=w2，從而有線性模型

C=aw1+βw2+γ（5.2）

用MATLAB中進行線性擬合，就得到了黑人牙膏的質(zhì)量與價格的擬合函數(shù)模型：

C=1.4193+0.0316w+0.1265（W）23（5.3）

再對模型進行檢驗，結(jié)果顯示擬合的結(jié)果的價格和實際的價格基本一致，說明擬合函數(shù)符合要求。

對上述模型進一步探索，能否找出一個可以把所有不同種牙膏的價格與質(zhì)量擬合在一起的模型，于是我們做出了以下假設(shè)：

（1）當(dāng)質(zhì)量相同時，它們?nèi)N商品的β，γ近似相等。

（2）高露潔、佳潔士也適合上述模型，現(xiàn)在以黑人牙膏為其他牙膏的度量單位。

我們就可以把其他不同類型的牙膏轉(zhuǎn)化為黑人牙膏，以模型（3.3）

作為參考，把相同質(zhì)量的不同類型的牙膏進行如下轉(zhuǎn)化。令黑人牙膏的模型為：

C1（w）=a1w+β2/3+γ（5.4）

佳潔士模型：

C2（w）=a2w+β2/3+γ（5.5）

高露潔模型：

C3（w）=a3w+β2/3+γ（5.6）

上面的三個模型聯(lián)立，就得到了以黑人牙膏為度量的相同質(zhì)量之間的系數(shù)差。

a2-a1=C2（w）-C1（w）w（5.7）

a3-a1=C3（w）-C1（w）w（5.8）

其中a2-a1，a3-a1分別為相同質(zhì)量的黑人牙膏與佳潔士牙膏的修正系數(shù)，相同質(zhì)量的黑人牙膏與高露潔牙膏的修正系數(shù)。由于黑人牙膏采集的數(shù)據(jù)有限，所以我們用它的擬合函數(shù)模型：

C=1.4193+0.0316w+0.1265（W）23（5.3）

去解決相關(guān)的問題。根據(jù)其他牙膏的質(zhì)量，可以得到不同質(zhì)量的黑人牙膏的價格，并用Excel進行修正得出結(jié)果，修正公式為：

C（w）=C（w）-（a2-a1）w（5.9）

其中，C（w）表示修正后的價格、C（w）為原來的價格、a2-a1、a3-a1為修正系數(shù)，然后進行回歸分析最后得到相應(yīng)模型。用數(shù)學(xué)軟件MATLAB對有關(guān)數(shù)據(jù)進行擬合分析，得到下圖（其中“○”表示生產(chǎn)成本與價格的關(guān)系，“*”表示包裝成本與價格的關(guān)系

圖5-2：MATLAB畫出的圖像圖5-3：殘差分析圖

從圖5-2可以看出商品價格與包裝大小之間確實存在著線性關(guān)系，從除質(zhì)量因素有關(guān)外的其他因素也有影響，比如包裝材料等。為了進一步討論影響因素，對模型做出了以下分析。（添加的部分）在MATLAB中進行求解，得到了a=0.0466，β=-0.0148，γ=2.8985；概p0.05率，符合要求，對殘差進行分析，作殘差圖。從殘差圖5-3可以看出，除最后一個數(shù)據(jù)外，其余數(shù)據(jù)的殘差均離0點較近，并且殘差的置信區(qū)間均包含0點，這說明得到的模型能較好地符合原始數(shù)據(jù)，最后一個數(shù)據(jù)沒過0點，視為異常。其它的數(shù)據(jù)與零點較接近，把視為異常的數(shù)據(jù)舍去。用Excel進行檢驗，可以看出我們建立的模型是符合要求。所以，以黑人牙膏為度量單位的黑人牙膏，佳潔士牙膏，高露潔牙膏的模型為。

C=2.8985+0.0466w-（w）23（5.10）

5.2問題2的解決，其它不規(guī)則的商品的也可以建立模型（3.3），類似解決問題1的相關(guān)方法，根據(jù)以下調(diào)查數(shù)據(jù)見（附表）用MATLAB進行擬合，得到以下模型（添加的部分）

（1）以香瓜子為度量單位的涼茶瓜子和原香瓜子的模型：C=2.8434+0.0706（w）23（5.11）

（2）以香滿園為度量單位的魯花和金龍魚食用油的模型為：C=11.8474+11.8474w-1.7557（w）23（5.12）

5.3問題3的解決

針對包裝大小不同的商品，我們基于上述研究和日常生活經(jīng)驗的積累，容易發(fā)現(xiàn)很多消費者都喜歡買大包裝的商品，主要原因是圖它們便宜，再者是商家的“多銷多贏”策略所帶來的諸多好處。但作為我們消費者買東西時首先要根據(jù)生活的需要，其次要有一雙慧眼，了解什么樣的商品如何包裝是最劃算。

我們應(yīng)該看同一產(chǎn)品不同質(zhì)量與價格間的關(guān)系，就是單位質(zhì)量的價格。同一產(chǎn)品，單位質(zhì)量（單位體積）的價格越低，購買該種質(zhì)量產(chǎn)品越劃算；單位質(zhì)量（單位體積）的價格的越高，購買該種質(zhì)量產(chǎn)品越不劃算。大家不要忘記，其它因數(shù)對購買商品還是有影響的，比如大包裝的產(chǎn)品過多，會造成浪費，還有些時候，由于商店打折，小包裝的可能還要劃算一些。這里由于水平有限，試為一家之言吧。

6.模型的分析與評價

6.1模型的分析

（1）單位商品價格：

C=cw=a+βw-1/3+rw（6.1）

（2）對（6.1）求一階導(dǎo)數(shù)：

C=-13βw-4/3-rw2（6.2）

從單位商品價格的一階導(dǎo)數(shù)可以看出，C<0恒成立。這表明以質(zhì)量為變量的函數(shù)是減函數(shù)，當(dāng)w不斷增大時，單位質(zhì)量的價格隨之減小。說明了在控制好其他因素的情況下，商品的單價是隨著包裝質(zhì)量的增大而減小的。

6.2模型的評價

（1）本模型簡單、易懂，而且數(shù)據(jù)準度高；

（2）本模型適用于大多的數(shù)據(jù)預(yù)測；

（3）本模型能較好反應(yīng)出各因變量與自變量的關(guān)系。

（4）所收集到的數(shù)據(jù)過少，導(dǎo)致擬合上存在問題。

（5）模型不能運用在一些復(fù)雜的預(yù)測問題上。

7.模型的應(yīng)用與推廣

7.1模型應(yīng)用

這個模型具有很大的實用價值。超市購物是日常生活中必不可少的一個環(huán)節(jié)，花最少的錢買最實惠的東西是大家都想做到的事。這有一個持家的小竅門，那就是在商品用得完的情況下盡量選擇較大的包裝買東西，這樣可以比較好地省下包裝的費用。但是也要注意不能盲目追求大包裝，還要考慮過大包裝是否會有其他方面的損耗，譬如用不掉的情況，這樣就損失了?？偟膩碚f，在超市購物還是要從實際出發(fā)，盡量做到貨比三家。

7.2模型推廣

本模型可以運用在經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域里，作為一些簡單數(shù)據(jù)的預(yù)測和分析。還可以運用在一些商品定價方面?？梢詾橄M者，商家提供相應(yīng)的生產(chǎn)與購物觀念。作為商家，能更好地劃分包裝的檔次，可以根據(jù)上述建立的模型，求出需要的價格，從而根據(jù)質(zhì)量來劃定包裝檔次，避免盲目追求利潤，把利潤建立在合理的理論分析上，從而實現(xiàn)利益最大化。（作者單位：玉溪師范學(xué)院理學(xué)院）

指導(dǎo)老師：劉云

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