李生仁 白瓊燕 楊軍 李春望

摘 要 本文通過(guò)波動(dòng)方程和對(duì)弦上某一微小段的運(yùn)動(dòng)理論分析，推導(dǎo)出弦振動(dòng)形成駐波時(shí)波長(zhǎng)、弦中張力、頻率和弦線密度之間的關(guān)系。同時(shí)借助XZDY-B型均勻弦振動(dòng)儀，獲得大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并在Origin環(huán)境下對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)的擬合處理，做出了數(shù)據(jù)間的關(guān)系圖，使實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可視化和信息化，使弦振動(dòng)形成駐波的規(guī)律更為直觀，更容易理解。

關(guān)鍵詞 弦振動(dòng) 駐波 Origin 線性擬合

中圖分類(lèi)號(hào)：O4-39 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Analysis of Vibrating String Standing Wave Formed by Origin

LI Shengren， BAI Qiongyan， YANG Jun， LI Chunwang

（Chongqing Xiushan Senior High School， Chongqing 409900）

Abstract In this paper， analyzing the movement of the tiny sport on string section through wave equation in theory， deriving the relationship among the wavelength， the string tension， frequency and the density of strings when standing wave forms. Meanwhile， with evenly string vibration tester XZDY - type B， obtaining a lot of experimental data. And processing the data under the environment of Origin fitting processing system， making the data relationship chart to enable experimental data visualization and informationization， the law that formed standing wave audio-visual and easier to understand.

Key words string vibration； standing wave； origin； linear fitting

0 引言

駐波可以由兩列具有相同頻率、恒定相位差、振動(dòng)方向一致的行波在同一直線上沿相反方向傳播疊加形成。利用XZDY-B型均勻弦振動(dòng)儀，固定金屬弦線，使通電的金屬弦線在磁場(chǎng)中受到安培力的作用能夠振動(dòng)，振動(dòng)產(chǎn)生的波形從金屬弦線的一端傳到另一端時(shí)，由于端點(diǎn)是固定的，波形能夠被反射回來(lái)，反射回來(lái)的波形和新產(chǎn)生的波形，在滿足一定條件時(shí)就能形成最直觀、最簡(jiǎn)單的駐波。兩列波疊加后形成駐波，其駐波為 = + ，

即， = 22 （1）

1 弦振動(dòng)形成駐波規(guī)律的理論分析

由（1）式得，兩列波疊加后，弦上個(gè)點(diǎn)繼續(xù)做同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，駐波的振幅為∣22∣，振幅與時(shí)間無(wú)關(guān)，與質(zhì)點(diǎn)的位置有關(guān)。

由于波節(jié)處振幅為零，即2= （2 + 1）（ = 0，1，2，3，…）可求得波節(jié)的位置： = （2 + 1），則兩個(gè)相鄰波節(jié)之間的距離為： = 。

由此在研究弦振動(dòng)形成駐波的規(guī)律時(shí)，只需要測(cè)量相鄰波節(jié)之間的距離就可求得駐波的波長(zhǎng)。

在XZDY-B型均勻弦振動(dòng)儀中，劈尖處的弦線不會(huì)振動(dòng)，一定是駐波的波節(jié)。由此，在實(shí)驗(yàn)中要想形成駐波，兩個(gè)劈尖之間的距離必須等于半個(gè)波長(zhǎng)的整數(shù)倍。即， = （ = 0，1，2，3，…），是兩個(gè)劈尖之間的距離。

則原波的波長(zhǎng)為： = （2）

根據(jù)波長(zhǎng)、頻率和波速之間的關(guān)系可得：

= = （ = 0，1，2，3，…） （3）

波在張緊的弦線上沿軸正方向傳播，取，之間微小一段進(jìn)行分析。假設(shè)實(shí)驗(yàn)中所用弦線的線密度（即單位長(zhǎng)質(zhì)量）為，則此段弦線的質(zhì)量為。兩端受到左右鄰段的張力分別為、，其方向?yàn)檠叵揖€的切線方向與軸的夾角為、，如圖1。

圖1 ds段弦受力示意圖

由于弦線上傳播的行波在軸方向無(wú)振動(dòng)，所以作用在微小段上的張力在軸方向的分量應(yīng)該為零，即：

= 0 （4）

在方向微分段的運(yùn)動(dòng)方程為：

= （5）

對(duì)于微小的振動(dòng)，可取 = ，并且、都很小，所以 = 1， = 1， = ， = 。又從導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知 = ， = ，（4）式將成為 = 0，即 = = 表示張力不隨時(shí)間和地點(diǎn)而變，為一定值。則（5）式將化簡(jiǎn)為：

= （6）

將按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)并略去二級(jí)微量，

得， = + ，將此式代入（6）式，

得， = （7）

將（7）式中與簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程 = 相比較可知：在線密度為、張力為的弦線上，橫波傳播速度的平方等于： =

即， = （8）

由（3）式和（8）式可得：

= = （ = 0，1，2，3，…） （9）

對(duì)于線密度、長(zhǎng)度l和張力T一定的弦，其弦振動(dòng)傳播形成駐波時(shí)的頻率不只一個(gè)，包括相當(dāng)于 = 1、2、3、……的、、、……等多種頻率。

給（9）式兩側(cè)取對(duì)數(shù)，得：

= （10）

因此，要想讓弦振動(dòng)傳播形成駐波，必須使得波長(zhǎng)、張力、頻率 和線密度滿足 （10）式。

2 實(shí)驗(yàn)過(guò)程及數(shù)據(jù)的Origin處理

2.1 弦振動(dòng)形成駐波的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

調(diào)節(jié)好XZDY-B型均勻弦振動(dòng)儀，分別測(cè)量張力一定和頻率一定條件下相關(guān)的物理量。

（1）在同一條弦上，張力 = 49.72N時(shí)，調(diào)節(jié)頻率當(dāng)弦線上出現(xiàn)一段駐波和兩段駐波時(shí)，測(cè)量劈尖之間的距離，根據(jù)（9）式計(jì)算得到平均波長(zhǎng)，記錄數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

表1 張力一定時(shí)波長(zhǎng)與頻率 的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量表

（2）在同一條弦上，當(dāng)頻率 = 100HZ時(shí)，調(diào)節(jié)張力當(dāng)弦線上出現(xiàn)一段駐波和兩段駐波時(shí)，測(cè)量劈尖之間的距離，根據(jù)（9）式計(jì)算得到平均波長(zhǎng)，記錄數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表2 頻率一定時(shí)波長(zhǎng) 與張力的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)量表

（注：西安市的重力加速度值為： = 9.79684m/s2）

2.2 Origin對(duì)數(shù)據(jù)的擬合分析

Origin 軟件中對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合分析是一種特殊的曲線擬合，本次使用的擬合函數(shù)是 = 。通過(guò)給定的自變量和因變量，可求出和的值。

圖2 與變化關(guān)系圖

（1）打開(kāi)Origin軟件后，界面上將出現(xiàn)空白的兩列表格、，分別輸入 “表1”中 和的數(shù)據(jù)。分別選中這兩列，點(diǎn)右鍵Set colume values，通過(guò)公式將和的值分別變?yōu)?和。我們將作為橫坐標(biāo)軸的數(shù)據(jù)，作為縱坐標(biāo)軸的數(shù)據(jù)，通過(guò)Origin軟件進(jìn)行線性擬合，結(jié)果如圖2所示，擬合分析報(bào)告如圖3所示。

圖3 Origin軟件線性擬合分析結(jié)果

由圖2和圖3可知，- 圖像可以近似為一條直線，求得其斜率為-1.01737，非常接近-1。

圖4 與變化關(guān)系圖

（2）在Origin環(huán)境下，將“表2”中和的數(shù)據(jù)分別輸入表格、。分別選中這兩列，點(diǎn)右鍵Set colume values，通過(guò)公式將和的值分別變?yōu)楹汀Ｎ覀儗⒆鳛闄M坐標(biāo)軸的數(shù)據(jù)，作為縱坐標(biāo)軸的數(shù)據(jù)，通過(guò)Origin軟件進(jìn)行線性擬合，結(jié)果如圖4，擬合分析報(bào)告如圖5 。

圖5 Origin軟件線性擬合分析結(jié)果

由圖4和圖5可知，- 圖像可以近似為一條直線，求得其斜率為0.50021，非常接近。

2.3 實(shí)驗(yàn)規(guī)律的總結(jié)及推廣

式（12） = 表明，在同一條弦上形成駐波時(shí)，和、 之間存在線性關(guān)系。

若固定弦上張力，而改變?cè)l率，和 之間成正比例關(guān)系，比例系數(shù)為-1；由表1、圖2和圖3可知， 圖像可以近似為一條直線，求得其斜率為-1.01737。因此實(shí)驗(yàn)證明了，與 成正比例關(guān)系，驗(yàn)證了與1/ 成正比例關(guān)系。在同一條弦上，若固定弦上張力，在某一頻率下，測(cè)出段駐波各對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)，各弦長(zhǎng)：：…：： = ：：…：2：1。

若固定原波頻率，改變弦上張力，和之間成正比例關(guān)系，比例系數(shù)為0.5；由表2、圖4和圖5可知，圖像可以近似為一條直線，求得其斜率為0.50021。因此實(shí)驗(yàn)證明了，和與成正比例關(guān)系，驗(yàn)證了與成正比例關(guān)系。在同一條弦上，若固定原波固定結(jié)果頻率，在某一張力下，測(cè)出段駐波各對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)，各弦長(zhǎng)：：…：： = ：：…：2：1。

3 結(jié)論

（1）本文從波動(dòng)方程入手，推導(dǎo)出弦振動(dòng)時(shí)產(chǎn)生駐波的方程；分析產(chǎn)生駐波時(shí)弦上某一微小段的受力情況，得出弦振動(dòng)形成駐波時(shí)，波長(zhǎng)、弦中張力、頻率和弦線密度之間滿足的關(guān)系。（2）通過(guò)對(duì)大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，驗(yàn)證了弦振動(dòng)形成駐波時(shí)，波長(zhǎng)、弦中張力、頻率和弦線密度之間滿足的關(guān)系；并總結(jié)出弦振動(dòng)時(shí)駐波波長(zhǎng)與張力，波長(zhǎng)與振動(dòng)頻率的規(guī)律。同時(shí)利用Origin軟件處理數(shù)據(jù)和作圖，使實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可視化和信息化，使實(shí)驗(yàn)規(guī)律更加形象化。（3）在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中實(shí)驗(yàn)比例關(guān)系，可以利用以上總結(jié)的規(guī)律，來(lái)及時(shí)檢驗(yàn)所測(cè)數(shù)據(jù)的可靠性。實(shí)驗(yàn)測(cè)量過(guò)程中如果出現(xiàn)不符合此規(guī)律的數(shù)據(jù)，可以及時(shí)分析導(dǎo)致此結(jié)果的原因，有效避免因操作不當(dāng)而記錄錯(cuò)誤數(shù)據(jù)。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉東紅.弦振動(dòng)駐波分析.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2002.15（1）.

[2] 苗琨，黃育紅，李康，宋翠.弦振動(dòng)形成駐波的規(guī)律和數(shù)據(jù)的MATLAB處理.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2010.23（4）.

[3] 周劍平.Origin實(shí)用教程（7.5版）[M].西安交通大學(xué)出版社，2007.