李玉林,黃 娟,周 凡
(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,四川成都610066)
本文研究如下具有平方反比勢(shì)的非齊次非線性 Schr?dinger方程
當(dāng)a=0時(shí),方程(1)是三次非齊次非線性Schr?dinger方程.Guzmán[1]根據(jù) Strichartz 估計(jì)的收縮映射原理[2]在空間H1(RN)中,得到該方程解的局部適定性.在2016年,F(xiàn)arah[3]利用Weinstein[4]相似的方法得到該方程的一個(gè)整體解,并且獲得了方程的最佳Gagliardo-Nirenberg不等式.隨后,Dinh[5]得到了徑向初始值的爆破解.
當(dāng)b=0時(shí),方程(1)是三次具有平方反比勢(shì)的非線性 Schr?dinger方程,Killip 等[6]同時(shí)在空間H1(R3)中得到其解的局部適定性,通過(guò)文獻(xiàn)[7-8]相似的方法,建立了方程(1)的一個(gè)解在有限時(shí)間爆破和解散射的門檻條件.Killip等[9]在空間H1(Ω)中,得到該方程具有Dirichlet邊界條件的整體解和散射解.最近,Bensouilah等[10]得到了徑向基態(tài)駐波的強(qiáng)不穩(wěn)定性.
綜上,可以看到對(duì)于a=0或者b=0的非線性Schr?dinger方程駐波解的穩(wěn)定性的研究已有一些結(jié)果,但對(duì)于a≠0且b≠0時(shí),現(xiàn)有文獻(xiàn)并未發(fā)現(xiàn)有對(duì)其駐波解穩(wěn)定性的研究.因此,本文致力于研究這類帶平方反比勢(shì)的非齊次非線性Schr?dinger方程駐波的強(qiáng)不穩(wěn)定性.同時(shí),方程(1)把非線性項(xiàng)推廣到更加一般的情況,這是吸引我們研究該問(wèn)題的又一原因.
注2.1當(dāng)a=0時(shí),在文獻(xiàn)[13]中,得到方程(1)關(guān)于初值u0的解u在有限時(shí)間內(nèi)爆破,這正好與定理2.1的結(jié)論吻合.
注2.2事實(shí)上,當(dāng)b=0時(shí),定理2.1也成立,這也正是文獻(xiàn)[14]中的結(jié)論.
下面討論方程(1)駐波解的強(qiáng)不穩(wěn)定性.從(9)式的變分問(wèn)題和最佳Gagliardo-Nirenberg不等式得到方程(1)駐波解u(t,x)=eitQ(x)的存在性,其中Q(x)是方程(4)的一個(gè)基態(tài)解.
定義3.1如果對(duì)任意δ>0,存在u0∈H1(R3),使得‖u0-Q‖H1<δ,并且方程(1)關(guān)于初值u0的解u必須在有限時(shí)間內(nèi)爆破,即對(duì)于T>0,使得,則稱駐波解u(t,x)=eitQ(x)在空間H1(R3)中是強(qiáng)不穩(wěn)定的.
定理3.1對(duì)于,0≤b<1,方程(1)的駐波解u(t,x)=eitQ(x)是強(qiáng)不穩(wěn)定的.
證明從文獻(xiàn)[15]和命題2.1的證明知,當(dāng)u∈H1(R3)\{0},有S(u)=0或R(u)=0.那么對(duì)于任意μ>1,得到S(μu)<0,R(μu)<0.一方面,對(duì)任意δ>0,存在μ>1,使得‖μQ-Q‖H1<δ.另一方面,對(duì)任意μ>1,有I(μQ)<I(Q),S(μQ)<S(Q)=0和R(μQ)<R(Q)=0.因此,μQ∈K.因?yàn)镼是方程(4)的解,并在無(wú)窮遠(yuǎn)處呈指數(shù)衰減,取u0=μQ.因此,駐波解u(t,x)=eitQ(x)在空間H1(R3)中是強(qiáng)不穩(wěn)定的.
注3.1當(dāng)a=0時(shí),由定理3.1知,方程(1)的駐波解u(t,x)=eitQ(x)在空間H1(R3)中是強(qiáng)不穩(wěn)定的,這與文獻(xiàn)[13]結(jié)論一致.
注3.2事實(shí)上,當(dāng)b=0時(shí),也可以得到同樣的結(jié)論:方程(1)的駐波解u(t,x)=eitQ(x)在空間H1(R3)中是強(qiáng)不穩(wěn)定的,這與定理3.1的結(jié)論保持一致.
四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2020年1期