李愛(ài)芝，梁文梟，王 強(qiáng)，孫正和

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海) 光電科學(xué)系，山東 威海 264209；2. 河南理工大學(xué) 理化學(xué)院，河南 焦作 454000)

駐波能量及能流密度局部振蕩理論探析

李愛(ài)芝1，梁文梟2，王 強(qiáng)1，孫正和1

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海) 光電科學(xué)系，山東 威海 264209；2. 河南理工大學(xué) 理化學(xué)院，河南 焦作 454000)

以截面積為S密度ρ為的棒中沿相反方向傳播的簡(jiǎn)諧橫波疊加成的駐波為例，論證了駐波能量分布曲線和能流密度曲線都與駐波曲線相似.若將相鄰波腹和波節(jié)間的各質(zhì)元稱為一段，分析表明,只有同一段中有能量轉(zhuǎn)換和轉(zhuǎn)移，且在半個(gè)周期內(nèi)的能流密度等于零.這說(shuō)明駐波中無(wú)單一方向的能流.

駐波；波腹；波節(jié)；能流密度

駐波是由振幅相同、頻率相同、振動(dòng)方向相同的兩列簡(jiǎn)諧波，在同一直線上沿相反方向傳播，疊加后形成的波.關(guān)于駐波的能量傳播特性，許多文獻(xiàn)已作了一些定量計(jì)算與討論，但不太透徹.本文將對(duì)駐波中能量的轉(zhuǎn)移與轉(zhuǎn)換作進(jìn)一步的深入探析，以使駐波的能量傳播問(wèn)題更便于理解，物理圖像更加清晰.

1 駐波方程

設(shè)有兩個(gè)振幅均為A，角頻率為ω，波長(zhǎng)為λ的簡(jiǎn)諧波，在同一x軸上沿相反方向傳播.其波動(dòng)方程分別為[1]：

y1=Acos(ωt-kx)y2=Acos(ωt+kx)

其中k=2π/λ，合成的駐波方程為：

y=y1+y2=2Acoskxcosωt

(1)

其中：cosωt表簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而|2Acoskx|就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅.

波腹(振幅最大的各點(diǎn))位于：

(2)

波節(jié)(振幅為零的各點(diǎn))位于：

(3)

介于波腹與波節(jié)之間的質(zhì)點(diǎn)，它們的振幅則隨位置坐標(biāo)按|2Acoskx|的規(guī)律變化.

2 駐波的能量

在平衡位置為x處取一長(zhǎng)度為dx的介質(zhì)體元dv=sdx，其質(zhì)量為dm=ρdv=ρsdx

此質(zhì)元的振動(dòng)動(dòng)能[2]為：

dEk=2ρA2ω2sdxcos2kssin2ωt

(4)

此質(zhì)元的彈性形變勢(shì)能為[2]：

dEp=2ρA2ω2sdxsin2kxcos2ωt

(5)

此介質(zhì)元的總能量：

dE=dEk+dEp=2ρA2ω2sdx(cos2kxsin2ωt+sin2kxcos2ωt) =ρA2ω2dv(1-cos 2kxcos 2ωt)

(6)由式(6)可看出，駐波的能量分布與式(1)中駐波的位移分布相類似，在空間有一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的分布.

3 能流密度

由文獻(xiàn)[3-4]知，兩種簡(jiǎn)諧波的能流密度分別為：

I1=ρω2A2usin(ωt-kx),

I2=ρω2A2usin2(ωt+kx).

則合成駐波的能流密度為：

I=I1-I2=-ρω2A2usin 2kxsin 2ωt

(7)

由此可見(jiàn)，駐波的能流密度表達(dá)式也和駐波的位移相類似.

圖1 位移(y)、能量(dE)和能量密度(I)隨平衡位置(x)變化的曲線圖

4 剖析駐波中質(zhì)元能量的變化及流動(dòng)

4.1 駐波波節(jié)處質(zhì)元的能量[3]

由式(3)～(5)知

dEk=0,dEp=2ρA2ω2sdxcos2ωt

(8)

4.2 駐波波腹處質(zhì)元的能量[3]

由式(2)、(4)、(5)知：

dEp=0,dEk=2ρA2ω2dvsin2ωt

數(shù)據(jù)顯示，西北油田的“長(zhǎng)子”西達(dá)里亞油田噸油操作成本由2015年的1704元大幅降至目前的626元，盈虧平衡油價(jià)由2017年的151.6美元/桶大幅降至目前的56.3美元/桶。

(9)

由此說(shuō)明，波腹處的質(zhì)元始終沒(méi)有形變，勢(shì)能為零，只有動(dòng)能，且動(dòng)能隨時(shí)間作周期性變化，最小值為零，最大值為2ρA2ω2dv.

由式(4)、(5)知xi處質(zhì)元的動(dòng)能和勢(shì)能分別為：dEk=ρA2ω2dvsin2ωt，dEp=ρA2ω2dvcos2ωt

則xi處質(zhì)元的總能量為：

dE=dEk+dEp=ρA2ω2dv

(10)

4.4 相鄰波腹和波節(jié)間質(zhì)元的總能量

(11)

相鄰波腹和波節(jié)間的總勢(shì)能為：

(12)

(13)

4.5 相鄰波腹和波節(jié)間關(guān)于中心對(duì)稱的兩點(diǎn)的能量

dEr=ρA2ω2dv(1-sin 2kΔxcos 2ωt)

(14)

xi+Δx處質(zhì)元的能量為

dEl=ρA2ω2dv(1+sin 2kΔxcos 2ωt)

(15)

以上兩對(duì)稱點(diǎn)的能量和

dEr+dEl=2ρA2ω2dv

(16)

式(14)～(16)說(shuō)明，在相鄰波腹和波節(jié)中，距離其中點(diǎn)相同的兩點(diǎn)，向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，靠近波腹的一點(diǎn)能量增加，另一點(diǎn)能量則等值減少.而遠(yuǎn)離平衡位置時(shí)則相反，但兩點(diǎn)的能量之和在任意時(shí)刻都是不變的.

4.6 能流密度的變化

由能流密度的表達(dá)式(7)知，當(dāng)

此時(shí)

(17)

(18)

(19)

式(18)、(19)說(shuō)明，駐波在任意半個(gè)周期內(nèi)的平均能流等于零，能量只在相鄰波腹和波節(jié)間來(lái)回振蕩，并不向外傳播.

[1] 張三慧.大學(xué)物理學(xué)[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2011.151-157.

[2] 祝之光.物理學(xué)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2009.318.

[3] 周世錕.對(duì)于駐波能量的定量研究[D]. 玉林: 玉林師范學(xué)院, 2012.8.

[4] 遲卓君, 孫艷梅, 梁法庫(kù). 解析駐波的能流密度[J]. 高師理科學(xué)刊, 2009, 29(2): 60-62.

Study on theory of wave energy and energy density of local oscillation

LI Ai-zhi1, LIANG Wen-xiao2, WANG Qiang1, SUN Zheng-he1

(1. Photoelectric Science Department, Harbin Institute of Technology (Weihai), Weihai 264209, China;2. School of Chemistry and Physics, Henan Polytechnic University, Jiaozuo 454000, China)

This paper focused on the standing wave formed by superposition of harmonic shear waves which propagated along the rod (the cross sectional area ofS, the mass density ofρ) in opposite directions. It demonstrated that the standing wave energy distribution curve and energy flow density curve were both similar as standing wave curve. If the matter element between adjacent wave loop and wave nodes was called a segment, the conversion and transfer of energy only occurred in the same segment, and the average energy flow density was equal to zero within half a cycle. The results showed that there was no single direction energy flow in standing wave.

standing wave; wave loop; wave section; energy flow density

2014-12-13.

山東省研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃(SDYY12005)；哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)大學(xué)物理精品課建設(shè)項(xiàng)目資助(ITGA10002003)

李愛(ài)芝(1969-)，女，碩士，講師，研究方向：大學(xué)物理.

O326

A

1672-0946(2015)03-0362-03