王艷平，王金英

(遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 錦州121001)

0 引 言

自1965 年L.A.Zadeh［1］首次提出模糊集的概念以來，人們相繼給出了模糊集的一些推廣形式，其中K. Atanassov 的直覺模糊集以及區(qū)間直覺模糊(Interval-Valued Intuitionistic Fuzzysets，IVIF)集［2］，就是對L.A.Zadeh 模糊集理論的一種擴充和發(fā)展. Z.Pawlak 于1982 年提出了粗糙集［3］的概念，由于模糊集和粗糙集理論在處理不確定性和不精確性問題方面都推廣了經(jīng)典集合論，因此將兩個理論相融合，建立模糊粗糙集成為信息領(lǐng)域研究的主要方向之一. 許多學(xué)者致力于這方面的研究，提出了各種廣義的模糊粗糙集、直覺模糊粗糙集和IVIF 粗糙集［4］. L.A.Zadeh 提出的模糊熵是模糊集理論中一個重要的研究對象，用來刻畫模糊集的不確定性. 許多學(xué)者從不同的角度對各種廣義模糊集的熵進行了深入的研究，分別給出了模糊熵［5］、直覺模糊熵［6-8］、Vague 熵以及IVIF 熵［9-11］的公理化定義和計算公式. 文獻［5］利用一種新的模糊熵研究了模糊粗糙集的不確定性度量，但對IVIF 粗糙集不確定性度量的研究目前還未見相關(guān)文獻，所以本文試圖通過先定義IVIF粗糙集和IVIF 集的粗糙隸屬函數(shù)，然后再利用現(xiàn)有的模糊熵公式，給出IVIF 粗糙集的不確定性度量.

1 區(qū)間直覺模糊粗糙集的基本理論

定義1［2］設(shè)U 是一個非空經(jīng)典集合，稱U上形如A ={〈x，μA(x)，νA(x)〉| x ∈U}的三元組為U 上的一個IVIF 集．

為方 便，將 IVIF 集 A 記 為 A = {〈x，［μAL(x)，μAU(x)］，［νAL(x)，νAU(x)］〉| x ∈U}． U 上所有區(qū)間直覺模糊集構(gòu)成的集合為IVIF(U)．

定義2［12］設(shè)定義

定義3［13］設(shè)U 是一個非空經(jīng)典集合，A，B ∈IVIF(U)，規(guī)定序及運算如下:

定義4［14］設(shè)U 和W 是有限非空論域，定義在U ×W 上的IVIF 子集稱為從U 到W 之間的二元IVIF 關(guān)系，記為

特別地，當U = W 時，IVIF 關(guān)系R ∈IVIF(U × W)稱為U 上的IVIF 關(guān)系．

本文用| A| 表示IVIF 集的基數(shù)，并取

定義5 設(shè)(U，R)是IVIF 近似空間，即R 是U 上的任一IVIF 關(guān)系． ?A ∈IVIF(U)，則A 在近似空間(U，R)中的下近似

R(A)，上近似R(A)是

一對IVIF 集

序?qū)?R(A)，

R(A))稱為IVIF 粗糙集．

2 區(qū)間直覺模糊集的粗糙隸屬函數(shù)

利用前面給出的IVIF 集基數(shù)公式和文獻［5］中模糊集粗糙隸屬函數(shù)的定義，定義IVIF 集的粗糙隸屬函數(shù)，這里仍將其定義為一個模糊集．

定義6 設(shè)(U，R)是IVIF 近似空間，對?A ∈IVIF(U)，x ∈U，x 關(guān)于A 的粗糙隸屬函數(shù)R(A)∶IVIF(U)→F(U)定義為

特別地，當A 退化為模糊集，R 退化為模糊關(guān)系時，公式(2)退化為文獻［5］中的普通模糊集的粗糙隸屬函數(shù)，因此這里定義的IVIF 集的粗糙隸屬函數(shù)是模糊粗糙隸屬函數(shù)的推廣，而文獻［5］中定義的粗糙隸屬函數(shù)是它的特例．

定理1 設(shè)(U，R)是IVIF 近似空間，粗糙隸屬函數(shù)具有性質(zhì):

1)?A，B ∈IVIF(U)，若A ?B，則R(A)?R(B);

2)若A ∈P(U)，則R(～A)= ～R(A)．證明 1)?A，B ∈IVIF(U)，若A ?B，即對?x ∈U 有

則顯然有R(A)(x)≤R(B)(x)，因此R(A)?R(B)．

2)若A ∈P(U)，對?x ∈U，當x ∈A 時，即μA(x)= ［1，1］，νA(x)= ［0，0］，由公式(2)顯然有R(A)(x)= 1．又因為～A ={〈x，νA(x)，μA(x)〉| x ∈U}，故有R(～A)(x)=0，因此R(～A)= ～R(A)． 當x ?A 時，即μA(x)=［0，0］，νA(x)=［1，1］，由公式(2)顯然有R(A)(x)= 0． 同理有R(～A)(x)= 1，因此R(～A)= ～R(A)．

3 模糊熵

采用文獻［5］中模糊熵的公理化定義和模糊熵公式.

定義7［5］稱映射E:F(U)→［0，1］為模糊集的一個模糊熵． 如果E 滿足如下條件:

條件1:E(A)= 0，當且僅當A 是一個分明集;

條件2:E(A)= 1，當且僅當對A = 0．5;

條件3:E(A)= E(～A);

條件4:若d(A，0．5)≥d(B，0．5)，則E(A)≤E(B)．

其中，A = 0．5表示隸屬函數(shù)恒為0．5 的常值模糊集;是兩個模糊集A 和B 的距離．

定理2［5］對?A ∈F(U)，定義

則由式(3)定義的E 是一個模糊熵.

4 區(qū)間直覺模糊粗糙集的不確定性度量

定義8 設(shè)(U，R)是IVIF 近似空間，A ∈IVIF(U)，則IVIF 粗糙集(A)，((A))的模糊性度量FR(A)定義為粗糙隸屬函數(shù)的模糊熵

定理3 設(shè)U 是非空有限論域，R 是U 上的自反模糊關(guān)系，即對?x ∈U，有μR(x，x)=［1，1］，νR(x，x)= ［0，0］． A ∈IVIF(U)，則FR(A)= 0，當且僅當A 是經(jīng)典集合且是可定義的．

由1)和2)可知，?x ∈U，R(A)(x)(1 －R(A)(x))= 0，故FR(A)= 0．

反之，若FR(A)= 0，由定義8 可知，對?x ∈U，應(yīng)有R(A)(x)= 0，或R(A)(x)=1．

3)若R(A)(x)= 0，則由公式(2)可得而式(5)中每一項均大于或等于零，故有0． 又因為所以

4)若R(A)(x)= 1，由公式(2)對?y ∈U，顯然有μR(x，y)≤μA(y)，νR(x，y)≥νA(y)． 因此R 是自反模糊關(guān)系． 特別地，有［1，1］=μR(x，x)≤μA(x)，［0，0］= νR(x，x)≥νA(x)，即μA(x)= ［1，1］，νA(x)= ［0，0］．

由3)和4)可知A 是經(jīng)典集合．

由以上證明可知，當FR(A)= 0 時，A 是經(jīng)典 集 合． 所 以 ?x ∈ U，μA(x) = ［1，1］，νA(x)= ［0，0］，或μA(x)=［0，0］，νA(x)=［1，

1］．

5)若x ∈A，即μA(x)= ［1，1］，νA(x)=［0，0］． 由公式(2)可知，R(A)(x)≠0，故R(A)(x)= 1． 則對?y ∈U，有μR(x，y)≤μA(y)，νR(x，y)≥νA(y)． 即?y ?A，μR(x，y)=［0，0］，νR(x，y)=［1，1］． 因此于 是 有又因為于是，因此R(A)= A = R(A)．

由5)和6)可知，A 是可定義的．

定理4 設(shè)(U，R)是IVIF 近似空間，則A ∈P(U)，有FR(～A)= FR(A)．

證明 由定理1 可知，對?A ∈P(U)，有R(～ A) = ～ R(A)， 故 R(～ A)(x)(1 －R(～A)(x))= (1 － R(A)(x))R(A)(x)． 再由公式(5)直接可得FR(～A)= FR(A)．

定理3 和定理4 說明了什么樣的IVIV 粗糙集是“確定的”，什么樣的集合和它的余集的IVIF 粗糙性度量是相等的.

5 結(jié)束語

區(qū)間直覺模糊粗糙集的不確定性不僅來自于近似空間，也來自于被近似的集合的模糊性. 建立一個區(qū)間直覺模糊粗糙集模型以后，如何對其不確定性進行度量是一個重要的課題. 本文通過將區(qū)間直覺模糊粗糙集的隸屬函數(shù)定義為一個模糊集，從而可以利用現(xiàn)有文獻的模糊熵公式，實現(xiàn)了區(qū)間直覺模糊粗糙集的不確定性度量，它在不確定性分析方面的具體應(yīng)用值得進一步深入研究.

［1］Zadeh L A. Fuzy set［J］. Inform Control，1965，8:338-353.

［2］Atanassov K. Intuitionistic Fuzzy sets［J］. Fuzzy Sets and Systems，1986，20(2):87-96.

［3］Pawlak Z. Rough sets［J］. International Journal of Computer Information Science，1982，11:341-356.

［4］Zhang Z M. An interval-valued rough intuitionistic fuzzy set model［J］. International Journal of General Systems，2010，39(2):135-164.

［5］張文修，姚一豫，梁怡. 粗糙集與概念格［M］. 西安:西安交通大學(xué)出版社，2006.

［6］Burillo P，Bustince H. Entropy on intuitionistic fuzzy sets and on interval-valued fuzzy sets［J］. Fuzzy Sets and Systems，2001，118(3):305-316.

［7］Szmidt E，Kacprzyk J. Entropy for intuitionistic fuzzy sets［J］. Fuzzy Sets and Systems，2001，118(3):467-477.

［8］魏翠萍，高志海，郭婷婷. 一個基于三角函數(shù)的直覺模糊熵公式［J］. 控制與決策，2012，27(4):571-574.Wei Cuiping，Gao Zhihai，Guo Tingting. An intuitionistic fuzzy entropy measure based on trigonometric function［J］. Control and Decision，2012，27(4):571-574. (in Chinese)

［9］郭效之. 模糊不確定性度量的探討及擴展［D］. 西安:西北大學(xué)，2004:48-50.

［10］王培，魏翠萍.一種區(qū)間直覺模糊熵的構(gòu)造方法［J］.計算機工程與應(yīng)用，2011，47(2):43-45.Wang Pei，Wei Cuiping. Constructing method of interval-valued intuitionistic fuzzy entropy［J］. Computer Engineering and Applications，2011，47(2):43-45. (in Chinese)

［11］屈克，湯磊，榮文靜. 區(qū)間直覺模糊集熵的構(gòu)造及其基本性質(zhì)［J］. 重慶文理學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2010，29(3):21-24.Qu Ke，Tang Lei，Rong Wenjing. The construction and basic properties of entropy of interval-valued intuitionistic fuzz y sets［J］. Journal of Chong qing University of Arts and Sciences (Natural Science Edition)，2010，29(3):21-24. (in Chinese)

［12］Gong Z T，Sun B Z，Chen D G ，Rough set theory for interval-valued fuzzy information systems［J］. Information Sciences，2008，178:1968-1985.

［13］Atanassov K. Operators over interval valued intuitionistic Fuzzy sets［J］，F(xiàn)uzzy Sets and Systems，1994，64:159-174.

［14］彭振文，王周敬. 區(qū)間直覺模糊關(guān)系及其性質(zhì)［J］.海南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2008，21(4):412-415.Peng Zhenwen，Wang Zhoujing. The Interval-valued intuitionistic fuzzy relations and their properties［J］. Journal of Hainan Normal University (Natural Science)，2008，21(4):412-415. (in Chinese)