黃召杰，馮 碩

（1.北京鐵路局南倉站，天津300000；2.北京鐵路局石家莊培訓基地，河北 石家莊050000）

1 模型介紹

1.1 灰色預測概念

灰色系統(tǒng)預測理論的基本思路是按某種規(guī)則將已知的數(shù)據(jù)序列構(gòu)成非動態(tài)的或動態(tài)的白色模塊，然后按照某種變換解決來求解未來的灰色模型。在灰色系統(tǒng)理論中，常用的模型是微分方程所描述的動態(tài)方程，最簡單的是基于灰色系統(tǒng)理論模型GM（1，1）以及GM（1，N）模型的預測分析?；疑A測分析可分為幾類，即數(shù)列預測，災變預測，季節(jié)性災變預測，拓撲預測及系統(tǒng)綜合預測。

1.2 灰色預測模型

灰色理論的微分方程模型稱為GM模型，GM（1，N）表示一階、N個變量的微分方程模型，GM（1，1）表示一階、單個變量的微分方程。

1.2.1 GM（1，1）模型

GM（1，1）是一階單序列的線性動態(tài)模型，用于時間t序列預測的是其離散形式的微分方程模型，具體形式為

由上式可知，這是一個單變量x對時間的一階微分方程，是連續(xù)的，實際使用的是其離散的單個數(shù)據(jù)形式。

設 有 數(shù) 列x（0）共 有n個 觀 察 值x（0）（1），x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（n），對x（0）作一次累 加 生成，得到新的數(shù)列x（1），表達式為

対一階生成數(shù)列x（1）建立預測模型，其方程為

式中:a，u為待估參數(shù)，分別稱為發(fā)展灰數(shù)和內(nèi)生控制灰數(shù)。

將上式的離散形式展開，可得

將兩個待估模型參數(shù)表示為向量形式得

將上述離散方程組用最小二乘法求解，得

將上式中的＾a代入上式，解微分方程，得到GM（1，1）的預測模型為

式中

1.2.2 GM（1，N）模型

對于n個變量x1，x2，…，xn，如果每個變量都有m個相互對應的數(shù)據(jù)，則形成n個數(shù)列展開為

對x（1）i累加生成，形成n個生成數(shù)列x（1）i有

則

可建立微分方程

上式中的參數(shù)可表示為

按最小二乘法估計參數(shù)＾a，則有

可得GM（1，N）模型為

1.2.3 模型檢驗

灰色預測模型的檢驗，有關聯(lián)檢驗、后驗檢驗和殘差檢驗。殘差檢驗分兩種:一是相對誤差，二是絕對誤差。檢驗步驟為

設 原 始 序 列:X0＝ （x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），灰色模型預測序列為

計算殘差

計算相對誤差

計算x（0）（n）的均值和方差為

計算ε（0）（n）的均值和方差為

稱為均方差比值 ，稱p＝為小誤差概率。

C＝S2

S1

一般精度等級的劃分如表1所示。

表1 灰色預測精度等級

如果關聯(lián)度、方差、小誤差概率和相關誤差比都在允許范圍之內(nèi)時，則可用所建模型進行預測，否則應進行殘差修正。

2 具體實例

用2007～2010年的數(shù)據(jù)來預測2011年的1～9月各月客運量，建立鐵路客運量灰色系統(tǒng)預測模型。

以2011年1月客運量預測為例，2007～2010年各年1月客運量如表2所示。

表2 2007～2010年各年1月客運量

由表1中2007～2010年各年1月的客運量可知

求得一次累加生成數(shù)列

即

預測模型為

累減生成

計算絕對誤差序列

相對誤差序列

關聯(lián)度檢驗

不滿足ρ＝0.5時，γ大于0.6的要求，所以，要對模型進行殘差修正，取

修正后的模型為

由修正后的模型計算得到2011年1月的預測值為15 226.102萬人。用同樣的方法計算2011年其他各月的預測值（見表3）和灰色預測值與實際值的擬合值（見圖1）。

表3和圖1可以看出，雖然有些月份預測值與實際值擬合效果一般，但總體預測值與實際值擬合效果較好。

表3 2011年客運量實際值與灰色預測值分析表

圖1 灰色預測值與實際值擬合結(jié)果

3 結(jié) 論

1）灰色預測方法簡單。雖然該模型是建立在高等數(shù)學基礎上，但計算步驟簡單，可以借助計算機軟件或者Excel很容易計算出來，計算時間短。

2）灰色預測模型需要的數(shù)據(jù)少。由于灰色預測把隨機過程看作灰色過程，所以，灰色預測只根據(jù)實際情況選擇適量的數(shù)據(jù)即可。

3）灰色預測可有效的處理貧信息和數(shù)據(jù)少的情況。在一定時間段內(nèi)預測的精度較高，但是隨著信息的增加，不斷進入灰色系統(tǒng)時，會發(fā)現(xiàn)預測效果越來越差，灰色系統(tǒng)不適合長期的預測，不能用該模型預測未來的所有值。

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