施建禮，焦吉祥，彭文輝

（1.海軍潛艇學(xué)院3系，青島 266044；2.92196部隊(duì)，青島 266071）

近年來，MEMS陀螺儀作為慣性領(lǐng)域的一個(gè)新興的重要分支，以體積小、重量輕等特點(diǎn)受到人們的重視，對(duì)其研究也越來越深入。但是MEMS陀螺儀受本身的精度不高、動(dòng)態(tài)誤差和隨機(jī)誤差較大等缺點(diǎn)影響，使得MEMS陀螺儀的應(yīng)用領(lǐng)域受到了限制。

當(dāng)前，對(duì)MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差項(xiàng)的辨識(shí)法主要有Allan方差、功率譜密度（PSD）法[1]等。這些方法能辨識(shí)出隨機(jī)誤差項(xiàng)，但是并沒有說明如何在此基礎(chǔ)上對(duì)MEMS陀螺儀的隨機(jī)誤差進(jìn)行補(bǔ)償。這使其在工程技術(shù)方面的應(yīng)用受到了限制，尤其是一些精度要求較高的場(chǎng)合。

針對(duì)MEMS陀螺儀的以上缺點(diǎn)，文章提出一種能夠快速辨識(shí)和濾除MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差項(xiàng)的方法：首先分析影響MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差的主要誤差項(xiàng)，建立誤差模型并運(yùn)用Allan方差法進(jìn)行辨識(shí)。然后設(shè)計(jì)Kalman濾波器，建立濾波方程，進(jìn)行隨機(jī)誤差補(bǔ)償。經(jīng)過實(shí)例證明，該種方法可以將MEMS陀螺儀的隨機(jī)誤差精度提高2個(gè)數(shù)量級(jí)（方差）且均值基本不變。具有很高的工程應(yīng)用價(jià)值。

1 MEMS陀螺儀主要隨機(jī)誤差項(xiàng)

目前并沒有統(tǒng)一的國家和國際標(biāo)準(zhǔn)界定MEMS陀螺儀的隨機(jī)誤差項(xiàng)，在參考IEEE中的單軸光纖陀螺儀的標(biāo)準(zhǔn)——IEEE Standard Specification Format Guide and Test Procedure for Single-Axis Laser Gyros[2]的基礎(chǔ)上，采用Allan方差法，將隨機(jī)誤差劃分為量化噪聲、角度隨機(jī)游走、零偏不穩(wěn)定性、角速率隨機(jī)游走和速率斜坡誤差項(xiàng)。本文按照標(biāo)準(zhǔn)中計(jì)算方法進(jìn)行了實(shí)際測(cè)試，表明在MEMS陀螺儀中，也存在這些隨機(jī)誤差項(xiàng)，以下是這些誤差項(xiàng)產(chǎn)生的原因和物理意義。

量化噪聲（其系數(shù)簡寫為Q，下同）在將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號(hào)過程中，由于AD轉(zhuǎn)換芯片的位數(shù)有限而產(chǎn)生的誤差，為平穩(wěn)隨機(jī)序列[3]，與MEMS陀螺儀的最小分辨率有關(guān)。角度隨機(jī)游走（N）與MEMS陀螺儀的有效帶寬有關(guān)，當(dāng)高頻噪聲高于采樣頻率時(shí)，對(duì)其輸出進(jìn)行積分，會(huì)造成角度隨機(jī)游走，是影響精度的主要誤差。零偏不穩(wěn)定性（B）是由于電子或其他器件受隨機(jī)抖動(dòng)的影響而產(chǎn)生的誤差。角速率隨機(jī)游走（K）和速率斜坡（R）是對(duì)隨機(jī)誤差進(jìn)行PSD分析的結(jié)果，原因不明[1，4-5]。

根據(jù)文獻(xiàn)[2]和上述分析，最終確立的MEMS陀螺儀的隨機(jī)誤差模型如圖1所示。

圖1 MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差模型Fig.1 MEMS gyroscope random error model

其中：TS為采樣間隔時(shí)間；1/s為積分環(huán)節(jié)。

由圖1可以看出，只要能辨識(shí)出這些誤差項(xiàng)，然后根據(jù)觀測(cè)的角速度輸出值，就可以反推出角速度的真值。

2 ALLAN方差法辨識(shí)誤差項(xiàng)

2.1 Allan方差的定義及與MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差項(xiàng)的關(guān)系

Allan方差法是1966年David Allan提出的一種基于時(shí)域的方差分析方法，其核心思想是通過觀測(cè)不同時(shí)間段上的樣本方差來辨識(shí)不同的隨機(jī)誤差項(xiàng)。采用數(shù)據(jù)集（Data Cluster）的概念，將長度為N的數(shù)據(jù)ω按照不同的時(shí)間間隔劃分出一段段數(shù)據(jù)子集 ωj（j=1，…M，M＜N/2。 至少為 2 段），求出每段數(shù)據(jù)子集的均值E（ωj）和相鄰子集的方差。計(jì)算過程為[1]

其中，σ2（τ）為平均時(shí)間上的Allan方差。在對(duì)數(shù)-對(duì)數(shù)（log-log）曲線上表示。MEMS陀螺儀典型的隨機(jī)誤差項(xiàng)系數(shù)與Allan方差的關(guān)系[1-2]如表1[6]所示。

表1 MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差項(xiàng)對(duì)應(yīng)的Allan方差計(jì)算公式Tab.1 Correspondence calculation formula between MEMS gyroscope random error terms and Allan variance

對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)-對(duì)數(shù)曲線圖如圖2所示。

圖2 MEMS隨機(jī)誤差項(xiàng)在Allan對(duì)數(shù)-對(duì)數(shù)曲線圖上的關(guān)系Fig.2 Match of MEMS random error terms in Allan log-log graph

2.2 MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差項(xiàng)系數(shù)的計(jì)算方法

由2.1節(jié)可知，MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差項(xiàng)對(duì)應(yīng)的Allan方差為

可以采用最小二乘法求出各個(gè)誤差項(xiàng)系數(shù)。求出系數(shù)矩陣A后，便可利用式（2）得到MEMS陀螺儀的隨機(jī)誤差項(xiàng)系數(shù)。

3 MEMS陀螺儀的誤差方程

3.1 MEMS陀螺儀的主要影響誤差項(xiàng)

對(duì)挪威Sensor公司STIM202 MEMS陀螺儀Z軸進(jìn)行Allan方差法隨機(jī)誤差項(xiàng)的辨識(shí)。

首先對(duì)其進(jìn)行3 h的數(shù)據(jù)采集并進(jìn)行確定性誤差補(bǔ)償，采樣速率為100 Hz，即采樣時(shí)間間隔TS=0.01 s，然后按照第2節(jié)中介紹的方法計(jì)算Allan方差項(xiàng)，其結(jié)果如圖3所示。

圖3 STIM202Z軸Allan方差圖Fig.3 STIM202 Z axis Allan variance chart

其中：粗線表示原始數(shù)據(jù)的Allan方差；細(xì)線表示對(duì)其進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果，擬合后的曲線斜率集中在-1/2和1/2兩部分。

對(duì)比表1和圖2，由圖4可以看出，對(duì)MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差影響較大的誤差項(xiàng)為角度隨機(jī)游走和角速率隨機(jī)游走。零偏不穩(wěn)定性的影響較小。其中角度隨機(jī)游走的影響主要集中在短平均時(shí)間（零至幾十秒）內(nèi)，這段曲線的漸近線斜率為-1/2，然后在100 s左右經(jīng)過零偏不穩(wěn)定性的最低點(diǎn)，以后的主要影響因素則為角速率隨機(jī)游走，其漸近線斜率為1/2。

因此，MEMS陀螺儀的主要隨機(jī)誤差項(xiàng)為角度隨機(jī)游走和角速率隨機(jī)游走。二者之和構(gòu)成MEMS陀螺儀的主要隨機(jī)誤差。參考文獻(xiàn)[7]可以將二者看作是零均值的高斯白噪聲。同時(shí)考慮到零偏不穩(wěn)定性的因素，將圖1的MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差模型簡化為如圖4所示。

3.2 MEMS陀螺儀的隨機(jī)誤差模型

圖4 MEMS陀螺儀隨機(jī)誤差簡化圖Fig.4 Simplified diagram of MEMS gyroscope random error

由于零偏不穩(wěn)定性的量綱和輸出角速度的量綱一致，可以認(rèn)為其在微觀領(lǐng)域的采樣間隔內(nèi)為一常值，因此，重點(diǎn)分析角度隨機(jī)游走和角速率隨機(jī)游走的誤差模型。由3.1節(jié)的分析和圖4，并參考文獻(xiàn)[7]，可以得到MEMS陀螺儀的隨機(jī)誤差方程為

其中：Δ（t）為隨機(jī)誤差；d（t）為角速率隨機(jī)游走轉(zhuǎn)化為角速度的大小，其導(dǎo)數(shù)為角速率隨機(jī)游走；ωN（t）和ωK（t）分別為角度隨機(jī)游走和角速率隨機(jī)游走。由文獻(xiàn)[7]可以知道 ωN（t）和 ωK（t）可以看作零均值的高斯白噪聲，其標(biāo)準(zhǔn)差為角度隨機(jī)游走系數(shù)N和角速率隨機(jī)游走系數(shù)K。上述值可以通過Allan方差法得到。

由于采集到的是離散數(shù)據(jù)，故需要對(duì)式（3）進(jìn)行離散化，設(shè)采樣頻率為TS，則隨機(jī)誤差的離散形式表達(dá)式為

其中：

其方差分別為 N2/TS和 K2TS[7]，其量綱為（（°）/h）2?？梢钥闯觯嵌入S機(jī)游走隨著時(shí)間的增加，影響越來越弱，角速率隨機(jī)游走隨著時(shí)間的增加，影響越來越強(qiáng)。這與進(jìn)行數(shù)據(jù)分析得到的結(jié)果是一致的。

4 Kalman濾波器設(shè)計(jì)

4.1 Kalman濾波方程的建立

Kalman濾波的核心思想是利用觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)狀態(tài)變量的估計(jì)做修正，以得到狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)。因此需要對(duì)系統(tǒng)建立狀態(tài)方程和觀測(cè)方程[8-10]。

可以將經(jīng)過確定性誤差（動(dòng)態(tài)誤差和靜態(tài)補(bǔ)償）補(bǔ)償后測(cè)量的角速度信息分成2部分，真值和隨機(jī)誤差值。即：

由式（4）和式（5），可以將ω真和 D 作為狀態(tài)量，將ω輸出作為觀測(cè)量，可得Kalman方程為

這個(gè)方程將零偏不穩(wěn)定性、角速率隨機(jī)游走作為狀態(tài)噪聲，設(shè)其協(xié)方差陣為Q，將角度隨機(jī)游走作為觀測(cè)噪聲，設(shè)其協(xié)方差陣為R。根據(jù)3.2節(jié)的分析，可以得到Q和R的值為

4.2 濾波遞推公式

Kalman濾波目的是使真值與估計(jì)值的均方差最小。其濾波遞推公式為

狀態(tài)一步預(yù)測(cè)：

協(xié)方差一步預(yù)測(cè)：

更新增益方程：

更新狀態(tài)估計(jì)：

更新協(xié)方差陣：

5 結(jié)果分析

以STIM202 Z軸為例，其采集的原始數(shù)據(jù)信號(hào)經(jīng)過確定性誤差補(bǔ)償后如圖5所示。

圖5 STIM202經(jīng)確定性誤差補(bǔ)償后的數(shù)據(jù)Fig.5 STIM202 data after uncertainty error compensation

其Allan方差辨識(shí)的誤差項(xiàng)結(jié)果如表2所示。

表2 Allan方差辨識(shí)誤差項(xiàng)結(jié)果Tab.2 Allan variance error terms results

選取狀態(tài)變量初值為：［1，0］T，初始的協(xié)方差矩陣為

Q和R的取值參考4.1節(jié)，按照4.2節(jié)中的介紹進(jìn)行迭代，最終的輸出結(jié)果如圖6所示。

圖6 Kalman濾波結(jié)果Fig.6 Kalman filtering results

若選取初始值為［Y（1，1），0］T，即狀態(tài)量和觀測(cè)值一致，則濾波結(jié)果如圖7所示。

由圖6和圖7可以看出，這種濾波方式能較快地收斂跟蹤。濾波前后的方差和均值如表3所示。

由表3可以看出，濾波后數(shù)據(jù)的均值基本不變，而方差得到明顯改善。

圖7 Kalman濾波結(jié)果Fig.7 Comparison with the original value

表3 濾波前后均值和方差比較Tab.3 Comparison of mean and variance value with before and after filtering

對(duì)本文提出的方法進(jìn)行了轉(zhuǎn)臺(tái)驗(yàn)證，在勻速和變速的情況下利用此算法對(duì)陀螺儀的輸出進(jìn)行了隨機(jī)誤差濾波，其結(jié)果如圖8和圖9所示。

圖8 在-6.3096°/s的轉(zhuǎn)速下輸出結(jié)果Fig.8 Result in speed-6.3096°/s

圖9 變速運(yùn)動(dòng)下輸出結(jié)果Fig.9 Result in Shift movement

可見，算法能夠及時(shí)準(zhǔn)確地跟蹤不同狀態(tài)下的陀螺儀數(shù)據(jù)，能夠有效地濾除隨機(jī)誤差的影響。

6 結(jié)語

本文通過對(duì)MEMS隨機(jī)誤差項(xiàng)的分析，得出了一種利用Allan方差辨識(shí)的誤差項(xiàng)進(jìn)行誤差補(bǔ)償?shù)姆椒ǎ诖嘶A(chǔ)上建立了濾波方程，并對(duì)STIM202 MEMS陀螺儀進(jìn)行隨機(jī)誤差濾除。結(jié)果證明該方法能有效跟蹤和濾除隨機(jī)誤差，經(jīng)濾除后的均值基本不變，方差減小2個(gè)數(shù)量級(jí)，有效地濾除了隨機(jī)誤差的影響。此種方法可往其他慣性器件如光纖陀螺儀、激光陀螺儀等推廣，以提高慣性器件的器件級(jí)精度。

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