徐曉東

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：第三學(xué)段（7—9年級）的“空間與圖形”包括四個方面的內(nèi)容：圖形的認(rèn)識，圖形與變換，圖形與坐標(biāo)，圖形與證明。它們都是圍繞圖形和空間的問題展開，既有內(nèi)在的聯(lián)系，又有各自的特點和側(cè)重。第一，要準(zhǔn)確把握“圖形的認(rèn)識”各部分內(nèi)容的要求，探索圖形的基本性質(zhì)及其相互關(guān)系，進(jìn)一步豐富對空間圖形的認(rèn)識和感受；第二，要恰當(dāng)把握“圖形與變換”的具體目標(biāo)和要求，學(xué)習(xí)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的基本性質(zhì)，欣賞并體驗變換在現(xiàn)實生活中的廣泛應(yīng)用；第三，要準(zhǔn)確定位“圖形與坐標(biāo)”的具體要求，學(xué)習(xí)運(yùn)用坐標(biāo)系確定物體位置的方法，發(fā)展空間觀念；第四，要正確理解“圖形與證明”的具體目標(biāo)，在探索圖形性質(zhì)、與他人合作交流等活動中，發(fā)展合情推理，進(jìn)一步學(xué)習(xí)有條理地思考與表達(dá)，體會和理解證明的必要性，把握好“證明”的范圍和要求，掌握用綜合法證明的格式。

眾所周知，“空間與圖形”包含四個方面：圖形的認(rèn)識，圖形與變換，圖形與坐標(biāo)，圖形與證明。但從課改卷中可以意識到重點在“圖形的認(rèn)識”和“圖形與變換”以及“圖形與坐標(biāo)”。而“圖形與證明”在《課標(biāo)》中的要求有較大的調(diào)整，主要包括加強(qiáng)合情推理，降低演繹推理的難度和數(shù)量，強(qiáng)調(diào)“理解證明的必要性”，以及“言之有理、落筆有據(jù)”，掌握綜合法證明的格式，初步感受公理化思想。因而，“圖形與證明”不作專題分析。特此說明！

一、圖形的認(rèn)識

考點1：角、相交線與平行線

精析考點：本考點涉及的對象是“空間與圖形”中最簡單的平面圖形——點、線、面和角以及平行、垂直關(guān)系，主要包括線段、射線、直線和角（補(bǔ)角、余角、對頂角）的有關(guān)概念及其表示法、垂線的有關(guān)性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和判定等。本部分內(nèi)容對整個空間與圖形起到奠基作用。

把握方向：本考點的概念和有關(guān)性質(zhì)較多，其中，線與角是初中平面幾何的基礎(chǔ)知識，是課標(biāo)規(guī)定的“雙基”；相交線與平行線是歷年中考常見的考點，通常以填空題或選擇題的形式考查。利用“垂線段最短”解決實際問題是重點，特別是近兩年課改卷中出現(xiàn)了探索型的題目，務(wù)必引起關(guān)注。

精典例題：光線以如圖1-1所示的角度α照射以平面鏡Ⅰ上，然后在平面鏡Ⅰ、Ⅱ之間來回反射，已知∠α=600，∠β=500，則∠γ= 。

考點2：三角形

精析考點：本考點的內(nèi)容是“空間與圖形”中直線型部分最重要的內(nèi)容之一，主要內(nèi)容有運(yùn)用三角形三邊關(guān)系、全等三角形的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形（含等邊三角形）、直角三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及逆定理等進(jìn)行簡單的計算或證明?？v觀近幾年全國課改實驗區(qū)的中考試題，探索性的試題和從豐富的現(xiàn)實生活情境中抽象出三角形、全等形來解決實際問題的題型增多。

把握方向：三角形是本考點考查的重要內(nèi)容之一，除注重考查相關(guān)的基礎(chǔ)知識外，也有綜合性較強(qiáng)的大題出現(xiàn)。值得關(guān)注的是，在近幾年課改卷中，三角形的運(yùn)動、折疊、平移、旋轉(zhuǎn)（如兩塊直角三角板的平移、旋轉(zhuǎn)）、拼接形成新的數(shù)學(xué)問題等操作性、探索性題型比例將逐漸增多。

精典例題：

1.如圖2-1，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。

請你參考這個做全等三角形的方法，解答下列問題：

（1）如圖2-2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=600，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2-3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，請問，你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

2.如圖3-1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起，現(xiàn)正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O（點O也是BD中點）按順時針方向旋轉(zhuǎn)。

（1）如圖3-2，當(dāng)EF與AB相交于點M，GF與BD相交于點N時，通過觀察或測量BM、FN的長度，猜想BM、FN滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想。

（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖3-3所示的位置時，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點M，線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N，此時，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

考點3：四邊形

精析考點：四邊形這一考點在新課標(biāo)中內(nèi)容變化不大，除等腰梯形要求略有降低外，其他內(nèi)容要求沒有多大改變，從整體上來看比以前更為重要。在2006年的全國各地課改實驗區(qū)的中考試題中，涉及四邊形的考查以證明、計算、小綜合題稍偏多。重點考查平行四邊形的性質(zhì)和判定；矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定；梯形、等腰梯形、直角梯形的概念；直角梯形的性質(zhì)和判定以及三角形的中位線定理。

把握方向：在新課標(biāo)中由于圓部分知識點的難度逐漸削減，四邊形的重要性日益凸現(xiàn)出來。中考中對平行四邊形的考查大多結(jié)合三角形知識進(jìn)行考查；利用特殊四邊形的面積公式解決一類與面積有關(guān)的幾何問題（應(yīng)用問題）；考查由過去單一的證明演變?yōu)樽C明與計算的綜合運(yùn)用，也有不少地方出現(xiàn)了特殊四邊形的折疊與旋轉(zhuǎn)性的問題，以及與函數(shù)問題結(jié)合的壓軸問題。題型有填空題、選擇題，更多以計算、證明或小綜合的解答題以及探索性、幾何動態(tài)形式出現(xiàn)。其中平行四邊形、等腰梯形、矩形、菱形的性質(zhì)考查居多，特別關(guān)注圖形的平移、折疊、旋轉(zhuǎn)等類型的試題。

精典例題：如圖4-①，在正方形ABCD中，點E、F分別為邊BC、CD的中點，AF、DE相交于點G，則可得結(jié)論：①AF=DE；②AF⊥DE。（不需要證明）

（1）如圖4-②，若點E、F不是正方形ABCD的邊BC、CD的中點，但滿足CE=DF.則上面的結(jié)論①、②是否仍然成立？（請直接回答“成立”或“不成立”）endprint

（2）如圖4-③，若點E、F分別在正方形ABCD的邊CP的延長線和DC的延長線上，且CE=DF，此時上面的結(jié)論①、②是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

（3）如圖4-④，在（2）的基礎(chǔ)上，連接AE和EF，A若點M、N、P、Q分別為AE、EF、FD、AD的中點，請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一種？并寫出證明過程。

考點4：圓

精析考點：“圓”這一章新課標(biāo)中改動較大：縮減了課時，淡化了證明，刪除了相交弦定理、弦切角定理、圓冪定理及正多邊形有關(guān)概念和結(jié)論，圓和圓的位置關(guān)系僅剩基本概念；重點考查對圓的基本概念、基本性質(zhì)的理解及運(yùn)用，特別是垂徑定理及推論、圓周角定理及推論的運(yùn)用，更注重圖形的變換、探索與應(yīng)用，強(qiáng)化了弧長和扇形面積的計算（包括圓柱、圓錐側(cè)面積和全面積的計算）；從2007年全國各地中考課改卷中“圓”的要求有所降低。因此，在“圓”這一章的復(fù)習(xí)中，要按新課標(biāo)的要求進(jìn)行有針對性的復(fù)習(xí).

把握方向：綜合運(yùn)用有關(guān)知識，重計算、重應(yīng)用的題目出現(xiàn)較多，而證明題逐漸變少，如需證明也常常放在第（1）問，難度較低；而對圓的綜合考查偏重于計算型與探索型的開放題。圓與三角形、四邊形、函數(shù)、方程、不等式相結(jié)合，且各種形式相互轉(zhuǎn)化的問題已成為新題型的主要考查方向，其中直線與圓的位置關(guān)系的開放題、探索題等題型值得關(guān)注。

圓與圓的五種位置關(guān)系有關(guān)證明要求不高，涉及圓與圓的題目難度逐步降低。弧長和扇形面積的計算問題較多而難度不大，主要偏重生活中的應(yīng)用。

精典例題：1.如圖5，已知在⊙O中，直徑MN=10，正方形ABCD的四個頂點分別在半徑OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=450，則AB的長為 。

2.如圖6，已知等邊△ABC，以邊BC為直徑的半圓與邊AB、AC分別交于點D、點E。過點D作DF⊥AC，垂足為點F。

（1）判斷DF與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

（2）過點F作FH⊥BC，垂足為點H。若等邊△ABC的邊長為4，求FH的長（結(jié)果保留根號）。

考點5：視圖與投影

精析考點：視圖與投影是新課標(biāo)增加的內(nèi)容，與其他內(nèi)容相比，課標(biāo)確定的目標(biāo)難度不大卻與生活緊密聯(lián)系，因此受到全體學(xué)生的歡迎，此類題目若稍作深挖則會偏難。本考點的重點是能識別和會畫簡單幾何體的三視圖，并能應(yīng)用中心投影與平行投影的概念解決有關(guān)實際問題。

把握方向：這一部分內(nèi)容充滿了趣味性，是近幾年全國各地中考命題的熱點，已經(jīng)有中檔題目出現(xiàn)，而且在試題中的分量逐年上升，但難度估計會控制在中等以下。

精典例題：1.如圖7-①是一個正方形毛坯，將其沿一組對面的對角線切去一半，得到一個工件如圖12-②，對于這個工件，左視圖、俯視圖正確的一組是（ ）

A.a、b B.b、c C.a、c D.a、d

2.如圖8是一個長8m、寬和高5m的倉庫，在其內(nèi)壁的A（長的四等分點）處有一只壁虎，B（寬的三等分點）處有一只蚊子，則壁虎爬到蚊子處的最短距離為 m。

二、圖形與變換

考點6：圖形的軸對稱

精析考點：對稱是數(shù)學(xué)中的重要概念，生活中的對稱現(xiàn)象無處不在。新課標(biāo)關(guān)注基本圖形的對稱性及其相關(guān)性質(zhì)，要正確理解軸對稱與軸對稱圖形的聯(lián)系和區(qū)別，掌握軸對稱圖形的性質(zhì)，能根據(jù)要求正確地做出軸對稱圖形，并能利用軸對稱性質(zhì)進(jìn)行簡單的圖案設(shè)計；要注重生活中的軸對稱圖形的研究，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在生活中的實際運(yùn)用。

把握方向：對稱的重要性，決定了該內(nèi)容的重要地位。近幾年來，各地中考命題更加注重對稱與實際生活的聯(lián)系，考查的分值也逐年增加；主要以選擇題、填空題和動手操作題等題型出現(xiàn)，內(nèi)容以圖形欣賞、設(shè)計（畫圖）與探索、剪貼、折疊及利用對稱的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行簡單計算與證明為主。

精典例題：將一張紙片沿任一方向翻折，得到折痕AB（如圖9-1）；再翻折一次，得到折痕OC（如圖9-2）；翻折使OA與OC重合，得到折痕OD（如圖9-3）；最后翻折使OB與OC重合，得到折痕OE（如圖9-4）。展開恢復(fù)成圖1形狀，則∠DOE的大小是 度。

考點7：圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

精析考點：圖形的平移與旋轉(zhuǎn)的這一部分內(nèi)容是課標(biāo)新增內(nèi)容（如圖形旋轉(zhuǎn)），還有一部分（如坐標(biāo)與圖形平移）的內(nèi)容，是原來人教版教科書沒有的知識點.作為一個基本的知識點，多數(shù)以單獨成題，具有一定的靈活性，受到目前中考命題者的青睞。

把握方向：作為一個新的知識點，試卷的難度不大。從現(xiàn)有的課改區(qū)中考數(shù)學(xué)試題中可以看到，涉及這個考點的內(nèi)容多以選擇、填空出現(xiàn)；要注重對網(wǎng)格或坐標(biāo)內(nèi)圖形的變換試題的研究，熟練掌握其常用的解題方法，試題本身不難，但對于學(xué)生分析、觀察圖形能力還是有一定的要求；特別要關(guān)注圖形與變換的創(chuàng)新題，弄清其本質(zhì)，掌握其基本解題方法，如動手操作法、折疊法、旋轉(zhuǎn)法等。

精典例題：1.如圖10，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=450，AB=10cm，CD=4cm。等腰直角三角形PMN的斜邊MN=10cm，A點與N點重合，MN和AB在一條直線上，設(shè)等腰梯形ABCD不動，等腰直角三角形PMN沿AB所在直線以1cm/s的速度向右移動，直到點N與點B重合為止。

（1）等腰直角三角形PMN在整個移動過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由 形變化為 形。

（2）設(shè)當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳MN移動x（s）時，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積為y（cm2），求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式。

（3）x=4（s），求等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積。

2.如圖11-1所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB=900，AC=8，BC=6。沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成△AC1D1和△BC2D2兩個三角形（如圖11-2所示），將紙片△AC1D1沿直線D2B（AB）方向平移（點A、D1、D2、B始終在一條直線上），當(dāng)點D1與點B重合時，停止平移。在平移的過程中，C1D1與BC2交于點E，AC1與C2D2、BC2分別交于點F、P。endprint

（1）當(dāng)△AC1D1平移到如圖11-3所示的位置時，猜想圖中D1E與D2F的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想。

（2）設(shè)平移距離D2D1為x，△AC1D1與△BC2D2重疊部分的面積為y，請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量x的取值范圍。

（3）對于（2）中結(jié)論是否存在這樣的x，使得重疊部分面積等于原△ABC紙片面積的 ？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由。

考點8：圖形的相似

精析考點：圖形的相似是一個傳統(tǒng)考點，新教材中加強(qiáng)了位似、黃金分割等內(nèi)容，降低了證明的要求，又把銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識點結(jié)合在一起，形成了一些新的變化。該內(nèi)容的概念、性質(zhì)、結(jié)論較多，要求學(xué)生結(jié)合圖形理解知識的來龍去脈，形成一定的體系，并能靈活運(yùn)用圖形的相似解決一些實際問題如利用相似測量旗桿或建筑物的高度）。

把握方向：本節(jié)的概念、性質(zhì)、定理都是研究相似形的理論基礎(chǔ)，在中考試卷中有一定的分量，是平面幾何中極為重要的內(nèi)容，是中考的重點考查內(nèi)容之一，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，重在基礎(chǔ)。利用圖形的相似解決一些實際問題，并進(jìn)行一些簡單的計算和證明。專門考查相似形和三角函數(shù)的解答題不是很多，但主要在綜合題中以探究性、開放性的形式出現(xiàn)，題型新穎，應(yīng)用廣泛，常與圓、三角形、四邊形、函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查，分值較大。

精典例題：1.在△ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中點，過點D作直線l，使截得的三角形與原三角形相似，這樣的直線l有 條。

2.如圖12，學(xué)習(xí)小組選一名身高CD為1.6m的同學(xué)直立于旗桿AB影子的頂端F處，其他人分為兩部分，一部分同學(xué)測量出該同學(xué)的影長DE為1.2m，另一部分同學(xué)測量同一時刻旗桿的影長BF為9m，那么該旗桿AB的高度是 m。

三、圖形與坐標(biāo)

考點9：圖形與坐標(biāo)

精析考點：圖形與坐標(biāo)是新教材加強(qiáng)的地方，淡化了坐標(biāo)的代數(shù)性質(zhì)，強(qiáng)調(diào)了坐標(biāo)與圖形的聯(lián)系，形式多樣，一般不難。

把握方向：“圖形與坐標(biāo)”的內(nèi)容中，強(qiáng)調(diào)運(yùn)用坐標(biāo)系確定物體位置，感受圖形變換后點坐標(biāo)的變化。作為中考內(nèi)容，以選擇題、填空題、作圖題等題型出現(xiàn)較多，且與平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等相結(jié)合，重點考查平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)特征，難度不大，最高只達(dá)到小綜合。

精典例題：如圖13，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的頂點A、B、D的坐標(biāo)分別是（0，0），（5，0）， （2，3），則頂點C的坐標(biāo)是（ ）。

A.（3，7） B.（5，3） C.（7，3） D.（8，2）

四、綜合應(yīng)用

考點10：空間與圖形綜合

精析考點：新教材中的“幾何”被改稱“空間與圖形”，“幾何”拓展為“空間與圖形”是數(shù)學(xué)課程改革的一種國際趨勢。“空間與圖形”與過去初中幾何相比更加強(qiáng)調(diào)了變換，同時把坐標(biāo)從代數(shù)移入到這里。

把握方向：新教材以“圖形的認(rèn)識、圖形與變換、圖形與坐標(biāo)、圖形與證明”等四條線索展開，增加了圖形變換、位置的確定、視圖與投影等內(nèi)容。

新教材注重對證明的理解，不追求證明的數(shù)量和技巧。減少了定理的數(shù)量，削弱了定理的證明，淡化了證明的技巧，降低了證明的難度，刪去了大量繁難的幾何證明題。

這種新的觀念必將深刻地影響“空間與圖形”的命題，改變傳統(tǒng)的命題方式和內(nèi)容，應(yīng)重點關(guān)注“觀察歸納型、實驗操作型、開放探究型、閱讀理解型、方案設(shè)計與決策型”的題型。注重平移、旋轉(zhuǎn)、折疊（軸對稱）等題型的變換問題。

精典例題：已知，將一幅三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如圖14-1擺放，點E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點。將Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)α即∠BCE=α0（00<α<900），在旋轉(zhuǎn)過程中，直線DE、AC相交于點M，直線DF、BC相交于點N，分別過點M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H。

（1）當(dāng)α=300時（如圖14-2），求證：AG=DH。

（2）當(dāng)α=600時（如圖14-3），（1）中的結(jié)論是否成立？請寫出你的結(jié)論，并說明理由。

（3）當(dāng)00<α<900時，（1）中的結(jié)論是否成立？請寫出你的結(jié)論，并根據(jù)圖14-4說明理由。

五、變式訓(xùn)練，輕松備考

眾所周知，近幾年，隨著新課程改革的不斷深入，逐步推廣和實施《新課程標(biāo)準(zhǔn)》，在全國各地的中考試卷中，都將出現(xiàn)大量具有銳意進(jìn)取、推陳創(chuàng)新、充滿時代氣息的好試題。其構(gòu)造新穎、構(gòu)思精細(xì)、設(shè)計巧妙、令人敬佩。難道這么多的好試題是命題者憑空想象出來的嗎？顯然不是。那么他們是如何經(jīng)過巧妙的構(gòu)思而設(shè)計出新穎的好試題呢？其實，命題者就是通過變化習(xí)題中圖形的形狀、大小、位置關(guān)系而設(shè)計出一些具有特色的新試題。

變式訓(xùn)練一般有以下五種方法：變換原命題的題設(shè)與結(jié)論。②變換圖形、探究數(shù)量間的關(guān)系。③變換圖形、探究規(guī)律問題。④變換圖形、探究變量間的函數(shù)關(guān)系。⑤將習(xí)題變式、整合、改造與創(chuàng)新。

精典例題：如圖15（甲）是邊長分別為6 cm和3cm的兩個等邊三角形紙片ABC和DEF疊放在一起C（C與D重合）。

（1）操作：固定△ABC，將△DEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)300得到△DEF連接AF/、BE/，CE/的延長線交AB與C。（圖15乙）

探究：在圖15（乙）中，線段BE/與AF/之間有何等量關(guān)系？并證明你的猜想。

（2）操作：將圖15（乙）中的△DE/F/，在線段CG上沿著CG方向以每秒1cm的速度平移，平移后的三角形設(shè)△PQR。（圖15丙）

探究：設(shè)△PQR移動的時間為x秒，△PQR與△ABC重疊部分的面積為y，

求y與x之間的函數(shù)解析式；并寫出函數(shù)自變量x的取值范圍。

（3）操作：圖15（甲）中△DEF固定，先將△ABC向左平移2cm，然后將△ABC繞C點按順時針方向旋轉(zhuǎn)α即（ ），其中邊BC交EF于點M，邊AC交DF于點。（圖15?。?/p>

探究：在圖15（丁）中，線段DN·EM的值是否隨α的變化而變化？如果沒有變化，請你求出DN·EM的值；如果有變化，請說明理由。

中考新試題的出現(xiàn)，并不是無源之水，無本之木。其根源就在課內(nèi)，源于教材而變于教材。只要我們認(rèn)真學(xué)習(xí)教材，探究教材，鉆研教材的深度和廣度，歸類收集和整理全國各地課改實驗區(qū)的中考試題，強(qiáng)化習(xí)題的多種變式訓(xùn)練，了解習(xí)題變式之間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握例題、習(xí)題、試題的變化方法，探究它們的變化規(guī)律，就能跳出題海，舉一反三，取得事半功倍的顯著效果。

（作者單位：江蘇溧陽市實驗初級中學(xué)）endprint

（1）當(dāng)△AC1D1平移到如圖11-3所示的位置時，猜想圖中D1E與D2F的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想。

（2）設(shè)平移距離D2D1為x，△AC1D1與△BC2D2重疊部分的面積為y，請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量x的取值范圍。

（3）對于（2）中結(jié)論是否存在這樣的x，使得重疊部分面積等于原△ABC紙片面積的 ？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由。

考點8：圖形的相似

精析考點：圖形的相似是一個傳統(tǒng)考點，新教材中加強(qiáng)了位似、黃金分割等內(nèi)容，降低了證明的要求，又把銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識點結(jié)合在一起，形成了一些新的變化。該內(nèi)容的概念、性質(zhì)、結(jié)論較多，要求學(xué)生結(jié)合圖形理解知識的來龍去脈，形成一定的體系，并能靈活運(yùn)用圖形的相似解決一些實際問題如利用相似測量旗桿或建筑物的高度）。

把握方向：本節(jié)的概念、性質(zhì)、定理都是研究相似形的理論基礎(chǔ)，在中考試卷中有一定的分量，是平面幾何中極為重要的內(nèi)容，是中考的重點考查內(nèi)容之一，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，重在基礎(chǔ)。利用圖形的相似解決一些實際問題，并進(jìn)行一些簡單的計算和證明。專門考查相似形和三角函數(shù)的解答題不是很多，但主要在綜合題中以探究性、開放性的形式出現(xiàn)，題型新穎，應(yīng)用廣泛，常與圓、三角形、四邊形、函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查，分值較大。

精典例題：1.在△ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中點，過點D作直線l，使截得的三角形與原三角形相似，這樣的直線l有 條。

2.如圖12，學(xué)習(xí)小組選一名身高CD為1.6m的同學(xué)直立于旗桿AB影子的頂端F處，其他人分為兩部分，一部分同學(xué)測量出該同學(xué)的影長DE為1.2m，另一部分同學(xué)測量同一時刻旗桿的影長BF為9m，那么該旗桿AB的高度是 m。

三、圖形與坐標(biāo)

考點9：圖形與坐標(biāo)

精析考點：圖形與坐標(biāo)是新教材加強(qiáng)的地方，淡化了坐標(biāo)的代數(shù)性質(zhì)，強(qiáng)調(diào)了坐標(biāo)與圖形的聯(lián)系，形式多樣，一般不難。

把握方向：“圖形與坐標(biāo)”的內(nèi)容中，強(qiáng)調(diào)運(yùn)用坐標(biāo)系確定物體位置，感受圖形變換后點坐標(biāo)的變化。作為中考內(nèi)容，以選擇題、填空題、作圖題等題型出現(xiàn)較多，且與平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等相結(jié)合，重點考查平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)特征，難度不大，最高只達(dá)到小綜合。

精典例題：如圖13，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的頂點A、B、D的坐標(biāo)分別是（0，0），（5，0）， （2，3），則頂點C的坐標(biāo)是（ ）。

A.（3，7） B.（5，3） C.（7，3） D.（8，2）

四、綜合應(yīng)用

考點10：空間與圖形綜合

精析考點：新教材中的“幾何”被改稱“空間與圖形”，“幾何”拓展為“空間與圖形”是數(shù)學(xué)課程改革的一種國際趨勢?！翱臻g與圖形”與過去初中幾何相比更加強(qiáng)調(diào)了變換，同時把坐標(biāo)從代數(shù)移入到這里。

把握方向：新教材以“圖形的認(rèn)識、圖形與變換、圖形與坐標(biāo)、圖形與證明”等四條線索展開，增加了圖形變換、位置的確定、視圖與投影等內(nèi)容。

新教材注重對證明的理解，不追求證明的數(shù)量和技巧。減少了定理的數(shù)量，削弱了定理的證明，淡化了證明的技巧，降低了證明的難度，刪去了大量繁難的幾何證明題。

這種新的觀念必將深刻地影響“空間與圖形”的命題，改變傳統(tǒng)的命題方式和內(nèi)容，應(yīng)重點關(guān)注“觀察歸納型、實驗操作型、開放探究型、閱讀理解型、方案設(shè)計與決策型”的題型。注重平移、旋轉(zhuǎn)、折疊（軸對稱）等題型的變換問題。

精典例題：已知，將一幅三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如圖14-1擺放，點E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點。將Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)α即∠BCE=α0（00<α<900），在旋轉(zhuǎn)過程中，直線DE、AC相交于點M，直線DF、BC相交于點N，分別過點M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H。

（1）當(dāng)α=300時（如圖14-2），求證：AG=DH。

（2）當(dāng)α=600時（如圖14-3），（1）中的結(jié)論是否成立？請寫出你的結(jié)論，并說明理由。

（3）當(dāng)00<α<900時，（1）中的結(jié)論是否成立？請寫出你的結(jié)論，并根據(jù)圖14-4說明理由。

五、變式訓(xùn)練，輕松備考

眾所周知，近幾年，隨著新課程改革的不斷深入，逐步推廣和實施《新課程標(biāo)準(zhǔn)》，在全國各地的中考試卷中，都將出現(xiàn)大量具有銳意進(jìn)取、推陳創(chuàng)新、充滿時代氣息的好試題。其構(gòu)造新穎、構(gòu)思精細(xì)、設(shè)計巧妙、令人敬佩。難道這么多的好試題是命題者憑空想象出來的嗎？顯然不是。那么他們是如何經(jīng)過巧妙的構(gòu)思而設(shè)計出新穎的好試題呢？其實，命題者就是通過變化習(xí)題中圖形的形狀、大小、位置關(guān)系而設(shè)計出一些具有特色的新試題。

變式訓(xùn)練一般有以下五種方法：變換原命題的題設(shè)與結(jié)論。②變換圖形、探究數(shù)量間的關(guān)系。③變換圖形、探究規(guī)律問題。④變換圖形、探究變量間的函數(shù)關(guān)系。⑤將習(xí)題變式、整合、改造與創(chuàng)新。

精典例題：如圖15（甲）是邊長分別為6 cm和3cm的兩個等邊三角形紙片ABC和DEF疊放在一起C（C與D重合）。

（1）操作：固定△ABC，將△DEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)300得到△DEF連接AF/、BE/，CE/的延長線交AB與C。（圖15乙）

探究：在圖15（乙）中，線段BE/與AF/之間有何等量關(guān)系？并證明你的猜想。

（2）操作：將圖15（乙）中的△DE/F/，在線段CG上沿著CG方向以每秒1cm的速度平移，平移后的三角形設(shè)△PQR。（圖15丙）

探究：設(shè)△PQR移動的時間為x秒，△PQR與△ABC重疊部分的面積為y，

求y與x之間的函數(shù)解析式；并寫出函數(shù)自變量x的取值范圍。

（3）操作：圖15（甲）中△DEF固定，先將△ABC向左平移2cm，然后將△ABC繞C點按順時針方向旋轉(zhuǎn)α即（ ），其中邊BC交EF于點M，邊AC交DF于點。（圖15?。?/p>

探究：在圖15（?。┲?，線段DN·EM的值是否隨α的變化而變化？如果沒有變化，請你求出DN·EM的值；如果有變化，請說明理由。

中考新試題的出現(xiàn)，并不是無源之水，無本之木。其根源就在課內(nèi)，源于教材而變于教材。只要我們認(rèn)真學(xué)習(xí)教材，探究教材，鉆研教材的深度和廣度，歸類收集和整理全國各地課改實驗區(qū)的中考試題，強(qiáng)化習(xí)題的多種變式訓(xùn)練，了解習(xí)題變式之間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握例題、習(xí)題、試題的變化方法，探究它們的變化規(guī)律，就能跳出題海，舉一反三，取得事半功倍的顯著效果。

（作者單位：江蘇溧陽市實驗初級中學(xué)）endprint

（1）當(dāng)△AC1D1平移到如圖11-3所示的位置時，猜想圖中D1E與D2F的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想。

（2）設(shè)平移距離D2D1為x，△AC1D1與△BC2D2重疊部分的面積為y，請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量x的取值范圍。

（3）對于（2）中結(jié)論是否存在這樣的x，使得重疊部分面積等于原△ABC紙片面積的 ？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由。

考點8：圖形的相似

精析考點：圖形的相似是一個傳統(tǒng)考點，新教材中加強(qiáng)了位似、黃金分割等內(nèi)容，降低了證明的要求，又把銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識點結(jié)合在一起，形成了一些新的變化。該內(nèi)容的概念、性質(zhì)、結(jié)論較多，要求學(xué)生結(jié)合圖形理解知識的來龍去脈，形成一定的體系，并能靈活運(yùn)用圖形的相似解決一些實際問題如利用相似測量旗桿或建筑物的高度）。

把握方向：本節(jié)的概念、性質(zhì)、定理都是研究相似形的理論基礎(chǔ)，在中考試卷中有一定的分量，是平面幾何中極為重要的內(nèi)容，是中考的重點考查內(nèi)容之一，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，重在基礎(chǔ)。利用圖形的相似解決一些實際問題，并進(jìn)行一些簡單的計算和證明。專門考查相似形和三角函數(shù)的解答題不是很多，但主要在綜合題中以探究性、開放性的形式出現(xiàn)，題型新穎，應(yīng)用廣泛，常與圓、三角形、四邊形、函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查，分值較大。

精典例題：1.在△ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中點，過點D作直線l，使截得的三角形與原三角形相似，這樣的直線l有 條。

2.如圖12，學(xué)習(xí)小組選一名身高CD為1.6m的同學(xué)直立于旗桿AB影子的頂端F處，其他人分為兩部分，一部分同學(xué)測量出該同學(xué)的影長DE為1.2m，另一部分同學(xué)測量同一時刻旗桿的影長BF為9m，那么該旗桿AB的高度是 m。

三、圖形與坐標(biāo)

考點9：圖形與坐標(biāo)

精析考點：圖形與坐標(biāo)是新教材加強(qiáng)的地方，淡化了坐標(biāo)的代數(shù)性質(zhì)，強(qiáng)調(diào)了坐標(biāo)與圖形的聯(lián)系，形式多樣，一般不難。

把握方向：“圖形與坐標(biāo)”的內(nèi)容中，強(qiáng)調(diào)運(yùn)用坐標(biāo)系確定物體位置，感受圖形變換后點坐標(biāo)的變化。作為中考內(nèi)容，以選擇題、填空題、作圖題等題型出現(xiàn)較多，且與平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等相結(jié)合，重點考查平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)特征，難度不大，最高只達(dá)到小綜合。

精典例題：如圖13，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的頂點A、B、D的坐標(biāo)分別是（0，0），（5，0）， （2，3），則頂點C的坐標(biāo)是（ ）。

A.（3，7） B.（5，3） C.（7，3） D.（8，2）

四、綜合應(yīng)用

考點10：空間與圖形綜合

精析考點：新教材中的“幾何”被改稱“空間與圖形”，“幾何”拓展為“空間與圖形”是數(shù)學(xué)課程改革的一種國際趨勢?！翱臻g與圖形”與過去初中幾何相比更加強(qiáng)調(diào)了變換，同時把坐標(biāo)從代數(shù)移入到這里。

把握方向：新教材以“圖形的認(rèn)識、圖形與變換、圖形與坐標(biāo)、圖形與證明”等四條線索展開，增加了圖形變換、位置的確定、視圖與投影等內(nèi)容。

新教材注重對證明的理解，不追求證明的數(shù)量和技巧。減少了定理的數(shù)量，削弱了定理的證明，淡化了證明的技巧，降低了證明的難度，刪去了大量繁難的幾何證明題。

這種新的觀念必將深刻地影響“空間與圖形”的命題，改變傳統(tǒng)的命題方式和內(nèi)容，應(yīng)重點關(guān)注“觀察歸納型、實驗操作型、開放探究型、閱讀理解型、方案設(shè)計與決策型”的題型。注重平移、旋轉(zhuǎn)、折疊（軸對稱）等題型的變換問題。

精典例題：已知，將一幅三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如圖14-1擺放，點E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點。將Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)α即∠BCE=α0（00<α<900），在旋轉(zhuǎn)過程中，直線DE、AC相交于點M，直線DF、BC相交于點N，分別過點M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H。

（1）當(dāng)α=300時（如圖14-2），求證：AG=DH。

（2）當(dāng)α=600時（如圖14-3），（1）中的結(jié)論是否成立？請寫出你的結(jié)論，并說明理由。

（3）當(dāng)00<α<900時，（1）中的結(jié)論是否成立？請寫出你的結(jié)論，并根據(jù)圖14-4說明理由。

五、變式訓(xùn)練，輕松備考

眾所周知，近幾年，隨著新課程改革的不斷深入，逐步推廣和實施《新課程標(biāo)準(zhǔn)》，在全國各地的中考試卷中，都將出現(xiàn)大量具有銳意進(jìn)取、推陳創(chuàng)新、充滿時代氣息的好試題。其構(gòu)造新穎、構(gòu)思精細(xì)、設(shè)計巧妙、令人敬佩。難道這么多的好試題是命題者憑空想象出來的嗎？顯然不是。那么他們是如何經(jīng)過巧妙的構(gòu)思而設(shè)計出新穎的好試題呢？其實，命題者就是通過變化習(xí)題中圖形的形狀、大小、位置關(guān)系而設(shè)計出一些具有特色的新試題。

變式訓(xùn)練一般有以下五種方法：變換原命題的題設(shè)與結(jié)論。②變換圖形、探究數(shù)量間的關(guān)系。③變換圖形、探究規(guī)律問題。④變換圖形、探究變量間的函數(shù)關(guān)系。⑤將習(xí)題變式、整合、改造與創(chuàng)新。

精典例題：如圖15（甲）是邊長分別為6 cm和3cm的兩個等邊三角形紙片ABC和DEF疊放在一起C（C與D重合）。

（1）操作：固定△ABC，將△DEF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)300得到△DEF連接AF/、BE/，CE/的延長線交AB與C。（圖15乙）

探究：在圖15（乙）中，線段BE/與AF/之間有何等量關(guān)系？并證明你的猜想。

（2）操作：將圖15（乙）中的△DE/F/，在線段CG上沿著CG方向以每秒1cm的速度平移，平移后的三角形設(shè)△PQR。（圖15丙）

探究：設(shè)△PQR移動的時間為x秒，△PQR與△ABC重疊部分的面積為y，

求y與x之間的函數(shù)解析式；并寫出函數(shù)自變量x的取值范圍。

（3）操作：圖15（甲）中△DEF固定，先將△ABC向左平移2cm，然后將△ABC繞C點按順時針方向旋轉(zhuǎn)α即（ ），其中邊BC交EF于點M，邊AC交DF于點。（圖15丁）

探究：在圖15（?。┲?，線段DN·EM的值是否隨α的變化而變化？如果沒有變化，請你求出DN·EM的值；如果有變化，請說明理由。

中考新試題的出現(xiàn)，并不是無源之水，無本之木。其根源就在課內(nèi)，源于教材而變于教材。只要我們認(rèn)真學(xué)習(xí)教材，探究教材，鉆研教材的深度和廣度，歸類收集和整理全國各地課改實驗區(qū)的中考試題，強(qiáng)化習(xí)題的多種變式訓(xùn)練，了解習(xí)題變式之間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握例題、習(xí)題、試題的變化方法，探究它們的變化規(guī)律，就能跳出題海，舉一反三，取得事半功倍的顯著效果。

（作者單位：江蘇溧陽市實驗初級中學(xué)）endprint