虞志堅(jiān)

（臺(tái)州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）

關(guān)于測(cè)度的教學(xué)探究

虞志堅(jiān)

（臺(tái)州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）

本文對(duì)《實(shí)變函數(shù)》中的重要概念測(cè)度的教學(xué)作了若干探究。既要從直觀上介紹Lebesgue測(cè)度的原始定義，也要使學(xué)生明白Lebesgue的原始定義依賴于原集合的性質(zhì)而不能進(jìn)行推廣的缺陷。在此基礎(chǔ)上更要強(qiáng)調(diào)Caratheodory的定義脫離了原集合的具體性質(zhì)便于進(jìn)一步抽象推廣。

實(shí)變函數(shù)；Lebesgue測(cè)度；測(cè)度；抽象測(cè)度；教學(xué)探究

對(duì)于地方本科院校的數(shù)學(xué)系學(xué)生來(lái)說(shuō)，《實(shí)變函數(shù)》是一門(mén)難度較大的課程。測(cè)度是《實(shí)變函數(shù)》的一個(gè)核心概念，所以，能否深刻理解并掌握測(cè)度這個(gè)核心概念，是學(xué)生學(xué)好《實(shí)變函數(shù)》這門(mén)課程的關(guān)鍵。因此，為使學(xué)生能學(xué)好《實(shí)變函數(shù)》，作為任課教師應(yīng)當(dāng)對(duì)測(cè)度的教學(xué)進(jìn)行探索研究，以幫助學(xué)生盡快掌握測(cè)度的本質(zhì)，并為下一步繼續(xù)學(xué)習(xí)《實(shí)變函數(shù)》打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。筆者在多輪《實(shí)變函數(shù)》教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上，對(duì)測(cè)度的教學(xué)進(jìn)行了梳理探究。

1 關(guān)于測(cè)度的引入

測(cè)度概念的引入通常有兩個(gè)途徑。一種是從具體到抽象，即從具體的R1或R2空間開(kāi)始，定義Lebesgue測(cè)度，然后將它推廣到抽象空間上，得到抽象的測(cè)度［1，2］；另一種是從抽象到具體，具體做法是直接在一般的抽象空間上，以測(cè)度必須具備的最核心的性質(zhì)作為公理直接定義測(cè)度［3］，再將R1或R2空間上的測(cè)度作為具體的例子。兩者各有優(yōu)點(diǎn)，后者對(duì)于基礎(chǔ)好的學(xué)生，特別是國(guó)內(nèi)一流重點(diǎn)大學(xué)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，能夠以最短的時(shí)間直接深入測(cè)度理論的核心，這是它的優(yōu)點(diǎn)。但對(duì)于基礎(chǔ)相對(duì)薄弱的學(xué)生來(lái)說(shuō)，這種方法顯得突兀，不大容易接受。前者對(duì)于初學(xué)者特別是對(duì)地方本科院校的學(xué)生來(lái)說(shuō)更容易理解接受。所以，對(duì)于一般地方性本科院校的學(xué)生，我們認(rèn)為采用第一種方法為好。

2 關(guān)于一維點(diǎn)集與n維點(diǎn)集的測(cè)度

常見(jiàn)的《實(shí)變函數(shù)》教材大致可以分為兩類(lèi)，一類(lèi)介紹一維點(diǎn)集的測(cè)度與積分［1］，另一類(lèi)介紹n維點(diǎn)集的測(cè)度以及相應(yīng)的積分［2］。兩者各有所重，也各有優(yōu)點(diǎn)。前者直觀明了，對(duì)于熟悉定積分內(nèi)容的學(xué)生，可以直接過(guò)渡到測(cè)度理論和Lebesgue積分理論；但是，我們不該將目光只停留在一維，而且一維點(diǎn)集的測(cè)度與積分跟n維點(diǎn)集的測(cè)度與積分在內(nèi)容上并無(wú)本質(zhì)區(qū)別，在敘述上也可以統(tǒng)一處理。因而，我們認(rèn)為，可以直接從n維點(diǎn)集入手介紹測(cè)度與積分理論，并將一維的情形作為其特殊例子來(lái)處理，應(yīng)當(dāng)是比較恰當(dāng)?shù)奶幚矸椒ā?/p>

3 關(guān)于Lebesgue測(cè)度的教學(xué)

對(duì)于從具體到抽象這一引入勒貝格測(cè)度的途徑，也有兩種選擇。一種是測(cè)度論的奠基人Lebesgue的原始做法，即先定義點(diǎn)集E的外測(cè)度m*（E）與內(nèi)測(cè)度m*（E），當(dāng)它們相等的時(shí)候定義點(diǎn)集E可測(cè)［1］；另一種是先定義點(diǎn)集E的外測(cè)度m*（E），然后通過(guò)Caratheodory條件定義測(cè)度，這是希臘數(shù)學(xué)家Caratheodory的做法［2］。下面分別介紹之。

定義1［2］56設(shè)E是Rn中的點(diǎn)集，E的外測(cè)度m*（E）定義為：

其中 Ii｛｝是覆蓋E的開(kāi)區(qū)間列。

定義2［2］62設(shè)E是Rn中的有界點(diǎn)集，I是包含E的任一開(kāi)區(qū)間，定義E的內(nèi)測(cè)度m*（E）為：

若m*（E）=m*（E），則稱E是Lebesgue可測(cè)的，此時(shí)m*（E）=m*（E）就稱為點(diǎn)集E的Lebesgue測(cè)度，記作m（E）。設(shè)E是Rn中的無(wú)界點(diǎn)集，若對(duì)于任何開(kāi)區(qū)間I，有界集E∩I都是Lebesgue可測(cè)的，則稱是Lebesgue可測(cè)的。

無(wú)疑，Lebesgue的做法直觀上是最容易被接受的，因?yàn)檫@跟數(shù)學(xué)分析中的方法是一脈相承的。但是，這一方法并不是最簡(jiǎn)潔的，定義中有界集和無(wú)界集受到不同的對(duì)待，并且同時(shí)出現(xiàn)了內(nèi)外兩種測(cè)度，使用起來(lái)很不方便。更重要的是，這個(gè)測(cè)度的定義由于依賴原集合的性質(zhì)，因而不能進(jìn)行推廣。這是這個(gè)定義的缺陷，它妨礙了測(cè)度理論的深入學(xué)習(xí)。

定義3［2］62設(shè)E是Rn中的點(diǎn)集，如果對(duì)于任一點(diǎn)集T，都有

則稱E是Lebesgue可測(cè)的。這時(shí)E的外測(cè)度m*（E）就稱為E的Lebesgue測(cè)度，記作m（E）。

定義3中的（#）式稱為Caratheodory條件，T稱為試驗(yàn)集。這個(gè)定義是說(shuō)，將E作為尺子，把T分為互不相交的兩部分去度量，如果對(duì)于任何試驗(yàn)集T，Caratheodory條件都成立，那么E就是可測(cè)的?？梢宰C明上面這兩種測(cè)度的定義是等價(jià)的。Caratheodory條件反映了測(cè)度的內(nèi)在聯(lián)系，使得這個(gè)定義脫離了點(diǎn)集E的具體性質(zhì)，從而可以進(jìn)行抽象的推廣。因此，初看起來(lái)Caratheodory條件并不那么自然直觀，但這卻是引入可測(cè)集的最簡(jiǎn)捷的方法。Caratheodory條件反映了Caratheodory對(duì)Lebesgue測(cè)度的深刻理解。

在教學(xué)中，對(duì)于地方性本科院校的數(shù)學(xué)系學(xué)生，如臺(tái)州學(xué)院學(xué)生，既要從直觀上介紹Lebesgue測(cè)度的原始定義，也要使他們明白Lebesgue的原始定義依賴于原集合的性質(zhì)而不能進(jìn)行推廣的缺陷。在此基礎(chǔ)上更要強(qiáng)調(diào)Caratheodory的定義脫離了原集合的具體性質(zhì)便于進(jìn)一步的推廣深入，這是大多數(shù)《實(shí)變函數(shù)》教材采用Caratheodory定義的原因。

4 關(guān)于測(cè)度概念的進(jìn)一步提升

從上面定義中可以看到，Rn中的任何點(diǎn)集都有外測(cè)度。我們知道，外測(cè)度只有次可加性而沒(méi)有可列可加性，而測(cè)度是要滿足可列可加性的，所以，我們要找到Rn的子集族，使得外測(cè)度在此子集族上成立可列可加性。

Rn的子集族X(qián)稱為一個(gè)σ-代數(shù)，如果它滿足：

（1）Rn，Ф，I∈X，其中I為任何區(qū)間，

（2）若A∈X，則AC∈X，

設(shè)Ω為一非空集，2Ω是Ω的冪集，即Ω所有子集構(gòu)成的集族。但Ω的子集太多，我們得剔除掉那些性質(zhì)“不好”的集合。設(shè)映射］，滿足：

（1）m*（Ф）=0，

稱E∈2Ω是m*-可測(cè)的，如果對(duì)任何的T∈2Ω，成立

容易證明，全體m*-可測(cè)集構(gòu)成一個(gè)σ-代數(shù)，記為M*?？梢宰C明，對(duì)任何，如果它們兩兩不交，則，即可列可加性成立，這時(shí)上面的映射］（它先是外測(cè)度）就成為M*上的測(cè)度。

到這里，我們已經(jīng)看到，外測(cè)度是定義在冪集2Ω上的非負(fù)函數(shù)，而測(cè)度是定義在冪集2Ω中由m*-可測(cè)集構(gòu)成σ-代數(shù)M*上的非負(fù)函數(shù)。即，通過(guò)Caratheodory條件，縮小外測(cè)度的定義域，便得到了測(cè)度。

最后，我們指出，抽象的測(cè)度理論可以完全建立在公理化的基礎(chǔ)上，從中我們可以幾乎看不到任何構(gòu)造性的痕跡。由此可見(jiàn)，從Lebesgue的原始方法到Caratheodory的方法，是測(cè)度從具體到抽象的飛躍——測(cè)度理論從此在眾多領(lǐng)域都起到了很大的作用。例如，當(dāng)將測(cè)度］的值域限制為［0，1 ］時(shí)，測(cè)度便是我們知道的概率。換言之，概率是特殊的測(cè)度。

在教學(xué)中，在深入講授了具體的測(cè)度以后，可以恰當(dāng)介紹抽象測(cè)度的內(nèi)容，以便提升學(xué)有余力學(xué)生的學(xué)習(xí)水平。

［1］鄭維行，王聲望.實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要（第一冊(cè)）［M］.2版.北京：高等教育出版社，1986.

［2］程其襄，張奠畝，魏國(guó)強(qiáng)，等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)［M］.北京：高等教育出版社，2010.

［3］胡適耕.實(shí)變函數(shù)論［M］.北京：高等教育出版社，1999.

Teaching Explorations on Measure

YU Zhi-jian

（School of Mathematics and Information Engineering,Taizhou University,Linhai 317000,China）

In this paper, some teaching explorations on important concept measure in function of real variable are done.It is necessary not only the original definition of measure should be introduced,but also the fault of this definition depending on the specific properties of point sets should be pointed out.Furthermore,it is crucial to be emphasized that the definition of measure based on the Caratheodory condition is convenient to be generalized since this definition separates itself from the concrete characters of point sets.

function of real variable;Lebesgue measures;measures;abstract measures;teaching explorations

10.13853/j.cnki.issn.1672-3708.2014.06.016

（責(zé)任編輯：耿繼祥）

2014-11-05；

2014-11-27

虞志堅(jiān)（1971- ），男，浙江臺(tái)州人，副教授。