一、有意義接受學習理論

1.有意義接受學習在學習數學中的作用

在學習數學的時候使用有意義學習的方式，學生可以不用重新發(fā)現(xiàn)，而只需要在原有知識體系中尋找和新知識之間穩(wěn)定的關聯(lián)點，讓它們之間進行融合，完成新舊資料之間的同化過程，從而實現(xiàn)知識的積累或者知識結構的改變。比方說，在學習“四則混合運算定理”的時候，學生只需要在已經學會單獨使用這四種運算方法的前提下，記住“先進行乘除，后進行加減”的運算順序，就可以完成這一新知識點的學習。邏輯性是數學的最大特征，相互聯(lián)系的知識點構成一個完整的系統(tǒng)，這就讓數學學習具有較大的思想性[1]。因此，大部分的數學知識需要使用有意義學習的方式來完成學習。

一般來說，有意義學習數學的過程，不但是學生通過新舊材料之間的關系學習新知識的過程，也是學生利用它們之間的聯(lián)系對原有知識體系進行改造的過程。而完成這一過程的關鍵是對知識的“理解”。對于學生來說，這一過程是創(chuàng)新學習思維方式，是激發(fā)思考，是讓他們保持興奮的動力；對于教師來說，這一過程是教師遵照人類能力形成的一般原則指引學生通過努力實現(xiàn)能力提升的過程。

2.有意義接受學習的過程

關于新知識的學習，皮亞杰的觀點是：學習不是學生對新知識的闡述，而是原有知識和新知識之間相互影響的過程。奧蘇貝爾對這一觀點進行了延伸，他認為學習新知識的過程就是對學生心理和新知識結構進行了解的過程[2]。

他這一觀點的重心是學生對新材料的接受程度，學習的關鍵在于他原有的知識體系是不是和新知識之間有聯(lián)系點，有意義學習的過程中材料和原有知識體系內部知識點相互影響，而這種影響不但是對新材料的影響，也包含對原有知識體系的改變。奧蘇貝爾通過特別的公式來展現(xiàn)同化是如何發(fā)生的，他用“a”代表新材料，用“A”代表原有知識體系中的知識點，那么同化發(fā)生的過程就可以通過下面的式子展現(xiàn)：

同化之后，不但新材料的意義有所轉變，就是原有知識點也都具備了新的意義。A轉變?yōu)椤癆'”，a轉變?yōu)椤癮'”。但是式子中所表現(xiàn)的只是同化過程的一個環(huán)節(jié)，在這一環(huán)節(jié)結束之后，馬上就會有新的環(huán)節(jié)開始，也就是遺忘環(huán)節(jié)。假如在這一環(huán)節(jié)結束之后，不能很好地實現(xiàn)“A'+a'”狀態(tài)中兩個元素的分離，慢慢的“A'+a'”的綜合就會被A'或A所取代，也就是說新材料在新的知識體系中被遺忘或者是取代。所以說這只是整個同化過程的一個子過程，隨著這個子過程的完成，會有一個新的過程接踵而至，這就是遺忘過程。而想要減少新知識的遺忘，必須立即進行下一個同化環(huán)節(jié)，增加新材料中的可利用元素。其進程可以展現(xiàn)如下：

奧蘇貝爾用同化這一觀點來總結學習的規(guī)律，我們把這種模式歸納總結運用到教學當中去幫助學生開展有意義接受學習，在保持原有知識的前提下去拓展新知識[3]。奧蘇貝爾在這方面沒有得出最終結果，但是他用上面的公式來表示同化的過程，說明他還是在這方面進行了試驗的，這樣的試驗具有不同凡響的意義。

二、有意義接受學習教學案例

1.下位學習案例（新授課：矩形）

本案例中的教學是對于矩形的新授課，學生之前已經學習了平行四邊形，所以在進行矩形的新授課時，想首先在平行四邊和矩形的定義之間建立聯(lián)系，然后再講授矩形的相關知識。

（1）思考

①當∠a發(fā)生改變，平行四邊形的兩條對角線的長度相應的怎么改變？

②當∠a是銳角時，對角線是否等長？如果∠a是鈍角呢？

③當∠a是直角時，平行四邊形為矩形，對角線是否等長？

答：在上述活動中

①當∠a的大小發(fā)生變化時，兩條對角線也會發(fā)生相應的改變，長度較長的對角線相應變短，短的則會變長。如果∠a變成直角時，兩條對角線的長度則會相等。當∠a再發(fā)生變化時，對角線的長度又會發(fā)生相應的改變。

②當∠a是銳角或鈍角時，平行四邊形對角線的長度不等。

③如果∠a是直角，此時的平行四邊形就屬于矩形，這時兩條對角線是等長的。

結論：任意一條對角線都能把矩形分為兩個全等的直角三角形，兩條對角線將矩形分為四個等腰三角形。所以，關于很多矩形問題的解決可以通過直角三角形或者是等腰三角形來解決。

矩形的性質：對邊平行且相等；四個角都是直角；對角線等長且平分。

（2）鞏固練習

下圖中，矩形abcd，ad、cb交于點e，∠aeb=60°，ac=4cm.

①△aec是什么形狀？

②求對角線的長。

分析：①矩形的性質中就有對角線相等并平分，所以ae=ec，在△aec中，因為∠aec=60°，而且兩邊ea=ec，所以△aec是等邊三角形。

②可直接運用矩形的性質來求對角線的長度。

解：①在矩形abdc中，

∵ad和cb是矩形abdc的對角線，ad與bc等長且平分

∴ea=ec，所以△aec為等腰三角形。

又∵∠aec=60°

∴△aec是等邊三角形。

②∵△aec是等邊三角形，

∴ea=ac=4cm，矩形的對角線不但相等而且平分，可以得出ad=cb=2ea=8cm

∴對角線長度為8cm。

想一想：當平行四邊形的對角線相等時，這樣的平行四邊形是什么四邊形？怎么證明？和同學相互交流。

答：對角線等長的平行四邊形是矩形。

證明：圖中的平行四邊形abdc中，ac=bd，cb=ad，cd=ab

∴△abc=△bdc（SSS）

∴∠acd=∠bdc

又∵ac//bd

∴∠acd+∠bdc=2∠acd=180°，即∠acd=90°

∴平行四邊形abdc是矩形

∴對角線等長的平行四邊形是矩形

由以上敘述我們可以總結出判讀矩形的兩個條件：

①內角為直角的平行四邊形是矩形

②對角線等長的平行四邊形是矩形

（3）歸納總結

①矩形的性質

所有內角都是直角；對角線不但相等而且平分；對邊平行而且相等；軸對稱圖形。

②矩形的判別條件

矩形的判別可以分為兩個步驟來進行，首先是看待定四邊形是不是平行四邊形，然后就要找出平行四邊形中是否有直角。

（4）評析

平行四邊形是一種比較特殊的四邊形，而矩形在平行四邊形中也是屬于比較特別的一種，矩形就是平行四邊形的一個下位概念。因為矩形是通過對平行四邊形的條件加以限定而得出的，說明了相較于矩形，平行四邊形具有更強的包攝性。通過矩形的學習，不但鞏固了平行四邊形的關鍵屬性，還對平行四邊形的關鍵屬性進行了擴充。

對教材進行相應的分析可以得出，本節(jié)學習的課程符合有意義接受學習的條件，本節(jié)課程體現(xiàn)了奧蘇貝爾學習理論中的“下位學習”。新的關于矩形的知識和已掌握的關于平行四邊形的知識形成了下位關系，新的概念被同化以后并沒有使上位概念發(fā)生本質的改變，但是上位概念具備了更強的概括性、包容性以及可遷移性?？梢岳眠@一關系對平行四邊形進行加工，找出平行四邊形和矩形二者之間的關系：對角線相等的平行四邊形就是矩形；平行四邊形中有一個內角是直角的就是矩形等。矩形的知識就會被同化到平行四邊形的知識結構中，而平行四邊形的原有知識結構也會得到補充，就建立起了新的平行四邊形的知識結構[5]。

2.上位學習案例（新授課：二元一次不等式）

（1）出示情景

呈現(xiàn)不等式題目并求解：y2-y-2<0

方案一，轉換為不等式組，師生共解。如下：

根據原不等式等價于（y-2）（y+1）<0，得：

y-2<0y+1>0或者y-2>0y+1<0

所以解不等式組即原不等式的解集為：

{y|-1

方案二，應用變式，師導生解。如下：

根據原不等式等價于：

y2-y+■-■-2<0，即■<■，或者（y-■）2<■。

教師在此處需要留足時間，便于學生認真思索上式的變式如何呈現(xiàn)。

思考后得出：|（y-■）|<■，得出{y|-1

（2）提出問題

①教師提出問題：假如不動筆解不等式，你有沒有辦法寫出不等式y(tǒng)2-y-2<0的解集？

②教師“搭橋”：請你思考原式的補集并思考跟不等式的解集有什么聯(lián)系？

③教師繼續(xù)引導：仔細觀察不等式y(tǒng)2-y-2<0，y2-y-2>0及方程y2-y-2=0，認真思考，你有什么新發(fā)現(xiàn)？或者是你有哪些疑惑呢？

④學生匯報交流。

發(fā)現(xiàn)1：通過計算得知方程y2-y-2=0的根是-1和2；觀察不等式會發(fā)現(xiàn)，他們的解集分別與-1和2有關，數軸直觀的顯示出y2-y-2<0的解集處于在兩根之外的范圍，y2-y-2>0的解集集中在兩根之間的區(qū)間。發(fā)現(xiàn)2：根據上面的規(guī)律，我們可以先求出方程的根，再求不等式的解。

（3）歸納提升

①先求出一元二次方程的根y1，y2（y1y2}，假如小于號為不等號，那么它的解集就是{y|y10（a>0）的步驟就是這樣的。

②教師表揚學生表述的非常清楚。新的情況是，附加說明a<0，需要怎樣做？（學生輕易得出：將不等式的兩邊同時乘以-1就可以了。）

（4）拓展練習

①2y2-3y-2>0 ②-5x2-4x>2

③-x2+2x+3<0 ④8x2-8x+2<0

（5）評析

從本節(jié)課的片段中不難發(fā)現(xiàn)，這是一節(jié)典型的“上位學習”方式的具體運用，符合有意義接受學習的基本條件。本節(jié)課中學生的原有知識與新授知識（一元二次不等式的解法）之間構成了典型的上位關系。（見圖3）

上位關系示意圖清晰地顯示出新知識與原有五個知識點之間的聯(lián)系，新知識既是對原有知識的歸納概括，又能將原有知識加以整合運用。例如，解集是要用集合來呈現(xiàn)，求解過程通常需要化歸后解決，數形結合的直觀理解等，可見，新知識與原有知識相比，其包容性與概括性更強[5]。

化歸思想、遷移思想以及數形結合思想的滲透與應用貫穿整個過程，師生的數學探究包含了教師的有效引導和學生的主動探究、積極思索、合理總結，整個案例呈現(xiàn)出了高效地運用上位學習的方式完成有意義接受學習的過程。

參考文獻

[1] 王艷青，代欽.高中數學解題教學中的分類討論策略.內蒙古師范大學學報（教育科學版），2011（12）.

[2] 劉麗娟.奧蘇貝爾有意義學習理論及對當今教學的啟示.南方論刊，2009（5）.

[3] 蔣學聰.提高數學教師有效備課質量之研究.內蒙古師范大學學報（教育科學版），2013（6）.

[4] 成成.奧蘇貝爾“接受學習”與布魯納“發(fā)現(xiàn)學習”的比較.新課程研究（基礎教育），2010（2）.

[5] 劉彩梅.教學要追求形式美和實質美.教學與管理，2013（6）.

∴平行四邊形abdc是矩形

∴對角線等長的平行四邊形是矩形

由以上敘述我們可以總結出判讀矩形的兩個條件：

①內角為直角的平行四邊形是矩形

②對角線等長的平行四邊形是矩形

（3）歸納總結

①矩形的性質

所有內角都是直角；對角線不但相等而且平分；對邊平行而且相等；軸對稱圖形。

②矩形的判別條件

矩形的判別可以分為兩個步驟來進行，首先是看待定四邊形是不是平行四邊形，然后就要找出平行四邊形中是否有直角。

（4）評析

平行四邊形是一種比較特殊的四邊形，而矩形在平行四邊形中也是屬于比較特別的一種，矩形就是平行四邊形的一個下位概念。因為矩形是通過對平行四邊形的條件加以限定而得出的，說明了相較于矩形，平行四邊形具有更強的包攝性。通過矩形的學習，不但鞏固了平行四邊形的關鍵屬性，還對平行四邊形的關鍵屬性進行了擴充。

對教材進行相應的分析可以得出，本節(jié)學習的課程符合有意義接受學習的條件，本節(jié)課程體現(xiàn)了奧蘇貝爾學習理論中的“下位學習”。新的關于矩形的知識和已掌握的關于平行四邊形的知識形成了下位關系，新的概念被同化以后并沒有使上位概念發(fā)生本質的改變，但是上位概念具備了更強的概括性、包容性以及可遷移性?？梢岳眠@一關系對平行四邊形進行加工，找出平行四邊形和矩形二者之間的關系：對角線相等的平行四邊形就是矩形；平行四邊形中有一個內角是直角的就是矩形等。矩形的知識就會被同化到平行四邊形的知識結構中，而平行四邊形的原有知識結構也會得到補充，就建立起了新的平行四邊形的知識結構[5]。

2.上位學習案例（新授課：二元一次不等式）

（1）出示情景

呈現(xiàn)不等式題目并求解：y2-y-2<0

方案一，轉換為不等式組，師生共解。如下：

根據原不等式等價于（y-2）（y+1）<0，得：

y-2<0y+1>0或者y-2>0y+1<0

所以解不等式組即原不等式的解集為：

{y|-1

方案二，應用變式，師導生解。如下：

根據原不等式等價于：

y2-y+■-■-2<0，即■<■，或者（y-■）2<■。

教師在此處需要留足時間，便于學生認真思索上式的變式如何呈現(xiàn)。

思考后得出：|（y-■）|<■，得出{y|-1

（2）提出問題

①教師提出問題：假如不動筆解不等式，你有沒有辦法寫出不等式y(tǒng)2-y-2<0的解集？

②教師“搭橋”：請你思考原式的補集并思考跟不等式的解集有什么聯(lián)系？

③教師繼續(xù)引導：仔細觀察不等式y(tǒng)2-y-2<0，y2-y-2>0及方程y2-y-2=0，認真思考，你有什么新發(fā)現(xiàn)？或者是你有哪些疑惑呢？

④學生匯報交流。

發(fā)現(xiàn)1：通過計算得知方程y2-y-2=0的根是-1和2；觀察不等式會發(fā)現(xiàn)，他們的解集分別與-1和2有關，數軸直觀的顯示出y2-y-2<0的解集處于在兩根之外的范圍，y2-y-2>0的解集集中在兩根之間的區(qū)間。發(fā)現(xiàn)2：根據上面的規(guī)律，我們可以先求出方程的根，再求不等式的解。

（3）歸納提升

①先求出一元二次方程的根y1，y2（y1y2}，假如小于號為不等號，那么它的解集就是{y|y10（a>0）的步驟就是這樣的。

②教師表揚學生表述的非常清楚。新的情況是，附加說明a<0，需要怎樣做？（學生輕易得出：將不等式的兩邊同時乘以-1就可以了。）

（4）拓展練習

①2y2-3y-2>0 ②-5x2-4x>2

③-x2+2x+3<0 ④8x2-8x+2<0

（5）評析

從本節(jié)課的片段中不難發(fā)現(xiàn)，這是一節(jié)典型的“上位學習”方式的具體運用，符合有意義接受學習的基本條件。本節(jié)課中學生的原有知識與新授知識（一元二次不等式的解法）之間構成了典型的上位關系。（見圖3）

上位關系示意圖清晰地顯示出新知識與原有五個知識點之間的聯(lián)系，新知識既是對原有知識的歸納概括，又能將原有知識加以整合運用。例如，解集是要用集合來呈現(xiàn)，求解過程通常需要化歸后解決，數形結合的直觀理解等，可見，新知識與原有知識相比，其包容性與概括性更強[5]。

化歸思想、遷移思想以及數形結合思想的滲透與應用貫穿整個過程，師生的數學探究包含了教師的有效引導和學生的主動探究、積極思索、合理總結，整個案例呈現(xiàn)出了高效地運用上位學習的方式完成有意義接受學習的過程。

參考文獻

[1] 王艷青，代欽.高中數學解題教學中的分類討論策略.內蒙古師范大學學報（教育科學版），2011（12）.

[2] 劉麗娟.奧蘇貝爾有意義學習理論及對當今教學的啟示.南方論刊，2009（5）.

[3] 蔣學聰.提高數學教師有效備課質量之研究.內蒙古師范大學學報（教育科學版），2013（6）.

[4] 成成.奧蘇貝爾“接受學習”與布魯納“發(fā)現(xiàn)學習”的比較.新課程研究（基礎教育），2010（2）.

[5] 劉彩梅.教學要追求形式美和實質美.教學與管理，2013（6）.

∴平行四邊形abdc是矩形

∴對角線等長的平行四邊形是矩形

由以上敘述我們可以總結出判讀矩形的兩個條件：

①內角為直角的平行四邊形是矩形

②對角線等長的平行四邊形是矩形

（3）歸納總結

①矩形的性質

所有內角都是直角；對角線不但相等而且平分；對邊平行而且相等；軸對稱圖形。

②矩形的判別條件

矩形的判別可以分為兩個步驟來進行，首先是看待定四邊形是不是平行四邊形，然后就要找出平行四邊形中是否有直角。

（4）評析

平行四邊形是一種比較特殊的四邊形，而矩形在平行四邊形中也是屬于比較特別的一種，矩形就是平行四邊形的一個下位概念。因為矩形是通過對平行四邊形的條件加以限定而得出的，說明了相較于矩形，平行四邊形具有更強的包攝性。通過矩形的學習，不但鞏固了平行四邊形的關鍵屬性，還對平行四邊形的關鍵屬性進行了擴充。

對教材進行相應的分析可以得出，本節(jié)學習的課程符合有意義接受學習的條件，本節(jié)課程體現(xiàn)了奧蘇貝爾學習理論中的“下位學習”。新的關于矩形的知識和已掌握的關于平行四邊形的知識形成了下位關系，新的概念被同化以后并沒有使上位概念發(fā)生本質的改變，但是上位概念具備了更強的概括性、包容性以及可遷移性?？梢岳眠@一關系對平行四邊形進行加工，找出平行四邊形和矩形二者之間的關系：對角線相等的平行四邊形就是矩形；平行四邊形中有一個內角是直角的就是矩形等。矩形的知識就會被同化到平行四邊形的知識結構中，而平行四邊形的原有知識結構也會得到補充，就建立起了新的平行四邊形的知識結構[5]。

2.上位學習案例（新授課：二元一次不等式）

（1）出示情景

呈現(xiàn)不等式題目并求解：y2-y-2<0

方案一，轉換為不等式組，師生共解。如下：

根據原不等式等價于（y-2）（y+1）<0，得：

y-2<0y+1>0或者y-2>0y+1<0

所以解不等式組即原不等式的解集為：

{y|-1

方案二，應用變式，師導生解。如下：

根據原不等式等價于：

y2-y+■-■-2<0，即■<■，或者（y-■）2<■。

教師在此處需要留足時間，便于學生認真思索上式的變式如何呈現(xiàn)。

思考后得出：|（y-■）|<■，得出{y|-1

（2）提出問題

①教師提出問題：假如不動筆解不等式，你有沒有辦法寫出不等式y(tǒng)2-y-2<0的解集？

②教師“搭橋”：請你思考原式的補集并思考跟不等式的解集有什么聯(lián)系？

③教師繼續(xù)引導：仔細觀察不等式y(tǒng)2-y-2<0，y2-y-2>0及方程y2-y-2=0，認真思考，你有什么新發(fā)現(xiàn)？或者是你有哪些疑惑呢？

④學生匯報交流。

發(fā)現(xiàn)1：通過計算得知方程y2-y-2=0的根是-1和2；觀察不等式會發(fā)現(xiàn)，他們的解集分別與-1和2有關，數軸直觀的顯示出y2-y-2<0的解集處于在兩根之外的范圍，y2-y-2>0的解集集中在兩根之間的區(qū)間。發(fā)現(xiàn)2：根據上面的規(guī)律，我們可以先求出方程的根，再求不等式的解。

（3）歸納提升

①先求出一元二次方程的根y1，y2（y1y2}，假如小于號為不等號，那么它的解集就是{y|y10（a>0）的步驟就是這樣的。

②教師表揚學生表述的非常清楚。新的情況是，附加說明a<0，需要怎樣做？（學生輕易得出：將不等式的兩邊同時乘以-1就可以了。）

（4）拓展練習

①2y2-3y-2>0 ②-5x2-4x>2

③-x2+2x+3<0 ④8x2-8x+2<0

（5）評析

從本節(jié)課的片段中不難發(fā)現(xiàn)，這是一節(jié)典型的“上位學習”方式的具體運用，符合有意義接受學習的基本條件。本節(jié)課中學生的原有知識與新授知識（一元二次不等式的解法）之間構成了典型的上位關系。（見圖3）

上位關系示意圖清晰地顯示出新知識與原有五個知識點之間的聯(lián)系，新知識既是對原有知識的歸納概括，又能將原有知識加以整合運用。例如，解集是要用集合來呈現(xiàn)，求解過程通常需要化歸后解決，數形結合的直觀理解等，可見，新知識與原有知識相比，其包容性與概括性更強[5]。

化歸思想、遷移思想以及數形結合思想的滲透與應用貫穿整個過程，師生的數學探究包含了教師的有效引導和學生的主動探究、積極思索、合理總結，整個案例呈現(xiàn)出了高效地運用上位學習的方式完成有意義接受學習的過程。

參考文獻

[1] 王艷青，代欽.高中數學解題教學中的分類討論策略.內蒙古師范大學學報（教育科學版），2011（12）.

[2] 劉麗娟.奧蘇貝爾有意義學習理論及對當今教學的啟示.南方論刊，2009（5）.

[3] 蔣學聰.提高數學教師有效備課質量之研究.內蒙古師范大學學報（教育科學版），2013（6）.

[4] 成成.奧蘇貝爾“接受學習”與布魯納“發(fā)現(xiàn)學習”的比較.新課程研究（基礎教育），2010（2）.

[5] 劉彩梅.教學要追求形式美和實質美.教學與管理，2013（6）.