朱國(guó)榮

“植樹(shù)問(wèn)題”是人教版教材四年級(jí)下冊(cè)第八單元《數(shù)學(xué)廣角》的教學(xué)內(nèi)容。其第一課時(shí)主要研究下面這一問(wèn)題——“1. 同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)100米的小路一邊植樹(shù)，每隔5米栽一棵（兩端要栽）。一共需要多少棵樹(shù)苗？”

在教學(xué)例1時(shí)，對(duì)要研究的問(wèn)題教師們產(chǎn)生了爭(zhēng)議。有的認(rèn)為：“全長(zhǎng)100米”太長(zhǎng)了，學(xué)生很難通過(guò)畫(huà)圖來(lái)解決問(wèn)題，為了降低學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的難度，將“全長(zhǎng)100米”改短，再開(kāi)始研究。也有教師的意見(jiàn)恰好相反，認(rèn)為“全長(zhǎng)100米”還是短了點(diǎn)，造成認(rèn)知沖突的力度不夠，應(yīng)將“全長(zhǎng)100米”改長(zhǎng)。也有教師還是認(rèn)為“全長(zhǎng)100米”較為合適。

確實(shí)，將“全長(zhǎng)100米”改短，可以降低教與學(xué)的難度，有利于學(xué)生順利地建立植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，這也是超過(guò)半數(shù)的教師作出這一選擇的重要原因。但是，這樣的改變是否體現(xiàn)了教材編寫(xiě)意圖？將“全長(zhǎng)100米”改短后，是否能完全實(shí)現(xiàn)本課時(shí)教學(xué)目標(biāo)呢？

教材在例1主題圖下面，還有四幅圖。教學(xué)參考書(shū)中說(shuō)得十分明確：教材用四幅圖來(lái)呈現(xiàn)學(xué)生探索解決問(wèn)題的討論過(guò)程。首先由一個(gè)男孩說(shuō)出學(xué)生們可能會(huì)想到的答案：“100÷5=20，所以要準(zhǔn)備20棵樹(shù)苗?！苯又粋€(gè)女孩問(wèn)：“對(duì)嗎？”來(lái)引發(fā)學(xué)生思考。接下來(lái)呈現(xiàn)了解決問(wèn)題常用的方法——從簡(jiǎn)單的情況入手解決復(fù)雜的問(wèn)題。這樣就把整個(gè)分析、思考、解決問(wèn)題的全過(guò)程展示出來(lái)，讓學(xué)生經(jīng)歷這個(gè)過(guò)程并從中學(xué)習(xí)一些解決問(wèn)題的方法和策略。即遇到問(wèn)題時(shí)，可以先給出一個(gè)猜測(cè)，要判斷這個(gè)猜測(cè)對(duì)不對(duì)，可以用比較簡(jiǎn)單的例子來(lái)驗(yàn)證，并且可以從簡(jiǎn)單的事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后應(yīng)用找到的規(guī)律來(lái)解決原來(lái)的問(wèn)題。

細(xì)讀教參可以知道，在例1教學(xué)時(shí)，不但要讓學(xué)生建立解決植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，還要滲透“化歸思想”。顯然，將“全長(zhǎng)100米”改短，教學(xué)過(guò)程雖然順利，但作為“滲透化歸思想”這一教學(xué)目標(biāo)也蕩然無(wú)存了。因此，選擇將“全長(zhǎng)100米”改短，不符合教材的編寫(xiě)意圖，也不利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生解決復(fù)雜問(wèn)題的能力。

進(jìn)一步思考，我們可以來(lái)看人教版六年級(jí)下冊(cè)第91頁(yè)的“數(shù)學(xué)思考”。如果單從解決問(wèn)題所需要建立模型的角度分析，這個(gè)例題和植樹(shù)問(wèn)題是風(fēng)馬牛不相及的兩件事。植樹(shù)問(wèn)題的模型建立得再清晰、牢固，都無(wú)法遷移到此問(wèn)題的解決過(guò)程中。但如果站在數(shù)學(xué)思想的高度，我們就能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)例題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想是完全一致的，即化歸思想。也就是說(shuō)，可以作這樣的假設(shè)，如果在植樹(shù)問(wèn)題教學(xué)時(shí)，忽視了化歸思想的適時(shí)滲透，學(xué)生在后續(xù)解決類似復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，就缺失了必要的經(jīng)驗(yàn)積累。

在與為數(shù)不多，選擇將“全長(zhǎng)100米”再加長(zhǎng)的教師交流時(shí)，發(fā)現(xiàn)這些教師普遍意識(shí)到在本課教學(xué)時(shí)滲透化歸思想的重要性，為了凸顯這一教學(xué)目標(biāo)，選擇將全長(zhǎng)增加到500米、1000米，甚至更長(zhǎng)。當(dāng)然，將“全長(zhǎng)100米”加長(zhǎng)后，加深了教與學(xué)的復(fù)雜程度，對(duì)教師的教學(xué)能力提出了更高的要求，這就涉及教師專業(yè)水平提升的話題了，這里不再贅述。

下面是筆者在教學(xué)本課時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)。

教學(xué)內(nèi)容：人教版四下第117頁(yè)，例1。

教學(xué)設(shè)想：

該部分教材共安排了三個(gè)例題，兩端都種，兩端都不種，封閉圖形的植樹(shù)問(wèn)題。

在單元教學(xué)目標(biāo)解讀與教材分析的基礎(chǔ)上，我將在不封閉圖形上的植樹(shù)問(wèn)題安排在同一課時(shí)中教學(xué)。在課堂教學(xué)實(shí)施中著力想解決好以下兩個(gè)問(wèn)題。

一是讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)“將復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)研究，再運(yùn)用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來(lái)解決復(fù)雜的問(wèn)題”的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中需要關(guān)注的問(wèn)題有：轉(zhuǎn)化的需要，策略的產(chǎn)生，方法的可行性驗(yàn)證。

二借助數(shù)形結(jié)合和一一對(duì)應(yīng)的方法，讓學(xué)生理解植樹(shù)問(wèn)題在不同的情境下段數(shù)與棵數(shù)的不同關(guān)系。在這個(gè)過(guò)程中，需要關(guān)注：學(xué)生正確表象的建立，段數(shù)與棵數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，處理好知其然與知其所以然之間的關(guān)系。

教學(xué)目標(biāo)：

1. 借助直觀，使學(xué)生理解段數(shù)與棵數(shù)之間的規(guī)律，建立不同情境下植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，并能解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

2. 滲透化歸的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生解決問(wèn)題的意識(shí)與能力。

教學(xué)重點(diǎn)：

使學(xué)生理解段數(shù)與棵數(shù)之間的規(guī)律，建立不同情境下植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。

教學(xué)難點(diǎn)：

滲透化歸的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生解決問(wèn)題的意識(shí)與能力。

教學(xué)過(guò)程：

一、導(dǎo)入，解讀情境問(wèn)題

1. 呈現(xiàn)情境：有一條小路，全長(zhǎng)500米。同學(xué)們?cè)谶@條小路的一邊植樹(shù)（兩端都要栽）。一共需要多少棵樹(shù)苗？

2. 引導(dǎo)學(xué)生解讀信息，重點(diǎn)理解“全長(zhǎng)”“一邊”“兩端”的含義。

3. 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)缺少重要的信息：兩棵樹(shù)之間的間隔。

4. 補(bǔ)充條件——每?jī)煽脴?shù)間隔5米。

二、展開(kāi)，探索解決問(wèn)題

1. 請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立思考，并解答。

2. 組織反饋，呈現(xiàn)學(xué)生的解答結(jié)果。

方法1：500÷5=100（棵）

方法2：500÷5+1=101（棵）

方法3：500÷5+2=102（棵）

方法4：500÷5×2=200（棵）

……

3. 展現(xiàn)學(xué)生的思維過(guò)程，引發(fā)認(rèn)知沖突。

（1）暴露學(xué)生的想法。

師：這么多的方法，你認(rèn)為哪種方法是正確的？你是怎么想的？

生1：我認(rèn)為100棵是正確的，因?yàn)?00÷5求出了一共有100段，一共有100段，就是一共要種100棵。

生2：題目中說(shuō)“兩端都要栽”，所以要用100加1等于101棵。

生3：“兩端都要栽”應(yīng)該用100加2等于102棵。

（2）聚焦學(xué)生的差異。

師：500÷5求出了一共有100段，這點(diǎn)大家都沒(méi)有異議。但在兩端都要栽的情況下，100段到底是栽100棵、101棵，還是102棵，大家還有不同意見(jiàn)。那么，100段到底要栽多少棵樹(shù)苗，用什么辦法才能說(shuō)清楚？

4. 學(xué)生探究，數(shù)學(xué)建模。

（1）提出解決方案并嘗試解決。

生1提出解決方案——畫(huà)線段圖。

生2嘗試畫(huà)線段圖解決問(wèn)題，并發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：100段太多，畫(huà)不下怎么辦？

（2）討論并提出解決策略：可以先少畫(huà)幾段，多畫(huà)幾次，看看有什么規(guī)律？

（3）學(xué)生嘗試畫(huà)圖，尋找規(guī)律，解決問(wèn)題。

（4）組織反饋：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你是怎么做的？（根據(jù)學(xué)生情況提問(wèn)：畫(huà)了幾段，種幾棵……你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律）

（5）總結(jié)規(guī)律，初步解決問(wèn)題。

得出棵數(shù)比段數(shù)多1，從而得知100段應(yīng)種101棵。

（6）建立模型，深刻理解。

師：100段到底需要多少棵，想象一下這幅線段圖會(huì)是怎樣的？

媒體呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生感受如下數(shù)法：第1段對(duì)應(yīng)第1棵樹(shù)，第2段對(duì)應(yīng)第2棵樹(shù)……第99段對(duì)應(yīng)第99棵樹(shù)，第100段對(duì)應(yīng)第100棵樹(shù)，最后還剩下1棵樹(shù)。

得出規(guī)律：兩端都要栽，棵數(shù)=段數(shù)+1。

解決問(wèn)題：一共需要101棵樹(shù)苗。

（7）反思拓展，鞏固模型。

師：在什么情況下只需要100棵樹(shù)呢？

引導(dǎo)學(xué)生想象，描述后媒體呈現(xiàn)，同樣用段數(shù)和棵數(shù)對(duì)應(yīng)著數(shù)的方法加深理解。

得出：一端植，一端不植，一共要100棵。

師：如果兩端都不種呢？你是怎么想的？（媒體呈現(xiàn)，再次感知）

5. 引導(dǎo)回顧：我們剛才是怎樣學(xué)習(xí)的？重點(diǎn)總結(jié)解決復(fù)雜問(wèn)題的思考方法，即遇到問(wèn)題時(shí)，可以先給出一個(gè)猜測(cè)，要判斷這個(gè)猜測(cè)對(duì)不對(duì)，可以用比較簡(jiǎn)單的例子來(lái)驗(yàn)證，并且可以從簡(jiǎn)單的事例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后應(yīng)用找到的規(guī)律來(lái)解決原來(lái)的問(wèn)題。

三、解釋，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

1. 基本練習(xí)：全長(zhǎng)200米，隔50米安一座燈，一共要安多少座燈？（三種情況）

2. 應(yīng)用練習(xí)：生活中的“植樹(shù)問(wèn)題”。

（1）空調(diào)出風(fēng)口高27厘米，每隔3厘米安裝一塊擋風(fēng)板，總共需要幾塊擋風(fēng)板？

（2）一根木頭長(zhǎng)10米，要把它平均分成5段。每鋸下一段需要8分鐘，鋸?fù)暌还惨ǘ嗌俜昼姡?/p>

（作者單位：浙江省嘉興教育學(xué)院）