楊茗棋 胡 敏 郭光衍 徐家輝

航天工程大學(xué)，北京 101416

集群航天器[1]是指由多顆具有特定功能的模塊衛(wèi)星組成的航天器群體，可以利用衛(wèi)星自組織能力取代人工操作，實(shí)現(xiàn)一顆整星的功能，更高效地完成航天任務(wù)?；陔姶帕Φ暮教炱骺刂埔话悴捎?個(gè)正交的線圈實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星編隊(duì)的相對(duì)控制。針對(duì)集群航天器的電磁控制與電磁交會(huì)對(duì)接[2]、電磁編隊(duì)[3]和電磁拖拽[4]等的研究可以互相借鑒。基于電磁力的集群航天器的磁矩最優(yōu)分配問題，是研究如何將控制電流分配到每個(gè)航天器的各線圈上，以達(dá)到期望控制效果的問題[5]。實(shí)現(xiàn)磁矩最優(yōu)分配，能夠有效減少航天器燃料的消耗。目前關(guān)于集群航天器的控制研究比較少，關(guān)于磁矩分配問題的研究更加缺乏。

針對(duì)磁矩分配問題，Schweighart[6]提出“自由磁偶極子”概念。自由磁偶極子解法是將電磁編隊(duì)中一個(gè)航天器的磁矩設(shè)置為隨機(jī)非零的數(shù)值，再利用牛頓法和同倫延拓法等數(shù)值解法，通過磁偶極子間的相互作用力方程組求解其他磁偶極子。該方法思路簡(jiǎn)單清晰，但是自由磁偶極子的選取極大程度影響了磁矩分配的結(jié)果，而且牛頓法雖然計(jì)算量小，但是只能得出方程組的一個(gè)解；同倫延拓法可以系統(tǒng)地找出滿足方程的所有解，但是計(jì)算量相對(duì)較大[7]。

徐增文等[8]求解了雙星磁矩分配問題中控制磁矩的解析解，將兩航天器線圈中的控制電流大小設(shè)置為相同，以保持線圈能量消耗的均衡性。黃顯林等[9]針對(duì)雙星電磁編隊(duì)，用一組能夠描述電磁力和力矩關(guān)系的參數(shù)代替磁矩矢量，使得到的磁矩計(jì)算結(jié)果實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)總角動(dòng)量最小。

上述方法的根本思想均采用自由磁偶極子法進(jìn)行磁矩分配，該方法很難求解出磁矩分配的最優(yōu)解，因此將磁矩分配問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題是一個(gè)更為有效的方法。Ahsun等[10]和連克非等[11]均針對(duì)多顆電磁編隊(duì)衛(wèi)星的情況，將控制分配問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)優(yōu)化問題，優(yōu)化了地磁場(chǎng)干擾力矩，但是介紹較簡(jiǎn)略。Abbott等[12]利用序列二次規(guī)劃方法進(jìn)行求解磁矩，使線圈功耗最小，但該方法沒有考慮地磁場(chǎng)和航天器間的干擾力矩對(duì)航天器系統(tǒng)的影響。

提出一種基于電磁力的集群航天器磁矩最優(yōu)分配方法，將該問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)有約束條件的優(yōu)化問題：1)建立目標(biāo)函數(shù)為總干擾力矩最??；2)計(jì)算地磁場(chǎng)干擾力矩和航天器之間的干擾力矩；3)分析航天器間力和磁矩的約束；4)采用模擬退火算法優(yōu)化計(jì)算兩航天器中各軸線圈中的電流，實(shí)現(xiàn)磁矩最優(yōu)分配。

1 磁矩分配問題描述

基于電磁力的集群航天器磁矩分配問題，實(shí)質(zhì)是從期望控制量到各航天器三軸線圈中電流的非線性映射過程。在控制律給出所需電磁力的基礎(chǔ)上，通過合理分配各線圈中的電流，進(jìn)而控制航天器各軸磁矩，最終實(shí)現(xiàn)磁矩的最優(yōu)分配。

集群航天器控制及分配系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖[13]如圖1所示：

圖1 集群航天器控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

每個(gè)集群航天器在3個(gè)正交軸上分別配備1個(gè)相同的電磁線圈，如圖2所示。通過控制線圈中的電流，控制航天器的磁矩，進(jìn)而控制兩航天器之間的電磁力，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)集群航天器系統(tǒng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的控制。磁矩的分配，本質(zhì)上是一個(gè)電流優(yōu)化分配問題，根據(jù)控制律所需的電磁力，通過選取目標(biāo)函數(shù)，合理分配各航天器的控制電流，磁矩分配流程圖如圖3所示。

圖2 集群航天器系統(tǒng)

圖3 磁矩分配流程圖

磁矩分配問題的優(yōu)化模型可描述為：

minf(x)
s.t.gi(x)≤0,i∈{1,…,m}
hj(x)=0,j∈{m+1,…,m+l}

(1)

1.1 目標(biāo)函數(shù)

優(yōu)化目標(biāo)為干擾力矩最小，可以將磁矩最優(yōu)分配問題視為一個(gè)優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)為

(2)

不等式約束為電流大小最大值；等式約束為控制律計(jì)算得到的電磁力。

1.2 優(yōu)化過程

選取模擬退火算法實(shí)現(xiàn)磁矩最優(yōu)分配，兩磁矩大小相等情況的具體流程如圖4所示：

圖4 模擬退火算法的流程圖

不約束兩磁矩大小相等的情況下模擬退火算法流程與圖4基本相同，不同之處在于首先隨機(jī)生成的是I1的x，y和z軸分量和I2的x，y軸分量，然后根據(jù)電磁力約束計(jì)算I2的z軸分量。

下面介紹目標(biāo)函數(shù)中干擾力矩的計(jì)算方法以及約束條件。針對(duì)等式和不等式約束條件，本文應(yīng)用解方程法[14]處理。

2 干擾力矩計(jì)算

地磁場(chǎng)引起的電磁干擾力與航天器間的電磁力比值為10-3量級(jí)，地磁場(chǎng)引起的電磁干擾力可以忽略[15]。為了實(shí)現(xiàn)集群航天器的姿態(tài)控制并抵消電磁干擾力矩的影響，每個(gè)航天器必須安裝角動(dòng)量存儲(chǔ)設(shè)備，例如反作用飛輪或者控制力矩陀螺等。

干擾力矩包括地磁干擾力矩和集群航天器間的干擾力矩2部分。地磁干擾力矩是指地磁場(chǎng)分別對(duì)2個(gè)集群航天器的力矩。

2.1 地磁干擾力矩

航天器i受到地磁干擾力矩的表達(dá)式為：

(3)

采用國(guó)際地磁參考場(chǎng)IGRF-12[16](the 12th Generation of the International Geomagnetic Reference Field)中2015年的地磁場(chǎng)模型數(shù)據(jù)，并通過校正項(xiàng)得到2018年1月1日00:00:00(協(xié)調(diào)世界時(shí))的磁場(chǎng)強(qiáng)度分布(如圖5所示)。

圖5 500km高度的地磁場(chǎng)強(qiáng)度分布圖

2.2 航天器間干擾力矩

航天器間的干擾力矩是指為使兩航天器的磁矩共軸，反作用飛輪中累積的力矩。飛輪中累積的力矩的表達(dá)式為：

(4)

式中，μ0為真空磁導(dǎo)率；rij為航天器i相對(duì)航天器j的位置矢量；rij為rij的模；μj為航天器j的磁矩。

3 約束條件分析

約束條件包括2個(gè)：1)根據(jù)控制算法得到的兩航天器間力的約束；2)各航天器的磁矩大小固定。假設(shè)兩航天器的磁矩方向共軸。

3.1 航天器間力的約束

通過設(shè)計(jì)自抗擾控制律[17]，對(duì)集群航天器系統(tǒng)進(jìn)行控制。通過控制律，即相對(duì)加速度，可以得到兩航天器之間的電磁力變化，即磁矩分配問題中航天器間力的約束。

(5)

如果2個(gè)磁矩方向共軸，則共軸方向上兩航天器之間的電磁力大小可以簡(jiǎn)化為：

(6)

3.2 航天器磁矩的約束

根據(jù)電流模型，假設(shè)2個(gè)磁矩大小相同，則可以通過電磁力得到兩航天器的磁矩大小。

航天器i的磁矩μi大小可以表示為：

(7)

式中，n為線圈匝數(shù)；I為線圈中的電流大小；RC為線圈半徑。

假設(shè)2個(gè)磁矩大小相同，則可以得到兩航天器的磁矩大小可表示為：

(8)

若不約束2個(gè)磁矩大小相同，則由式(6)可得航天器j的磁矩大?。?/p>

(9)

4 仿真分析

不考慮電磁線圈產(chǎn)生電磁力大小的能力，假設(shè)電磁線圈能夠產(chǎn)生足夠大的力。線圈半徑為10 m，線圈匝數(shù)為1000匝，各軸電磁線圈中最大電流大小為50 A，每個(gè)帶線圈的航天器質(zhì)量為36 kg。模擬退火算法中各參數(shù)設(shè)置為：馬可夫鏈長(zhǎng)度為10000，衰減參數(shù)為0.95，Metropolis的步長(zhǎng)為0.02，初始溫度為100 ℃，迭代次數(shù)為100次。控制律設(shè)計(jì)過程及軌道參數(shù)等見文獻(xiàn)[17]。

根據(jù)牛頓第三定律，兩航天器間的電磁力大小相等，方向相反，因此電磁力可表示為：

(10)

控制律在參考坐標(biāo)系下的變化與電磁力的變化趨勢(shì)相同，質(zhì)心坐標(biāo)參考系中各軸電磁控制力如圖6所示：

圖6 電磁控制力

由文獻(xiàn)[17]可知，控制器從第9391s起控，根據(jù)模擬退火算法計(jì)算該時(shí)刻的最小總干擾力矩的過程如圖7所示：

圖7 第9391s總干擾力矩收斂情況

不約束和假設(shè)兩航天器磁矩大小相等2種情況下，實(shí)現(xiàn)磁矩最優(yōu)分配的電流變化分別如圖8和9所示。2種情況的總干擾力矩，如圖10所示。

圖8 航天器線圈中電流的變化(不約束兩磁矩大小相等)

圖9 航天器線圈中電流的變化(假設(shè)兩磁矩大小相等)

圖10 總干擾力矩對(duì)比圖

圖10中，T1為不約束航天器磁矩大小情況的總干擾力矩；T2為兩航天器磁矩大小相等情況的總干擾力矩。由圖10可以看出，假設(shè)兩航天器的磁矩大小相等，目標(biāo)函數(shù)的變化趨勢(shì)較平滑；不控制兩磁矩大小相等時(shí)，目標(biāo)函數(shù)會(huì)出現(xiàn)過大的點(diǎn)，但是總體上總干擾力矩與磁矩相等的情況相比更小，即多數(shù)情況下目標(biāo)函數(shù)更優(yōu)。

兩航天器磁矩大小相等，可以使兩航天器線圈的耗能均衡，不會(huì)產(chǎn)生一個(gè)航天器的磁矩很大、另一個(gè)很小的情況，這種情況不僅不利于電流的改變，而且總干擾力矩可能會(huì)很大。因此，在進(jìn)行磁矩分配問題的研究時(shí)，令兩航天器的磁矩大小相等更有利于實(shí)現(xiàn)更優(yōu)的分配。

5 結(jié)論

提出一種基于電磁力的集群航天器磁矩最優(yōu)分配方法，使地磁場(chǎng)干擾力矩和航天器之間干擾力矩的總干擾力矩最小。采用模擬退火算法計(jì)算兩航天器中各軸線圈中的電流，實(shí)現(xiàn)磁矩的最優(yōu)分配。通過仿真分析不約束和假設(shè)兩航天器磁矩大小相等2種情況的磁矩分配，得出在進(jìn)行磁矩分配問題研究時(shí)，令兩航天器的磁矩大小相等更有利于實(shí)現(xiàn)更優(yōu)分配的結(jié)論。提出的磁矩最優(yōu)分配方法能夠通過電流的最優(yōu)分配，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)電磁力分配，耗能均衡。采用模擬退火算法可以更加快速得到電流的最優(yōu)分配。下一步工作是針對(duì)多個(gè)集群航天器的情況，解決磁矩最優(yōu)分配問題。