李小蕾

摘 要： 本文就參考圓對研究簡諧運動的規(guī)律的妙用作了概述。

關(guān)鍵詞： 簡諧運動 物理模型 參考圓 妙用

構(gòu)建物理模型，是研究物理問題的科學方法和重要手段。在簡諧運動的描述中，引入物理模型“參考圓”，不僅使簡諧運動方程的推導簡單易行，而且對抽象概念（如圓頻率，相位）的理解更具體形象。對學生而言，既降低了學習難度，明白了振動和圓周運動的聯(lián)系，又體驗到了科學的研究方法，為今后進一步探究簡諧運動的規(guī)律開辟了廣闊天地。那么，什么是參考圓呢？參考圓對研究簡諧運動的規(guī)律有什么妙用呢？本文概述如下。

一、簡諧運動的物理模型——參考圓

設(shè)想一個質(zhì)點做勻速圓周運動，其圓心就是簡諧運動的平衡位置。半徑為簡諧運動的振幅A，過圓心建立直角坐標系（如圖1）。以y軸為參照，則做勻速圓周運動的質(zhì)點P在x軸上的投影的運動就是簡諧運動。反過來，可以把任何一個實際的簡諧運動設(shè)想為一個和它相對應(yīng)的勻速圓周運動的投影，這個設(shè)想的圓周就叫參考圓。

圖1

二、參考圓的妙用

1.易推導簡諧運動的方程

做簡諧運動的振子P看成是做勻速圓周運動的質(zhì)點P在x軸上的投影。設(shè)t=0時P所在位置的半徑與y軸的夾角為φ，若做勻速圓周運動的質(zhì)點P的角速度是ω，經(jīng)過時間t，P所在位置的半徑與y軸的夾角是（φ+ωt），則振子在t時刻偏離平衡位置的位移為：

X=Asin（φ+ωt）

這就是簡諧運動的振動方程。

2.好理解圓頻率、相位、初相概念的物理意義

通過簡諧運動方程的推導，使學生體會到參考圓不僅能將振動和勻速圓周運動聯(lián)系起來，而且進一步對較難理解的圓頻率ω、相位（φ+ωt）、初相φ這些抽象的概念有了具體形象的認識：簡諧運動的圓頻率ω就是做勻速圓周運動的角速度；簡諧運動的初相φ就是初始時刻振子所對應(yīng)的參考圓上的質(zhì)點所在位置的半徑與y軸的夾角；相位（φ+ωt）就是t時刻振子所對應(yīng)的參考圓上的質(zhì)點所在位置的半徑與y軸的夾角。有了參考圓，把抽象變形象，降低了學習難度，加深了對概念的理解。

3.能探究簡諧運動的周期公式

做勻速圓周運動的質(zhì)點在x軸上的投影就是做簡諧運動的振子。假設(shè)t=0時φ=0（如圖2）。

對做簡諧運動的振子：

∵F■=kx

X=Asinωt

∴F■=kAsinωt

與之對應(yīng)的做勻速圓周運動的質(zhì)點：

∵F■=mω■A

該向心力在x軸上的分力就是振子做簡諧運動的回復力

∴F■=F■sinωt

即kAsinωt=mω■Asinωt

∴ω=■

故T=■=2π■

這個推導過程實在精彩，突出了物理模型對解決物理問題的重要性。它給學生用科學方法探究物理規(guī)律以啟迪，同時也提高了學生綜合運用知識的能力。

4.巧判斷簡諧運動■時間內(nèi)振子的最大路程

簡諧運動是變速運動，具有對稱性的特點。在■時間內(nèi)運動的路程又具有多解性，其結(jié)果取決于振子初始時刻的位置和振動方向。要判斷■時間內(nèi)振子運動的最大路程對學生來說是個難點，教學中更多采用函數(shù)求極值的辦法。但我們?nèi)裟芮捎脜⒖紙A，稍作分析就可判斷出振子在■時間內(nèi)運動的最大路程。

圖3

當振子在以O(shè)點為中心的■時間內(nèi)運動時，其平均速度最大，則運動的路程也是最大。所以在剛好運動到距平衡位置O點的■的時間內(nèi)的位移是最大路程的一半。而振子所對應(yīng)的做勻速圓周運動的質(zhì)點在該■時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度是■，故振子在■時間內(nèi)運動的最大路程為

S■=2x=2Asin■=■A.